2021北京东城高一（下）期末数学（教师版）

2021北京东城高一（下）期末

数    学

一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（3分）已知复数，则　　

A． B． C． D．0

2．（3分）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）由随机函数生成了在区间，内的随机数，则下列运算中能将对应到区间，的是　　)

A． B． C． D．

4．（3分）在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是　　

A． B． C． D．

5．（3分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是　　

A．直方图中的值为0.004 

B．在被抽取的学生中，成绩在区间，的学生数为10 

C．估计全校学生的平均成绩不低于80分 

D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为93分

6．（3分）设向量，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：

“点数为”，其中，2，3，4，5，6；

“点数不大于2”，

“点数不小于2”，

“点数大于5”；

“点数为奇数”，

“点数为偶数”．

下列结论正确的是　　

A．与对立 B．与互斥 C． D．

8．（3分）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为　　

A． B． C． D．

9．（3分）若直线平面，则下列结论一定成立的个数是　　

①内的所有直线与异面；

②内存在唯一一条直线与相交；

③内存在直线与平行．

A．0 B．1 C．2 D．3

10．（3分）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则　　

A． B． C． D．

二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．

11．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为 　　；　　．

12．（4分）已知某车企从今年开始投产了，，三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台型号的新能源汽车被抽取的概率为 　　．

13．（4分）在中，，，则　　．

14．（4分）已知中弦，则　　．

15．（4分）已知，是平面，是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是 　　．（填入条件的序号即可）

①；②；③；④；⑤．

16．（4分）用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②．将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为，，若的最小正周期为，则　　，此时，当　　时，可使的值域为．

三、解答题：共5小题，共46分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（9分）已知，，，，．

（1）求及的值；

（2）求的值．

18．（9分）为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目，，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．

（1）随机选取一名篇目的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的的概率；

（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到的篇目的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的的概率；

（3）请依据图中的数据，比较篇目和篇目的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．

19．（9分）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）到水面的距离为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点距水面的高度为（单位；米），水车逆时针旋转时间为（单位：秒）．当点在水面上时高度记为正值；当点旋转到水面以下时，点距水面的高度记为负值．过点向水面作垂线，交水面于点，过点作的垂线，交于点．从水车与水面交于点时开始计时，设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．

（1）求与的函数解析式；

（2）当雨季来临时，河流水量增加，点到水面的距离减少了0.3米，求的大小（精确到；

（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．

（参考数据：

20．（9分）已知点，，．

（1）若，求点的坐标；

（2）已知．

①若点在直线上，试写出，应满足的数量关系，并说明你的理由；

②若为等边三角形，求，的值．

21．（10分）如图①，矩形中，，，，分别为，的中点．将四边形沿折起至四边形的位置，如图②．

（1）求证：平面；

（2）若点在平面上的射影为的中点，求三棱锥的体积；

（3）当平面与平面垂直时，作正方体如图③．若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积为．

①若，则　　；

②的最大值为 　　．（直接写出结果）

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义直接求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】通过单位向量模为1与，进行分析可解决此题．

【解答】解：当，夹角不是0时，，错；

，，，显然不一定为1，错；

当，夹角不是0或时，与不一定平行，错；

，都是单位向量，，对．

故选：．

【点评】本题考查向量概念、模、数量积运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．

3．【分析】利用，，依次判断四个选项是否能将对应到区间，，即可得到答案．

【解答】解：因为，，则，，不符合题意，故选项错误；

因为，，则，，不符合题意，故选项错误；

因为，，则，，符合题意，故选项正确；

因为，，则，，不符合题意，故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了随机数的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．

4．【分析】利用异面直线的判定定理和异面直线所成角的定义，对四个选项逐一分析判断即可．

【解答】解：由异面直线的判定定理可知，过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线异面，

直线与直线异面，为两条直线所成的角，故选项错误；

直线与直线相交，不是异面直线，故选项错误；

直线与直线异面，为两条直线所成的角，故选项错误；

直线与直线异面，因为平面，又平面，所以，故选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了异面直线的判断，异面直线的判定定理的应用以及异面直线所成角的求解，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．

5．【分析】根据直方图中学生成绩落在各个区间概率和为1可求得，可判断；

根据成绩在区间，的学生的频率计算学生数，可判断；

按照频率分布直方图中平均数算法求得平均数，可判断；

按照频率分布直方图中百分位数算法计算样本数据的分位数，可判断．

【解答】解：由图可知，解得，错；

由图可知根据成绩在区间，的学生数为，错；

由图可知平均数为：，对；

由图可知样本数据的分位数约为：，错．

故选：．

【点评】本题考查频率分布直方图中某个区间的频率或频数、平均数、百分位数算法，考查数学运算能力，属于基础题．

6．【分析】由可得，得到与终边相同或关于坐标轴对称；反之由可得，再由充分必要条件的判定得答案．

【解答】解：向量，由，得，

则，而，可得，

则与终边相同或关于坐标轴对称；

反之，若，则，可得．

“”是“”的必要而不充分的条件，

故选：．

【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查向量模的求法及三角函数的求值问题，是基础题．

7．【分析】对于，与是互斥但不对立事件；对于，与能同时发生，不是互斥事件；对于，由 “点数大于5”， “点数为偶数”，得；对于，， “点数为奇数”，从而不成立．

【解答】解：对于，与不能同时发生，但能同时不发生，与是互斥但不对立事件，故错误；

对于，与能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于， “点数大于5”， “点数为偶数”，

，故正确；

对于，， “点数为奇数”，

不成立，故错误．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题．

8．【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解．

【解答】解：的图象向右平移个单位长度，

得到，

得到的函数图象关于轴对称，

则：，，

解得：，

当时，．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换，正弦型函数性质得应用，属于基础题．

9．【分析】由已知可得或与相交，再分类分析直线与平面内直线的位置关系，则答案可求．

【解答】解：若直线平面，则或与相交．

当时，内的直线与的位置关系是平行或异面；

当与相交时，内的直线与的位置关系是相交或异面．

①内的所有直线与异面错误；

②内存在唯一一条直线与相交错误，当与平行时，内不存在直线与相交，

当与相交时，内过交点的直线都有直线相交；

③内存在直线与平行错误，当与相交时，内不存在直线与平行．

结论一定成立的个数是0．

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

10．【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角；

【解答】解：当航线垂直于河岸时，航程最短．

如图，

在中，，，所以，

所以，故，即，

故选：．

【点评】本题考查向量的加法的几何意义的应用，结合解直角三角形和三角函数知识考查，属于基础题．

二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．

11．【分析】把复数化成代数形式，可得对应的点的坐标，再计算即可．

【解答】解：，

复数对应的点的坐标为；

．

故答案为：；2．

【点评】本题考查复数乘法运算，复数的模和几何意义，考查运算能力，属于基础题．

12．【分析】由题意利用分层抽样的定义和特点，求出每一台车被抽取的概率，即为所求．

【解答】解：，，三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，

现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，

则每一台车被抽取的概率为，

故某一台型号的新能源汽车被抽取的概率为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和特点，属于基础题．

13．【分析】直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．

【解答】解：中，，，

所以，整理得，

则：．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14．【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可．

【解答】解：中弦，则．

故答案为：18．

【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题．

15．【分析】由面面平行、线面平行结合线不在平面内得结论（或由面面垂直、线面垂直结合线不在平面内得结论）．

【解答】解：由，，，可得；

由，，，可得．

故答案为：①④⑤（或②③⑤．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

16．【分析】利用的最小正周期为，即为圆柱横截面周长为，即可求出的值；利用值域求出的长，结合的值，从而求出，即可得到答案．

【解答】解：如图所示①，因为的最小正周期为，

此时轴长度，其底边所对应的长度为，

恰好为圆柱的底面周长，

则圆柱横截面周长为，即，故，

因为的值域为，

则斜切面的最低点与最高点在轴上对应距离为，

即图②中的长为，

因为，

所以，

则，

又，

所以．

故答案为：1；．

【点评】本题考查了三角函数与立体几何的应用，涉及了圆柱几何特征的理解与应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

三、解答题：共5小题，共46分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．【分析】（1）根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．

【解答】解：（1），

，

，，，

．

（2），

，

又，，

，，

，，，

，

．

【点评】本题考查了三角函数的两角和与差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

18．【分析】（1）利用题中折线图中的数据，由频率估计概率即可；

（2）利用分层抽样的特点，得到抽取3人，的抽取3人，然后由古典概型的概率公式求解即可；

（3）通过折线图的变化趋势，考虑优化，由的变化趋势分析建议即可．

【解答】解：（1）由题中的折线图可知，随机选取一名篇目的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的的概率为；

（2）由折线图可知，和的阅读量和跳转率相等，

则由分层抽样方法可知，在阅读量没有达到的篇目的读者中抽取6人，

则抽取3人，的抽取3人，从6人中任选其中2人进行访谈，

则这两人退出页面时阅读量都为文章总量的的概率为；

（3）由题中的折线图可以看出，，都随着阅读量的增加，阅读跳转率也在增加，考虑选择进行优化．

建议：可以在阅读量之后进行改善，使它能更吸引读者，尤其是，跳转率太大，应是后期很差导致，故考虑改善的后期，以便吸引读者．

【点评】本题考查了折线图的应用，古典概率概率公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．

19．【分析】（1）设，依据题意求出各参数后可得．

（2）在直角三角形中计算可得．

（3）由周期变为原来的一半可得．

【解答】解：（1）由题意设，

则，，

则，

由题意，是锐角，所以，

，

，，

所以．

（2）河水上涨0.3米，在中，，

所以．

（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即，

，

所以．

【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．

20．【分析】（1）由向量坐标加法运算可求得点坐标；

（2）设，由得、用，表示的表达式．

①把、用，表示的表达式代入“”可求得，应满足的数量关系；

②根据，可求得，的值．

【解答】解：（1）由题意，，，点坐标为；

（2）设，由得、．

①把、代入“”得，得；

②由为等边三角形，得，，

，

由得，

代入，得，

把、代入，得，

，代入，得，解得，

或．

【点评】本题考查平面向量坐标运算、向量模，考查数学运算能力，属于中档题．

21．【分析】（1）在翻折过程中，，保持不变，利用线面垂直的判定定理证明；

（2）因为平面，通过换顶点，利用等体积法求三棱锥体积；

（3）利用正方体的性质，平面沿体对角线运动，当截面为正六边形时，面积最大．

【解答】解：（1）证明：在矩形中，，，

所以在图②中，，，又，所以．

（2）设中点为，则平面．所以．

（3）①连接，，，所以平面平面．所以平面截该正方体所得图形为边长为的正三角形，

面积为．

②如图，当截面为边长为的正六边形时，面积最大，为．

【点评】本题考查线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，面面平行的判定定理，正方体的截面问题，属于综合题。