山东省菏泽市2021-2022学年高二下学期期中考试数学（A）试卷(含答案)

山东省菏泽市2021-2022学年高二下学期期中考试数学（A）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知函数，若，则 (   )

A.2 B. C. D.

2、如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为(   )

A.3 B.6 C.7 D.8

3、若，“”是“函数在上有极值”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4、函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(   )

A.函数的单调递增区间为

B.为函数单调递减区间

C.函数在处取得极小值

D.函数在处切线斜率小于零

5、已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线平行，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

6、定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数．已知函数是区间上的双中值函数，则实数m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为(   )

A.328 B.360 C.2160 D.2260

8、设函数，是导函数，则下列说法正确的是(   )

A.有三个零点  B.

C.的最大值是 D.，

二、多项选择题

9、下列求导过程正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

10、己知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则(   )

A.当时，

B.函数有2个零点

C.的解集为

D.，都有

11、为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则(   )

A.若6班不再抽取学生，则共有种分配方法

B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有种分配方法

C.若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法

D.若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案

12、对于函数，下列判断正确的是(   )

A.

B.

C.当时，恒成立，则

D.若函数有两个极值点，则实数

三、填空题

13、已知车轮旋转角度（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第时的瞬时角速度为_________．

14、已知函数的导函数为，且满足，则________．

15、甲、乙、丙三位教师指导五名学生a、b、c、d、e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有________种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有_______种分配方案．

16、已知函数，（e为自然常数），若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________．

四、解答题

17、已知是函数一个极值点．

（1）求实数a的值；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

18、已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设，若时，的最小值是2，求实数a的值（e是自然对数的底数）．

19、回答下列问题

（1）计算：．

（2）已知，求的值．

20、已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若，证明：当时，．

21、自动着陆系统是引导航空器着陆的自动控制系统，是自动化飞行的重要标志，对飞行器的安全性起着重要的作用．在研制自动着陆系统时，技术人员需要分析研究飞行器的降落曲线．如图一飞行器水平飞行的着陆点为原点O，已知航空器开始降落时的飞行高度为，水平飞行速度为，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于安全考虑，飞行器垂直加速度的绝对值不得超过（此处是重力加速度）．若飞行器在与着陆点的水平距离是时开始下降，飞行器的降落曲线是某三次多项式函数的一部分，飞行器整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞行器开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切．

（1）求飞行器降落曲线的函数关系式；

（2）求开始下降点所能允许的最小值（结果保留整数，）．

22、已知函数．

（1）若函数的图象在点处的切线与y轴垂直，求实数k的值和的极值；

（2）当时，若函数有两个零点，求实数k取值得范围．

参考答案

1、答案：D

解析：因为, 所以, 由导数的定义可知, ,

所以 4 , 解得 .

故选 D.

2、答案：D

解析：从甲村到丙村的不同走法种数为, 故选D.

3、答案：B

解析：由题意可知，

令 ，即 ，解得 ，

当 时， ；

当 时， ；

所以函数 在 处取得极小值，

因为函数 在 上有极值，

所以 ，解得.

所以“ "是“函数在上有极值”的必要不充分条件.

故选: B.

4、答案：C

解析：对于A, 由题图可知的单调递增区间为, 单调递减区间为, 故A错误; 对于B,在区间上先负后正, 此时先递减后递增, 故B错误; 对于C, 由导函数的图象可知函数 在处取得极小值, C正确; 对于D, 由题图可知在上单调递增, 故在处切线的斜率大于零, D 错误. 故选C.

5、答案：A

解析：由,

得,

约为, 所以.

由题意得, 所以

6、答案：B

解析：由 ，

即 在 有两解，

解不等式 即可得解.

求导可得 ,

由

所以有两解，

即在有两解，

令

所以

解得: .

故选: B

7、答案：C

解析：整体上用间接法求解，先算出 1 ， 4 ， 1 ， 5 ， 9 ， 2 ， 6的这7位数字的随机排列的种数，注意里面有两个1 ，多了 倍，要除去， 再減去不大于3.15的种数，不大于3.15的数只有小数点前两位为 11 ， 12 或 14 ，其他全排列.

由于数字 1 ， 4 ， 1 ， 5 ， 9 ， 2 ， 6中有两个相同的数字1，则进行随机排列可以得到的不同个数有 ，而只有小数点前两位为11 ，12 或14时，排列后得到的数字不大于3.15 ，故不大于3.15的不同个数有 种，所以得到的数字大于3.15的不同个数有: 种

故选: C.

8、答案：D

解析：

9、答案：ABC

解析：A选项: 因为 , 所以 ，故A正确；

B选项: 因为 , 故B正确;

C选项: 因为 , 所以 , 故C正确;

D选项: 因为 ，故D错误；

故选: ABC.

10、答案：ACD

解析：

11、答案：AB

解析：A.若 6 班不再抽取学生，则 20 个名额分配到 5 个班，且每个班至少 1 个，

由插空法，将其分成组，共有种分配方法，故正确：

B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则20个名额分配到6个班，且每个班至少1 1个，由插空法，将其分成6组，则共有 种分配方法，故正确：

C.若每个班至少有3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分配到6个班，分5类，第一类4个名额分到一个班，有6 种，第二类一个班3个，一个班1个有 种，第三类2个班都是2个名额则有 种,第四类2个班各1个名额，另一个班2个名额, 则有 种, 第五类4个班都是1个名额则有 种,共有126种分配方法，故错误；

D. 若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，相当于17个名额被占用，还有3个名额需要分配到5个班，第一类3个名额分 到一个班，有5种，第二类一个班2个，一个班 1 个有 种，第三类3个班都是1个名额则有 种、则共有35种分配方案，故错误：

故选: AB

12、答案：BD

解析：

13、答案：

解析：因为 ，则 ，则 ，

故答案为: .

14、答案：1

解析：因为 ，则 ， 令 ，则 ，即 ，故答案为: 1 .

15、答案：①90    ②.70

解析：

16、答案：

解析：在区间 上有意义, 故 在 上恒成立, 可得,

依题意可得

在 上恒成立,

设,

, 易知 在 上单

调递增, 故,

故 在

上单调递减, 最小值为,

故只需 , 设

, 其中,

由 可得

在上为减函

数,

, 故.

综上所述:a的取值范围为.

故答案为: .

17、答案：（1）   

（2）

解析：(1)是的一个极值点.

所以,

所以, 经检验, 符合题意.

(2)

令, 解得 或, 令, 解得,

所以在上单调递增,上单调递减, 上单调递增,

所以,,,

所以,

18、答案：（1）单调增区间是，单调减区间是.

当时，取得极小值且为，无极大值．   

（2）实数a的值是e.

解析：(1)定义域是,

当时,, 当 时,,

所以的单调增区间是, 单调减区间是,无极大值.

(2) 因为,

所以,

当 , 即 时, , 所以在上递减,

所以,

解得(舍去),

当, 即 时, 当 时, , 当 时, ,

所以,

解得. 满足条件,

综上, 实数a的值是e.

19、答案：（1）；（2）126.

解析：(1)

\

(2)由可得

即

可得

即 ，

可得 ，整理可得:,

解得或 ，因为 ，可得 ，

所以.

20、答案：（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增

（2）证明见解析

解析：(1),

当 时,, 所以函数在上单调递减, 当时, , 所以函数 在 上单调递增.

(2),

所以不等式化为,

即证,

当 时上述不等式显然成立.

当 时, 令,则,

由 (1) 知函数在 上单调递减, 而,

所以,

所以, 所以函数在 上单调递减,

又, 所以, 所以,

即.

综上, 当时, .

21、答案：（1）   

（2）开始下降点所能允许的最小值为

解析：(1)由于飞行器的着陆点为原点O,

故可设飞行器的降落曲线为.

根据题意得 ,

所以,

解得,

飞行器降落曲线的函数关系式为,.

（2）设飞行器经过降落时间t后与着陆点的水平距离为,(为水平速度, 且 ,

则,

所以垂直下降速度,

所以垂直下降加速度,.

所以飞行器的垂直加速度绝对值的最大值为,

所以,

解得,

所以飞行器开始下降点所能允许的最小值为.

22、答案：（1），，无极大值；

（2）

解析：函数的定义域为R,,

由题意知, 得, 所以.

所以,

当时, , 函数单调递增,

当时, , 函数单调递减,

所以当 时, 函数取得极小值, .

(2) 由(1)知,

由题设知, 所以当 时, 取得最小值,

最小值为.

①当 时, 由于 , 故 只有一个零点;

① ②当 时, 由于 , 即 , 故没有零点;

③当 时, , 即 ,

又,

故在有一个零点.

设正整数满足,

则,

由于, 所以 在有一个零点.

综上,k的取值范围为.