2021北京丰台高一（下）期末数学（教师版）

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2021北京丰台高一（下）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）在复平面内，复数对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）已知向量，且，则向量可以是　　A． B． C． D．3．（4分）在平行四边形中，是对角线和的交点，则　　A． B． C． D．4．（4分）已知正三棱锥，底面的中心为点，给出下列结论：①底面；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是　　A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（4分）已知，则　　A． B． C． D．6．（4分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则7．（4分）如图，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若球的体积为，则圆柱的表面积为　　)A． B． C． D．8．（4分）在中，点在线段上，且，若，则　　A． B． C．2 D．39．（4分）在中，若，且，则　　A． B． C． D．10．（4分）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为正弦型曲线）体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如表所示： 高潮期低潮期体力体力充沛疲倦乏力情绪心情愉快心情烦躁智力思维敏捷反应迟钝如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲　　A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷 C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知，且，则　　．12．（5分）为调研某校学生的课外阅读情况，通过随机抽样调查，获得100名学生每天的课外阅读时间，所得数据均在区间，（单位：上，其频率分布表如下：分组频率，0.05，0.35，，0.2，0.1则　　；根据以上数据，估计该校学生每天课外阅读时间的分位数为 　　．13．（5分）若复数，其中为虚数单位，则　　．14．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为 　　．15．（5分）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论：①；②三棱锥的体积为定值；③点在线段上为的中点）；④△面积的最大值为2．其中所有正确结论的序号是 　　．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知向量，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求与夹角的大小；（Ⅲ）求．17．（14分）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高体重数据，计算得到他们的，进而得到频率分布直方图如下：（Ⅰ）该公司男员工和女员工各有多少人？（Ⅱ）根据及频率分布直方图，估计该公司男员工为肥胖的有多少人？（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计该公司男员工的平均数为，女员工的平均数为，比较与的大小．（直接写出结论，不要求证明）18．（14分）如图，在中，是边上一点，，，．（1）求的长；（2）若，求角的大小．19．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．（Ⅲ）若，求异面直线与所成角的大小．20．（14分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，求函数在区间上的最小值．条件①：的图象过点；条件②：的图象关于直线对称；条件③：在区间上单调递增．21．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．（Ⅰ）若平面交于点，求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）判断直线与平面所成角的大小是否可以为，并说明理由．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】写出复数对应的点可解决此题．【解答】解：复数对应的点为，复数对应的点位于第四象限，故选：．【点评】本题考查复数的几何意义，考查直观想象能力，属于基础题．2．【分析】根据题意，依次分析选项中向量是否与垂直，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，有，则有，符合题意；对于，，有，则不成立，不符合题意；对于，，有，则不成立，不符合题意；对于，，有，则不成立，不符合题意；故选：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．3．【分析】根据已知条件，可得，再结合向量的运算性质，即可求解．【解答】解：四边形为平行四边形，，．故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及向量的运算性质，属于基础题．4．【分析】利用正三棱锥的定义以及结构特征，依次判断即可．【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，所以底面，故选项①正确；由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心，但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误；由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故选项③正确．故选：．【点评】本题考查了正三棱锥的定义以及正三棱锥的结构特征，考查了空间想象能力，属于基础题．5．【分析】由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．6．【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定；由平行于同一直线的两平面的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断；由空间中直线与平面垂直的关系判断．【解答】解：若，，则或与相交或与异面，故错误；若，，则或与相交，故错误；若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；若，，因为与的位置关系不确定，所以与的位置关系不确定，故错误．故选：．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．7．【分析】利用球的体积公式求出球的半径，从而得到圆柱的底面半径和高．【解答】解：设球的半径为，则，解得；所以圆柱的底面半径为1，高为2，表面积为．故选：．【点评】本题考查球的体积公式和圆柱的表面积公式，属于基础题．8．【分析】由已知得，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．【解答】解：因为，所以，所以，故，若，则，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用求出结果．【解答】解：在中，若，利用正弦定理：，整理得：，化简得：，故或（舍去），由于，所以．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】根据题意，由图象分析体力、情绪、智力的周期，由此分析同学甲的状态，即可得答案．【解答】解：根据题意，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，由图分析可得：体力的周期为23天，情绪的周期为28天，智力的周期为33天；从同学甲出生到今日的天数为5850，对于体力，有，处于高潮期，体力充沛，对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁，对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷，故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷；故选：．【点评】本题考查合情推理的应用，注意由图象分析体力、情绪、智力的周期，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】由两个向量共线的性质可得，解方程求得的值．【解答】解：已知，且，则由两个向量共线的性质可得，解得，故答案为 6．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．12．【分析】利用频率之和为1列式求解即可求出；由百分位数的定义求解即可．【解答】解：由题意可知，，解得；，又，，故该校学生每天课外阅读时间的分位数为85．故答案为：0.3；85．【点评】本题考查了频率分布表的应用，频率之和为1的应用，百分位定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．13．【分析】可先将复数进行化简，再求出的模即可．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算，以及复数的模，属于基础题．14．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的一个取值．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则，，则的一个取值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．15．【分析】根据立体几何中线线，线面，面面的位置关系，结合正方体的特征，逐个分析，即可得出答案．【解答】解：对于①：由正方体的特征可得，，又，所以平面，又因为平面，所以，故①正确；对于②：三棱锥的体积为，故②正确；对于③：当位于点是，，当位于的中点时，由已知得，，，，，所以，，，所以，得，又，所以平面，得到的轨迹在线段上，故③正确；对于④：由，，所以点到棱的最大值为，所以△面积的最大值为，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面的位置关系，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积公式求解；（Ⅱ）利用向量的数列数量积公式；求解向量与夹角的大小；（Ⅲ）通过向量的模的议事规则求解即可．【解答】解：（Ⅰ）向量，．所以；（Ⅱ），，所以向量与夹角的大小为；（Ⅲ），，，．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的夹角以及向量的模的求解，是基础题．17．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的比例关系可求得男女员工人数；（Ⅱ）根据频率分布直方图的性质即可求出男员工肥胖人数；（Ⅲ）由图计算出，即可．【解答】解：（Ⅰ）由题可得男员工人数为人，女员工人数为人；（Ⅱ）男员工肥胖人数为人；（Ⅲ）．由图可得，，所以．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查学生计算能力，属于基础题．18．【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【解答】解：（1）在中，，，．利用余弦定理，解得．（2）利用余弦定理，所以，在中，利用正弦定理，整理得，故．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）由三棱柱的性质知，，再由线面平行的判定定理，得证；（Ⅱ）由面面，可推出面，再由面面垂直的判定定理，得证；（Ⅲ）易知，或其补角即为所求，由（Ⅱ）知，面，从而有，再由三角函数即可得解．【解答】（Ⅰ）证明：由三棱柱的性质知，，平面，平面，平面．（Ⅱ）证明：面面，面面，且面，又平面，平面平面．（Ⅲ）解：，或其补角为异面直线与所成角，由（Ⅱ）知，面，面，，在△中，，异面直线夹角的范围为，，，故异面直线与所成角的大小为．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，异面直线夹角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于基础题．20．【分析】根据已知条件，结合三角函数的周期公式，即可求解．选择条件①，将点，代入中，可推得，即，运用三角函数得恒等变换将化简为，再根据的取值范围和正弦函数的图象，即可求解，选择条件②，由于的图象关于直线对称，即，可推得，以下同选择条件①，选择条件③，根据已知条件，结合正弦函数的单调性，可得当时，取得最大值，即，可推得，以下同选择条件①．【解答】解：函数的最小正周期为，，．选择条件①，的图象过点，，，又，，，，，，当时，即，取得最小值，选择条件②，的图象关于直线对称，，，又，，以下同选择条件①，选择条件③，函数的最小正周期为，，在区间上单调递增，，当时，取得最大值，，，又，，以下同选择条件①．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．21．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明平面，平面，由线面平行的性质定理即可证明；（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而通过，，即可证明平面；（Ⅲ）由线面角的定义可得，即为直线与平面所成的角，利用边角关系求出的范围，从而得到的范围，即可得到答案．【解答】（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面交于点，所以平面平面，又平面，所以；（Ⅱ）证明：因为底面，平面，所以，又为正方形，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，且，，平面，故平面；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，即为直线与平面所成的角，则，设，则，故，所以，则，又，故，所以直线与平面所成角的大小不可以为．【点评】本题考查了线面平行的判定定理的应用，线面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面角定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．