2021北京十一学校高一（上）期中数学（教师版）

2021北京十一学校高一（上）期中

数    学

（考试时间120分钟   满分100分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，那么集合与集合的关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知命题：“，都有”，则命题的否定是（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ，使得 D. ，使得

3. 下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，且均不为，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 下列函数中与表示的是同一函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知函数，则“函数在上有零点”是“”的（    ）条件

A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要

8. 已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 设奇函数的定义域为，当时，是增函数，且，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D. 以上结果都不对

10. 已知定义在上的函数，其中表示不超过的最大整数，，给出下列四种说法：

①，使得是一个增函数；

②，使得是一个奇函数；

③，使得在区间上有唯一零点.

其中，正确的说法个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题：共8小题，每小题4分，共32分.

11. 已知函数，若，则______．

12. 函数的定义域是___________.

13. 设集合，则________.

14. 已知，函数零点在区间中，则的值是______.

15. 已知方程的两根为和，则________.

16. 已知函数为定义在上的奇函数，若时，，则________.

17. 已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.

18. 已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.

三、解答题：共4小题，共38分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19 （1）已知集合，集合，求.

（2）已知，，求与的值.

20. 某市出租车收费标准为：起步价13元（即实际行驶里程不超过3公里，按13元收费）.此时计费里程与实际行驶里程相等，且规定计费里程不为零.实际行驶里程超过3公里后，超过3公里的部分，按每公里2.3元收费，其中不足1公里的部分按照1公里计算，此时计费里程为实际里程向上取整，例如，实际行驶里程4.6公里，则计费里程为5公里，设出租车收费总价为y（单位：元）实际行驶里程（单位：公里），计费里程为（单位：公里）.

（1）建立出租车收费总价与计费里程的函数关系式；

（2）若出租车实际行驶里程6公里，则乘客需要付多少钱？

（3）若乘客实际付费超过20元但不超过40元，求取值范围.

21. 已知定义在上的奇函数.

（1）求的值；

（2）用单调性的定义证明的单调性；

（3）若对于，不等式恒成立，求的取值范围.

22. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得，都有，且，则称为上的函数.

（1）已知函数，函数，判断与是否为区间上的函数，并说明理由；

（2）已知函数，且是区间上的函数，求正整数的最小值；

（3）如果是定义域为上的奇函数，是否存在实数，使得当时，，且为上的函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，那么集合与集合的关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合即得解.

【详解】由题得，

所以.

故选：C

2. 已知命题：“，都有”，则命题的否定是（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ，使得 D. ，使得

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.

【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.

故选：C

3. 下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，即可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又该函数在区间上单调递减，故A正确；

对于B选项，因为的定义域为R，其定义域关于原点对称，且，所以函数偶函数，又该函数在区间上单调递减，故B正确；

对于C选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故C不正确；

对于D选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故D不正确.

故选：AB.

4. 已知，且均不为，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项.

【详解】时，，A错误.

时，，B错误.

时，，C错误.

由于，所以.由于，所以，D正确.

故选：D

5. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数解析式求得的值.

【详解】依题意

.

故选：D

6. 下列函数中与表示的是同一函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对于A：，与中的x取值范围相同；

对于B：，与中的x可取任意值的取值范围不同；

对于C：，与中的x可取任意值的取值范围不同；

对于D：，与不是同一函数.

【详解】对于A：，并且其定义域为R，x取任意值时，与中的x取值范围相同，所以两个函数是同一函数，故A正确；

对于B：，定义域为，与中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函数不是同一函数，故B不正确；

对于C：，定义域为，与中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函数不是同一函数，故C不正确；

对于D：，所以与不是同一函数，故D不正确，

故选：A.

7. 已知函数，则“函数在上有零点”是“”的（    ）条件

A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】结合充分、必要条件的判断方法来确定正确选项.

【详解】依题意，

若函数在上有零点，不等式组无解，所以，即.

若，根据零点存在性定理可知：函数在上有零点.

所以“函数在上有零点”是“”的充要条件.

故选：C

8. 已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】如图，作出直线得到，即得解.

【详解】

如图，作出直线得到，

所以.

故选：B

9. 设奇函数的定义域为，当时，是增函数，且，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D. 以上结果都不对

【答案】C

【解析】

【分析】当时，不等式显然成立，再讨论当时不等式的解集，综合即得解.

【详解】解： 奇函数在上为增函数，（1），

函数在上为增函数，且（1），

当时，不等式显然成立，

当时，

则不等式等价为时，，此时；

当时，，此时，

综上不等式的解为或，

故不等式的解集为：.

故选：C

10. 已知定义在上的函数，其中表示不超过的最大整数，，给出下列四种说法：

①，使得是一个增函数；

②，使得是一个奇函数；

③，使得在区间上有唯一零点.

其中，正确的说法个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】举反例和，，得到①②错误，计算满足有唯一零点，得到答案.

【详解】①，，故①错误；

② 若，使得是一个奇函数，则，，，，故假设不成立，②错误；

③ 当时，，当时，，

当时，满足在区间上有唯一零点，③正确.

故选：B.

二、填空题：共8小题，每小题4分，共32分.

11. 已知函数，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，令，从而得到，得到为奇函数，整理得到，将代入求得的值.

【详解】设，

则，

即为奇函数，

故，即，

即.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下：

（1）构造奇函数；

（2）利用奇函数的性质得到，进而求得，得到结果.

12. 函数的定义域是___________.

【答案】## 或.

【解析】

【分析】由被开方数非负，可求出函数的定义域

【详解】解：由，得，，解得或

所以函数的定义域为，

故答案为：.

13. 设集合，则________.

【答案】

【解析】

【分析】先求得，由此求得正确答案.

详解】，

，

，

所以.

故答案为：

14. 已知，函数的零点在区间中，则的值是______.

【答案】

【解析】

【分析】先判断出函数在R上单调递增，又由，，可得出存在唯一的零点在区间中，由此可得答案.

【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，，

所以函数存在唯一的零点在区间中，

又函数的零点在区间中，所以，

故答案为：.

15. 已知方程的两根为和，则________.

【答案】

【解析】

【分析】由题得，化简再代入韦达定理即得解.

【详解】由题得，

所以.

故答案为：

16. 已知函数为定义在上的奇函数，若时，，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据奇函数的定义求得当时，函数的解析式，以及，可得函数的解析式.

【详解】解：因为函数为定义在上的奇函数，所以，且，

又时，，

所以当时，时，所以，

所以，

故答案：.

17. 已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.

【答案】##

【解析】

【分析】设食堂卖面的利润为S，有，根据二次函数的性质可求得答案.

【详解】解：设食堂卖面的利润为S，则

，

当时，S取得最大值，

故答案为：.

18. 已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出，进而求出与的解析式，，，都有，等价于，有，对进行分类讨论 ,求出实数的取值范围

【详解】因为，令，则

所以，故

所以，

令，

，，都有

等价于，有

当，即时   

与在上单调递减，故，

所以，解得：

结合得：

当，即时

在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，

所以，化简：，解得

结合得：

当，即时

在上单调递增，在上单调递减，

，

所以，解得

结合得：

当，即时

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，

所以，解得

结合求得：

当，即时

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，

所以，解得

结合得：

当时   

与在上单调递增，故，

所以，解得

结合得：

综上所述：

故答案为：

三、解答题：共4小题，共38分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19. （1）已知集合，集合，求.

（2）已知，，求与的值.

【答案】（1）；（2），

【解析】

【分析】（1）计算或，，再计算交集得到答案.

（2）根据和计算得到答案.

【详解】（1）或，

，故.

（2），则，故，

，，故.

20. 某市出租车收费标准为：起步价13元（即实际行驶里程不超过3公里，按13元收费）.此时计费里程与实际行驶里程相等，且规定计费里程不为零.实际行驶里程超过3公里后，超过3公里的部分，按每公里2.3元收费，其中不足1公里的部分按照1公里计算，此时计费里程为实际里程向上取整，例如，实际行驶里程4.6公里，则计费里程为5公里，设出租车收费总价为y（单位：元）实际行驶里程（单位：公里），计费里程为（单位：公里）.

（1）建立出租车收费总价与计费里程的函数关系式；

（2）若出租车实际行驶里程为6公里，则乘客需要付多少钱？

（3）若乘客实际付费超过20元但不超过40元，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）19.9    （3）

【解析】

【分析】（1）分和，分别求得函数的解析式可得答案；

（2）代入相应的函数解析式中可得答案；

（3）由已知得，求解可得答案.

【小问1详解】

解：由题意得，当时，；

当时，，

所以.

小问2详解】

解：当时，所以.

故乘客需要付19.9元.

【小问3详解】

解：当乘客实际付费超过20元但不超过40元，即，又，所以，所以.

所以的取值范围为.

21. 已知定义在上的奇函数.

（1）求的值；

（2）用单调性的定义证明的单调性；

（3）若对于，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）单调递增，证明见解析.   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数列方程，可求出a；

（2）先判断在R上单减，利用单调性的定义可证明；

（3）利用为奇函数及在R上单增，将不等式转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.

【小问1详解】

解：∵为定义域为的奇函数，

∴，所以.经检验成立

【小问2详解】

解：由（1）知：，则在R上单增，下面进行证明：

任取，且，

∴

∵为增函数，，∴，

∴，∴，

∴在R上单增.

【小问3详解】

解：∵为奇函数，

∴对任意，不等式恒成立可化为：

对任意恒成立，

又在R上单增，不等式等价于对任意恒成立，即恒成立.

记，，只需

，所以，

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性的应用：①一般用或；②有时为了计算简便，我们可以对x取特殊值: 或；

（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；

（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.

22. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得，都有，且，则称为上的函数.

（1）已知函数，函数，判断与是否为区间上的函数，并说明理由；

（2）已知函数，且是区间上的函数，求正整数的最小值；

（3）如果是定义域为上的奇函数，是否存在实数，使得当时，，且为上的函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）函数是区间上的函数，不是，理由见解析；   

（2）1；    （3）存在，.

【解析】

【分析】（1）利用上的函数的定义检验函数和即得解；

（2）化简得对于恒成立，求函数的最值即得解；

（3）利用得到，再作出函数的图象分析即得解.

【小问1详解】

解：对于函数，，,，所以函数是区间上的函数.

对于函数函数，,,,

，所以函数是区间上的函数.

小问2详解】

解：因为函数，，,,且是区间上的函数，

所以对于恒成立，

所以对于恒成立，

因为是增函数（增函数+增函数=增函数），

所以，所以正整数的最小值为1.

小问3详解】

解：由题得，所以.

当时，，

由于函数是奇函数，所以函数的图象如图所示，，

因为为上的函数，

所以对于恒成立，

所以，因为，所以.