2021北京朝阳高一（下）期末数学（教师版）

2021北京朝阳高一（下）期末

数    学

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1．（5分）已知复数（其中是虚数单位），则在复平面内对应的点的坐标是　　

A． B． C． D．

2．（5分）如图、在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，，则该四棱锥的体积为　　

A．18 B．12 C．9 D．6

3．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是　　

A． B． C． D．

4．（5分）设，是两个不同的平面，是平面内的一条直线，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）在中，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：如表：

根据以上数据，下面说法正确的是　　

A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 

B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 

C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 

D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

7．（5分）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　

A．3 B． C． D．

8．（5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：

如果有的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为　　

A．65 B．70 C．75 D．80

9．（5分）在棱长为1的正方体中，若点是核的中点，点是底面内的动点，且满足，则线段的长的最小值为　　

A． B． C．1 D．

10．（5分）已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且，，，实数，，，，则的最大值为　　

A． B． C． D．5

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．（5分）已知平面向量，，且，则实数　　．

12．（5分）若复数为纯虚数，则实数的值为 　　．

13．（5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 　　．

14．（5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 　　，方差 　　（填“变大”，“变小”，“不变”

15．（5分）已知等边的边长为2，为边的中点，点是边上的动点，则的最大值为 　　，最小值为 　　．

16．（5分）已知的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：

①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；

②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；

③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；

④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)

17．（14分）在中，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求的值．

18．（14分）如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）判断点是否在平面内，并说明理由．

19．（14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在，中的市民有200人．

心理测评评价标准

（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在，的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在，的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率；

（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分

20．（14分）在锐角中，，，分别是边，上的点．且．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的大小；

（Ⅲ）四边形的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

21．（14分）将平面直角坐标系中的一列点，，，，记为，设，其中为与轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数，都有，则称为点列．

（Ⅰ）判断是否为点列，并说明理由；

（Ⅱ）若为点列，且任取其中连续三点，，，证明△为钝角三角形；

（Ⅲ）若为点列，对于正整数，，，比较与的大小，并说明理由．

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：，

在复平面内对应的点的坐标是．

故选：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．【分析】根据棱锥的体积公式，计算即可．

【解答】解：四棱锥中，底面矩形的面积为，

因为底面，所以四棱锥的高为，

所以该四棱锥的体积为．

故选：．

【点评】本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．

3．【分析】根据不放回抽取的规则以及古典概型的概率计算公式即可求解．

【解答】解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球，

则两个球颜色相同的概率，

故选：．

【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到不放回抽取的应用，属于基础题．

4．【分析】由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定方法得答案．

【解答】解：，若，由平面与平面垂直的判定可得，

反之，若，，可得与有三种位置关系，即或或与相交，相交也不一定垂直，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．

5．【分析】根据已知条件，运用正弦定理，可得，再结合角的范围，即可求解．

【解答】解：，

由正弦定理，可得，

，

，，

又，

．

故选：．

【点评】本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

6．【分析】根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．

【解答】解：选项：甲种水稻产量的平均数为：，

乙种水稻产量的平均数为：，

即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故错误，

选项：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为，

乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为，故错误，

选项：甲种的水稻产量的极差为，乙种的水稻产量的极差为，故错误，

选项：甲种的水稻产量的方差为：，

乙种的水稻产量的方差为：，

因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故正确，

故选：．

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．

7．【分析】由图可知：，，再利用向量的线性运算性质即可得出．

【解答】解：由图可知：，，

，

则，，所以．

故选：．

【点评】本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．【分析】计算累计频数即可．

【解答】解：因为，且分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75．

故选：．

【点评】本题考查频数表的理解，属于基础题．

9．【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，再由可得的轨迹方程，从而由平面知识得到长的最小值．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，设，0，，，1，，，0，，，，，

所以，，，，，，

因为，

所以，即点的轨迹方程为，

所以线段的最小值为，

故选：．

【点评】本题考查空间线面关系的应用，涉及空间向量的应用，点到直线距离的最小值求法，属于中档题．

10．【分析】根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合，，的取值范围，即可求解．

【解答】解：不共线的平面向量，，两两的夹角相等，

平面向量，，两两的夹角都为，

，，，

，，，

，

，，，，

当，，时，取得最大值为21，

的最大值为．

故选：．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．【分析】根据可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值．

【解答】解：，

，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

12．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．

【解答】解：复数为纯虚数，

，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查了纯虚数的概念，属于基础题

13．【分析】设既选考物理又选考地理的学生有人，然后根据已知条件求出的值，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．

【解答】解：设既选考物理又选考地理的学生有人，

则只选物理的人数为人，只选地理的人数为人，

所以选考物理或地理的学生人数为，解得，

故所求事件的概率为，

故答案为：．

【点评】本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．

14．【分析】由平均数公式以及方差的计算公式分析即可．

【解答】解：设原来的一组数据有个，分别为，，，，

则有，

方差，

所以，

加入一个新数10后，

平均数为，

故平均数不变；

新的方差’

，

故方差变小．

故答案为：不变；变小．

【点评】本题考查了平均数与方差的运算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

15．【分析】以所在的直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．

【解答】解：以所在的直线为轴，的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，

等边的边长为2，为边的中点，

，，，，

设点的坐标为，，

，，

，

设，，

函数的对称轴为，

在区间单调递减，在区间单调递增，

当时，，

当时，．

故答案为：3，．

【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．

16．【分析】根据题意，由余弦定理和正弦定理分析四个结论，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，设的三边长依次为，，，设最大角为，最小角得，

对于①，当时，的三边长依次为3，4，5，此时为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和，①正确；

对于②，当时，的三边长依次为2，3，4，，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和，②正确；

对于③，当时，的三边长依次为4，5，6，，，

有，则有，③正确；

对于④，假设存在符合题意的三角形，则，则有，

又由，则，，

，变形可得：，

由，可得，

而，联立可得：，

无整数解，即不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形，④错误；

故答案为：①②③．

【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，属于中档题．

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)

17．【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．

由已知条件，运用三角函数的同角公式，可得，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）在中，，

又由余弦定理，可得，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

．

，

又，

．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由已知利用正方体的性质可证，根据线面平行的判定即可得解．

（Ⅱ）利用线面垂直的性质可证，利用正方形的性质可证，又由（Ⅰ）知，可证，利用线面垂直的判定即可证明平面．

（Ⅲ）取中点，连接，，，由正方体性质可证，，通过证明四边形为平行四边形．可证，，通过证明四边形为平行四边形，可证，利用正方体的性质可证，，通过证明四边形为平行四边形，可证，通过证明，可得点在平面内．

【解答】解：（Ⅰ）因为在正方体中，点，分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）因为在正方体中，平面，

所以，

因为四边形为正方形，所以，

又由（Ⅰ）知，

所以，，

又因为，

所以平面．

（Ⅲ）点在平面内，理由如下：

取中点，连接，，，

因为在正方体中，点，分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形为平行四边形．所以，，

又因为，，

所以，，

所以四边形为平行四边形．所以，

因为在正方体中，点，分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形为平行四边形．所以，

所以，

故点在平面内．

【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．

19．【分析】（1）根据每组的小矩形的面积之和为1可解决此问题；

（2）可先计算，然后计算；

（3）先计算市民心理健康调查评分的平均值，再计算市民心理健康指数的平均值，可解决此问题．

【解答】解：（Ⅰ）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1．

所以，解得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

所以调查评分在，中的人数是调查评分在，中人数的，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在，中有1人，在，中有2人，

设事件 “在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”．

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以，

所以，

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为；

（Ⅲ）由频率分布直方图可得，

．

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，

所以市民心理健康指数平均值为．

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．

【点评】本题考查频率分布直方图中某个矩形对应纵坐标算法、平均数算法、独立事件概率算法，考查数学运算能力，属于中档题．

20．【分析】选条件①③时，（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果；

（Ⅱ）直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果；

（Ⅲ）利用三角形的面积公式的应用求出结果．

选条件②③时，（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的应用求出结果；

（Ⅱ）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果；

（Ⅲ）利用作差法的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．

【解答】解：选条件①③时，

（Ⅰ）因为，

又因为在中，，

所以．

因为是锐角三角形，由（Ⅰ）知，

所以．

在中，因为，

所以，即，

解得．

又因为，所以．

又因为，

所以．故．

（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知，

所以．

又因为，

所以．

所以四边形的面积为．

选条件②③时，

（Ⅰ）因为，

所以．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：，得，

又因为，所以，

又因为，所以故．

（Ⅲ）因为是锐角三角形，由（Ⅰ）知，

所以．

由余弦定理得：，

解得：．

所以．

又因为，

所以．

所以四边形的面积为．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）利用点列的定义进行判断即可；

（Ⅱ）利用为点列，得到对中连续三点，，，都有，，分析得出，为△的最大内角，然后由余弦定理判断即可；

（Ⅲ）利用为点列，，，2，，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得，再由，即可判断得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）为点列．理由如下：

由题意可知，，

所以，

，

即，，2，，

所以为点列；

（Ⅱ）由题意可知，，

所以，

因为为点列，

所以，，2，，

又因为，所以，

所以对中连续三点，，，都有，，

又，

所以，

所以为△的最大内角，

由余弦定理可得，

，

故为钝角，所以△为钝角三角形；

（Ⅲ）由正整数，，满足，则，

因为为点列，由（Ⅱ）知，，2，，

所以，

，

，

两边分别相加可得，

所以，

则，

所以，

又，

所以，

所以．

【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．