2021北京中关村中学高一（上）期中数学（教师版）

2021北京中关村中学高一（上）期中

数    学

一.选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）已知全集为，集合，2，3，4，，，，则图中阴影部分表示的集合为　　

A． B．， C． D．，

2．（4分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（4分）若，，，，则下列不等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

4．（4分）下面四组函数中，与表示同一个函数的是　　

A． 

B． 

C． 

D．，

5．（4分）已知函数，则下列区间中一定包含零点的区间是　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知，为实数，则“”是“，中至少有一个大于2”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．（4分）函数，且有（1）（2）（3），则实数的取值范围是　　

A． B． C．，1 D．

8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品　　)

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

9．（4分）设函数在上是增函数，则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

10．（4分）设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：

①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；

②任取的两个不同子集，，对任意都有（A）（B）；

③任取的两个不同子集，，对任意都有（A）（B）．

其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）函数的定义域为 　　．

12．（4分）方程组的解集为 　　．

13．（4分）已知为上的奇函数，时，，则　　．

14．（4分）某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　．

15．（4分）若关于的不等式的解集是，则　　．

16．（4分）对任意的，若函数的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于轴），写出满足条件的一组实数，的值分别为 　　，　　．

三.解答题（共3道小题，每小题12分，共36分）

17．（12分）已知全集，集合，．

（1）求，；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数．

（1）画出函数，，的图象；

（2）讨论当为何范围时，关于的方程在，上的解集元素个数分别为0个，1个，2个．

19．（12分）已知函数．

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）当时，判断的单调性并证明；

（3）在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围．

四.填空题（共2道小题，每小题5分，共10分）

20．（5分）若正数，满足，则的最小值为 　　．

21．（5分）已知函数，有下列结论：

①，等式恒成立；

②，，方程有两个不等实根；

③，，若，则一定有；

④存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点．

则其中正确结论序号为 　　．

五、解答题（共3道小题，共40分）

22．二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）求的解析式；

（2）在区间，上，函数的图象总在一次函数图象的上方，试确定实数的取值范围．

条件①：；

条件②：不等式的解集为．

23．已知函数．

（Ⅰ）求证：对于任意的，，总有；

（Ⅱ）记函数在区间，的最大值为，求的最小值．

24．如果是定义在上的函数，且对任意的，均有，则称该函数是“函数”．

（Ⅰ）分别判断下列函数：①；②；③是否为“函数”？（直接写出结论）

（Ⅱ）若函数是“函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与．

参考答案

一.选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．【分析】图中阴影部分表示的集合为．

【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示集合、的公共部分，即，

集合，2，3，4，，，，

，

故选：．

【点评】本题考查图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，属基础题．

2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出该命题的否定命题即可．

【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题值，

命题“，”的否定是

“，”．

故选：．

【点评】本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题目．

3．【分析】本题中，，，，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．

【解答】解：选项不对，当时不等式不成立，故排除；

选项不对，当，时不等式不成立，故排除；

选项不对，当时，不等式不成立，故排除；

选项正确，由于，又故

故选：．

【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为得出致使出错．

4．【分析】看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，选项，的定义域，定义域不同，不是同一个函数，选项是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项 也是定义域不同，后者是全体实数，前者是不等于0．

【解答】解：对于选项，的定义域，定义域不同，不是同一个函数，

选项也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，

选项也是定义域不同，后者是全体实数，前者是不等于0，

故选：．

【点评】本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．

5．【分析】利用函数的连续性，结合零点存在定理，直接计算函数在选项的区间端点出的函数值，根据函数值的符号来判断．

【解答】解：函数，是连续函数，

并且，

，

；

（1），

（2），

（1），

由零点存在定理，函数在有零点；

故选：．

【点评】本题考查函数的零点问题，考查零点存在定理，属于基础题．

6．【分析】“” “，中至少有一个大于2”，反之不成立．即可判断出关系．

【解答】解：“” “，中至少有一个大于2”，反之不成立．

“”是“，中至少有一个大于2”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．【分析】根据（1）（2）（3），得到关于的不等式，解出即可．

【解答】解：，

（1），（2），（3），

（1）（2）（3），

，

解得：．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道基础题．

8．【分析】若每批生产件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的值

【解答】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为为正整数）

由基本不等式，得

当且仅当时，取得最小值、

可得时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故选：．

【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．

9．【分析】利用分段函数是增函数，列出不等式组，求解即可．

【解答】解：函数在上是增函数，

可得：，

解得

故实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意各段的情况和单调性的定义，及复合函数的单调性，属于易错题．

10．【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于，（A）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．

【解答】解：对于，定义，

①例如正奇数，正偶数，，，；，故①正确；

②若，则，则且，或且，或且；（A）（B）；

若，则，则且；（A）（B）；

任取的两个不同子集，，对任意都有（A）（B）；正确，故②正确；

③例如：，2，，，3，，，2，3，，

当时，；（A），（B）；（A）（B）；

故③错误；所有正确结论的序号是：①②；

故选：．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）

11．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．

12．【分析】由题意可得，，即，代入方程，即可求解．

【解答】解：由题意可得，，即，

又，

，解得或，

当时，，当时，，

故方程组的解集为，，，．

故答案为：，，，．

【点评】本题主要考查方程的求解，考查计算能力，属于基础题．

13．【分析】根据题意，由定义域为的奇函数的性质可得的值，由函数的解析式可得（1）的值，结合函数的奇偶性可得的值，将与（1）相加即可得答案．

【解答】解：根据题意，为上的奇函数，则，

时，，则（1），

则（1）；

则；

故答案为：．

【点评】本题考查函数奇偶性的应用，注意的值不能由函数的解析式得到．

14．【分析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．

【解答】解：设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，

由此可得，解得，

所以，

即所求人数为12人，

故答案为：12．

【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．

15．【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出，即可．

【解答】解：关于的不等式的解集是，

，2是方程的两个根，

，，

解得，；

．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．

16．【分析】将划为分段函数，逐段与图像对应，根据图像在各段上的变化规律：常规函数、正比例函数、常数函数，进而确定解析式的各项系数，找出共同条件进行求解即可

【解答】解：当时，，

由图可知，；

当时，

由图可知，，

当时，

由图又可得出，同时使得和成立，

故有，且（或时满足条件，

故答案为：，．

【点评】解题的关键在于将划为分段函数，逐段与图像对应，主要运用数形结合来解题，属于中档题．

三.解答题（共3道小题，每小题12分，共36分）

17．【分析】（1）化简集合，根据交集和补集、并集的定义计算即可；

（2）根据子集的定义，列出不等式或，求出解集即可．

【解答】解：（1）全集，集合，或，

所以，

或，或；

（2）因为集合，当时，或，

解得或，

所以实数的取值范围是或．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

18．【分析】（1）根据解析式作出图象即可；

（2）依题意转化为函数，，的图象与直线交点的个数进行求解，根据（1）中的图象可得结果．

【解答】（1）如图所示，

（2）依题意转化为函数，，的图象与直线交点的个数进行求解，根据（1）中的图象可得：

当或时，，解集元素为0个；

当或时在，上的解集为1个元素；

当时在，上的解集为2元素．

【点评】第二问转化为函数，，的图象与直线交点的个数进行求解是解题关键．

19．【分析】（1）检验与的关系即可判断，

（2）先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断，

（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．

【解答】证明：（1）为奇函数，利用如下：

，

故为奇函数，

（2）时，的单调性递增，利用如下：

设，，

则，

，

所以，

所以在上单调递增，

（3）解：由可得，

解得，．

故的范围

【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．

四.填空题（共2道小题，每小题5分，共10分）

20．【分析】再运用基本不等式可解决此题．

【解答】解：正数，满足，，

当且仅当且，即，时等号成立．

故答案为：9．

【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．

21．【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断．

【解答】解：已知函数，有下列结论：

对于①，因为，，所以①对；

对于②，因为当，时，方程，只有一个实根，所以②错；

对于③，因为当，时，，单调递增，

当，时，，单调递增，

所以在上单调递增，

所以，，若，则一定有，所以③对；

对于④，函数在上有三个零点，

即方程在上有三个根，

因为必为一根，只要方程有两个根，

即只要有两个根，由函数图象知，

，，所以④对．

故答案为：①③④．

【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题．

五、解答题（共3道小题，共40分）

22．【分析】选条件①：（1）先设，在利用求，再利用两方程相等对应项系数相等求，即可．

选条件②：（1）先设，在利用求，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解，即可．

（2）转化为在，上恒成立问题，找其在，上的最小值让其大于0即可．

【解答】解：选条件①：（1）设，由得，故．

因为，所以．

即，所以，，

所以，

选条件②：（1）设，由得，故，

因为不等式的解集为，

所以：的解集为，即的根为和3，

且，

，，所以，

（2）由题意得在，上恒成立．即在，上恒成立．

设，其图象的对称轴为直线，所以在，上递减．

故只需最小值（1），即，

解得．

【点评】本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．

23．【分析】（Ⅰ）问题等价于对于任意的，，总有，令，求出，时的范围得答案；

（Ⅱ），分，，，结合图象可得，再对分类求得的最小值．

【解答】（Ⅰ）证明：对于任意的，，总有，

等价于对于任意的，，总有，

令，

则当，时，，，即对任意的，，总有，

对于任意的，，总有；

（Ⅱ）解：，

当时，由（Ⅰ）知，对任意的，，总有，

则此时，即有，故或时，有最大值为；

当时，由图可得，当或时，有最大值；

当时，由图可得，当时，取得最大值．

综上可知，．

当时，，当时，．

故的最小值为2．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查利用二次函数的单调性求最值，考查数形结合与分类讨论思想，是中档题．

24．【分析】（Ⅰ）由“函数”的定义，判断可得结论；

（Ⅱ）由“函数”的定义可得方程无实数解，可得所求范围；

（Ⅲ）讨论，属于或，可得对任意的，与恰有一个属于，另一个属于，则，，判断0属于，可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）①②是“函数”，③不是“函数”；

（Ⅱ）由是“函数，

，

，

可得无实数解，

即无实数解，

所以，

则的取值范围为；

（Ⅲ）对任意的，

若且，则，，与在上单调增矛盾，舍去；

若且，，与是“函数”矛盾，舍去；

所以对任意的，与恰有一个属于，另一个属于，

则，，

假设，则，与是“函数”矛盾，舍去．

所以，

经检验，，，符合题意．

【点评】本题考查新定义“函数”的理解和运用，以及函数的单调性和方程无解的条件，考查转化思想和分类讨论思想、推理能力，属于中档题．