2021北京育英中学高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京育英中学高一（上）期中数学（教师版），共14页。试卷主要包含了11，已知命题，则命题的否定为，下列各组函数是同一函数的是，定义在上的偶函数满足，函数的图像大致为等内容，欢迎下载使用。

2021北京育英中学高一（上）期中
数 学
2021.11
班级：___________ 姓名：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集，集合，,则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，则命题的否定为 ( )
A. B.
C. D.
3.如果a>b，那么下列不等式中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数是同一函数的是 ( )
A.与 B.与 
C.与 D.与
5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有.
则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数，则下列区间中一定包含零点的区间是( )
A. B.
C. D.
7.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.“a=-1”是“函数f(x)=|x-a|在区间(-∞,-1]上为减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9．一元二次方程的两根均大于2，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若函数的值域为，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.）
11.函数的定义域是__________________．
12.当时，则的最小值为_______,当取得最小值时的值为_______.
13.已知，则______________.
14.不等式的解集为__________.
15.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________________.
16. 已知函数，
（1）__________.
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______________.
三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17. (本小题满分8分)
已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并画出函数的图像；
（3）写出函数的单调递增区间．





18. (本小题满分10分)
已知二次函数．
（1）若为偶函数，求在上的值域；
（2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）若时，的图像恒在直线y=ax的上方，求实数a的取值范围．

19. (本小题满分10分)
已知定义在R上的奇函数.
（1）求m；
（2）用定义证明：在区间[1,+∞)上单调递减；
（3）若实数a满足,求a的取值范围．






20. (本小题满分8分)
已知函数，且.
（1）求实数的值，并求函数的值域；
（2）函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

2021北京育英中学高一（上）期中数学
参考答案
一、选择题（本大題共10小题，每小题4分，共40分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合M＝{2，4，5}，N＝{3，5，7}，则N∩（∁UM）＝（　　）
A．{5} B．{3，7} C．{2，3，4，5，7} D．{2，3，4，6，7}
【分析】先求出∁UM，由此能求出N∩（∁UM）．
【解答】解：全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合M＝{2，4，5}，N＝{3，5，7}，
∴∁UM＝{3，6，7}，
N∩（∁UM）＝{3，7}．
故选：B．
2．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（　　）
A．∀x∈N，x3＜1 B．∃x∈N，x3＜1 C．∀x∉N，x3＜1 D．∃x∉N，x3＜1
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x∈N，x3＜1，
故选：B．
3．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　）
A．＜ B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．＞
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：若a＞0＞b，则＞，故A错误；
取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；
若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，
因为c2+1＞0，a＞b，∴＞，故D正确．
故选：D．
4．下列各组函数是同一个函数的是（　　）
A．与y＝1 B．与 y＝x
C．与 y＝x D．与 y＝x﹣1
【分析】两个函数只有对应关系一致，定义域相同，才是同一函数．
【解答】解：对于A，的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，∴与y＝1不是同一函数，故A错误；
对于B，＝x与 y＝x对应关系相同，定义域都是R，∴与 y＝x是同一函数，故B正确；
对于C，的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，∴与 y＝x不是同一函数，故C错误；
对于D，＝，当x＜1时，与y＝x﹣1对应关系不同，
∴与 y＝x﹣1不是同一函数，故D错误．
故选：B．
5．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（　　）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【分析】先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
【解答】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣2）＝f（2）
又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵1＜2＜3
∴f（1）＞f（2）＝f（﹣2）＞f（3）
故选：A．
6．已知函数f（x）＝x3﹣5x+1，则下列区间中一定包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】利用函数的连续性，结合零点存在定理，直接计算函数在选项的区间端点出的函数值，根据函数值的符号来判断．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣5x+1，是连续函数，
并且f（﹣2）＝3＞0，
f（﹣1）＝﹣1+5+1＝5＞0，
f（0）＝1＞0；
f（1）＝1﹣5+1＝﹣3＜0，
f（2）＝8﹣10+1＝﹣1＜0，
f（0）f（1）＜0，
由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）有零点；
故选：C．
7．函数y＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
8．“a＝﹣1”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，﹣1]上为减函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先将函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，﹣1]上为减函数，等价转化为a≥﹣1，然后利用充分条件和必要条件的定义求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，﹣1]上为减函数，
则a≥﹣1，
所以a＝1可以推出a≥﹣1，但是a≥﹣1不能推出a＝1，
故“a＝﹣1”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，﹣1]上为减函数”的充分不必要条件．
故选：A．
9．一元二次方程x2﹣5x+1﹣m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣5） C． D．
【分析】由题意可得结合函数的零点判断定理以及判别式列出不等式组，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m＝0的两根均大于2，则 ，
解得 ≤m＜﹣5，
故选：C．
10．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，5] B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
【分析】求出x＞1时的最小值，与x≤1时的最大值，列出不等式求解即可．
【解答】解：当x＞1时，f（x）＝x﹣1＞0，
函数的值域为R，
必须x≤1时，f（x）＝﹣2x2+ax﹣2的最大值大于等于0，
二次函数的开口向下，对称轴为x＝，
当时，即a＞4时，f（1）＝﹣4+a≥0，解得a≥4；
当≤1时，即a≤4时，f（）＝≥0，解得a≥4或a≤﹣4，
综上a≤﹣4或a≥4．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在贾中横线上.）
11．函数的定义域是 　{x|x≥﹣2且x≠0}　．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥﹣2且x≠0．
∴函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠0}．
故答案为：{x|x≥﹣2且x≠0}．
12．当x＞3时，则的最小值为 　7　，当y取得最小值时x的值为 　5　．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为x＞3，所以x﹣3＞0，
所以＝x﹣3++3+3＝7，
当且仅当x﹣3＝，即x＝5时取等号，
故答案为：7，5．
13．已知f（x﹣1）＝x2，则f（x）＝　（x+1）2　．
【分析】可用换元法求解该类函数的解析式，令x﹣1＝t，则x＝t+1代入f（x﹣1）＝x2可得到f（t）＝（t+1）2即f（x）＝（x+1）2
【解答】解：由f（x﹣1）＝x2，令x﹣1＝t，则x＝t+1
代入f（x﹣1）＝x2可得到f（t）＝（t+1）2
∴f（x）＝（x+1）2
故答案为：（x+1）2．
14．不等式≤0的解集为 　（﹣∞，﹣2）∪[6，+∞）　．
【分析】根据分式不等式解法即可求解．
【解答】解：由题得或，
解得x≥6或x＜﹣2，
综上：不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪[6，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[6，+∞）．
15．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）⋃（4，+∞），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 　{x|x或x}　．
【分析】由韦达定理可得a＞0且，用a表示出b，c的值，代入所求不等式，结合a＞0化简，即可求出不等式的解集．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）⋃（4，+∞），
∴a＞0且，
∴，
∴不等式cx2﹣bx+a＜0可化为﹣8ax2+2ax+a＜0，
又∵a＞0，∴﹣8x2+2x+1＜0，
解得x或x，
即不等式的解集为{x|x或x}．
故答案为：{x|x或x}．
16．已知函数f（x）＝﹣x2﹣2x，g
（1）g[f（1）]＝　﹣2　；
（2）若方程g[f（x）]＝a有4个实数根，则实数a的取值范围是 　[1，）　．
【分析】（1）用分段函数定义求函数值即可；（2）作函数图象，用数形结合法求解．
【解答】解：（1）因为f（1）＝﹣1²﹣2•1＝﹣3，所以g（f（1））＝g（﹣3）＝﹣3+1＝﹣2．
（2）令y＝g（u），u＝f（x），作函数图象如图，
当a∈[1，1+）时，方程g[f（x）]＝a有4个实数根；
当a＝1+时，方程g[f（x）]＝a有3个实数根；
当a∈（﹣∞，1）∪（1+，+∞）时，方程g[f（x）]＝a有2个实数根．
所以实数a的取值范围是[1，）．
故答案为：（1）﹣2；（2）[1，）．

三、解答题（本大題共4小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．（8分）已知函数f（x）＝x|x|﹣2x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）用分段函数的形式表示函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图像；
（3）写出函数f（x）的单调递增区间．

【分析】（1）利用奇函数与偶函数的定义判断即可；
（2）利用绝对值的定义去掉绝对值，转化为分段函数，即可得到解析式，然后作出函数的图像即可；
（3）由函数的图像，即可得到单调递增区间．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数．
证明如下：函数f（x）＝x|x|﹣2x的定义域为R，关于原点对称，
又f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣2（﹣x）＝﹣x|x|+2x＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数；
（2）当x≥0时，f（x）＝x•x﹣2x＝x2﹣2x；
当x＜0时，f（x）＝x•（﹣x）﹣2x＝﹣x2﹣2x．
故；
作出函数f（x）的图像如图所示：

（3）由图像可得，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
18．（10分）已知二次函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，3]上的值域；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）若x∈[1，2]时，f（x）的图像恒在直线y＝ax的上方，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出二次函数的对称轴为x＝a﹣1，再由f（x）为偶函数，可得a＝1．
（2）利用二次函数的单调性即可求解．
（3）由f（x）＞ax恒成立可转化为x2﹣（3a﹣2）x+4＞0恒成立，再分离参数求最值即可．
【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4的对称轴为x＝a﹣1，
∵f（x）为偶函数，∴a﹣1＝0，∴a＝1，
∴f（x）＝x2+4，
∵对称轴为x＝0，x∈[﹣1，3]，
∴f（x）min＝f（0）＝4，f（x）max＝f（3）＝13，
∴f（x）在[﹣1，3]上的值域为[4，13]．
（2）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，
∴a﹣1≥2，∴a≥3，
∴实数a的取值范围为[3，+∞）．
（3）∵x∈[1，2]时，f（x）的图像恒在直线y＝ax的上方，
∴当x∈[1，2]时，f（x）＞ax恒成立，
即x2﹣（3a﹣2）x+4＞0，
∴3a﹣2＜x+恒成立，
∵x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
∴3a﹣2＜4，∴a＜2，
∴a的取值范围是（﹣∞，2）．
19．（10分）已知定义在R上的奇函数f（x）＝，m∈R．
（1）求m；
（2）用定义证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递减；
（3）若实数a满足f（a2+2a+2）＜，求a的取值范围．
【分析】（1）根据函数是奇函数，得f（0）＝0，即可求得m的值；
（2）根据减函数的定义进行证明即可；
（3）由a2+2a+2≥1，f（2）＝，及（2）中结论，将不等式转化为a2+2a+2＞2，解之即可．
【解答】（1）解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，解得m＝0．
（2）证明：由（1）知f（x）＝，
任取1≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣
＝＝＝，
∵1≤x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，∴1﹣x1x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减．
（3）解：由（2）可知f（x）在[1，+∞）上单调递减，
又∵a2+2a+2＝（a+1）2+1≥1，f（2）＝，
∴f（a2+2a+2）＜，可化为f（a2+2a+2）＜f（2），
则a2+2a+2＞2，
解得a＜﹣2或a＞0，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
20．（8分）已知函数f（x）＝（1≤x≤4），且f（1）＝5．
（1）求实数m的值，并求函数f（x）的值域；
（2）函数g（x）＝ax﹣1（﹣2≤x≤2），若对任意x1∈[1，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）＝f（x1）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据f（1）＝5求m的值，结合对勾函数的性质，利用单调性即可求解函数f（x）的值域；
（2）根据任意x1∈[1，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）＝f（x1）成立，可得f（x）的值域是g（x）的子集，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，f（1）＝5．
即1+m＝5，
∴m＝4，
则f（x）＝＝，
∵f（x）在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，且f（2）＝4，f（1）＝f（4）＝5；
∴函数f（x）的值域为[4，5]．
（2）对任意x1∈[1，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）＝f（x1）成立，可得f（x）的值域是g（x）的子集，
当a＝0时，g（x）＝﹣1，显然不成立；
当a＞0时，g（x）＝ax﹣1是单调递增函数，
∵﹣2≤x≤2，
∴﹣2a﹣1≤g（x）≤2a﹣1；
则，
解得a≥3；
当a＜0时，g（x）＝ax﹣1是单调递减函数，
∵﹣2≤x≤2，
∴2a﹣1≤g（x）≤﹣2a﹣1；
则
解得a≤﹣3；
综上，可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．