2021北京交大附中分校高一（下）期末数学（教师版）

2021北京交大附中分校高一（下）期末

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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）已知平面向量，，那么等于　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（4分）的值等于　　

A． B． C． D．

3．（4分）计算的结果是　　

A． B． C． D．1

4．（4分）如果正的边长为1，那么等于　　

A． B． C．1 D．2

5．（4分）复数的模　　

A． B．2 C．1 D．4

6．（4分）在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，，那么等于　　)

A． B． C． D．

7．（4分）已知中，，，，那么等于　　

A． B．6 C．1 D．

8．（4分）函数的最小正周期为　　

A． B． C． D．

9．（4分）已知复数满足，则的虚部是　　

A． B．1 C． D．

10．（4分）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11．（5分）等于　　．

12．（5分）在复数范围内方程的解集是 　　．

13．（5分）在中，角、、对边分别为、、，已知，，，那么等于 　　．

14．（5分）已知点，，，，　　．

15．（5分）再复平面内，复数与其共轭复数对应的点分别为，，为坐标原点，则三角形的面积是 　　．

三、解答题：本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（8分）已知，求实数，的值．

17．（9分）已知向量，，求函数．

（1）如果，求的值．

（2）如果，求的取值范围．

18．（9分）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）角的大小和的面积．

条件①：；

条件②：．

19．（9分）在中，，，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求的取值范围．

2021北京交大附中分校高一（下）期末数学

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】利用平面向量的坐标运算性质代入计算即可．

【解答】解：由题可得，，，

故选：．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的坐标运算，属于基础题．

2．【分析】由已知结合两角和的正弦公式即可求解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题．

3．【分析】利用公式，即可得解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．

4．【分析】根据向量的数量积的运算性质计算即可．

【解答】解：正的边长为1，

，

故选：．

【点评】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．

5．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

6．【分析】根据正弦定理直接代入求值即可．

【解答】解：由正弦定理，

得，解得：，

故选：．

【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．

7．【分析】由余弦定理即可求解．

【解答】解：在中，，，，

所以由余弦定理可得，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

8．【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．

【解答】解：由题意，函数

故选：．

【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于基础题．

9．【分析】利用待定系数法设，然后利用复数相等，求出的值即可得到答案．

【解答】解：设，

因为，则有，即，所以，

故复数的虚部为．

故选：．

【点评】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．

10．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数在复平面上对应的点位于第一象限，

则实数的取值范围是　0，，

故选：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11．【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．

12．【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，求得结果．

【解答】解：对于方程，由于△，故它有2个共轭虚根，

它的2个根为，

故原方程的解集为，或，

故答案为：，或．

【点评】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，属于基础题．

13．【分析】由已知利用三角形的面积公式即可求的值．

【解答】解：，，，

．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．

14．【分析】分别求出，代入公式求解．

【解答】解：，所以，，

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查利用数量积求夹角的余弦值，属于基础题．

15．【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义，以及三角形的面积公式，即可求解．

【解答】解：复数在复平面内对应的点为，的共轭复数在复平面内对应的点为，

故．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查复数的几何含义，以及三角形的面积公式，属于基础题．

三、解答题：本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．【分析】根据复数的相等可得关于、的方程组，再求出，．

【解答】解：由，可得，解得或．

【点评】本题考查了根据复数的相等求参数的值，考查了方程思想，属于基础题．

17．【分析】计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；

（1）借助诱导公式和二倍角公式，求出的值．

（2）先求出的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．

【解答】解：，，

，

（1），

，

，

，

（2），

，，

，

，

的取值范围．

【点评】本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题．

18．【分析】选条件①：（Ⅰ）利用余弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；

选条件②时，（Ⅰ）利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．

【解答】解：选条件①：

（Ⅰ）时，，，

利用，

整理得，解得或（负值舍去），

故：．

（Ⅱ）由于，，

所以，

利用正弦定理，所以，解得，

由于，所以，

则．

选条件②时，

（Ⅰ），所以，

，所以，

由正弦定理，整理得，解得，

（Ⅱ），所以，

，所以，

所以，

由于，

所以．

所以．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）由与的度数求出的度数，即可求出的值；

（Ⅱ）由正弦定理列出关系式，根据表示出代入计算即可得证；

（Ⅲ）利用平面向量的数量积运算化简所求的式子，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个叫的正弦函数，由的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出范围．

【解答】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明：在中，由正弦定理得，

，，，

；

（Ⅲ），，

，

，，，，

，，

则的取值范围是，．

【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．