2021北京师大附中高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京师大附中高一（下）期末数学（教师版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京师大附中高一（下）期末
数 学
一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）
1．（4分）若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•＝（　　）
A．1 B． C． D．2
3．（4分）圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（　　）
A．20πcm2 B．10πcm2 C．28πcm2 D．14πcm2
4．（4分）已知向量＝（﹣1，3），＝（x，﹣1）且，则x等于（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
5．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，则直线PB与直线CD所成角的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（4分）函数的图象（　　）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
7．（4分）在△ABC中，a＝2bcosC，那么这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定
8．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论一定成立的是（　　）

A．四边形EFGH是矩形 B．四边形EFGH是正方形
C．BD∥HG D．平面EFGH∥平面ABCD
9．（4分）已知平面向量，满足||＝2，||＝1，则“﹣与+2互相垂直”是“⊥”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）如图，函数在一个周期内的图象与y轴交于点（0，1）．P是其图象上的最高点，M，N是其图象与x轴的交点，则与的夹角的余弦值为（　　）

A．0 B． C． D．1
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）在△ABC中，B＝30°，AB＝15，BC＝5，则AC＝　 　．
12．（5分）如图，这个组合体是小张同学自己设计的一个小奖杯，计划送给小刘同学，以鼓励其认真努力的学习数学．已知该奖杯中的四棱柱的高为10cm，底面是长和宽分别为3cm、2cm的矩形，则该四棱柱的体积是 　 　cm3：奖杯顶部两个球的半径分别为5cm和2cm，则这两个球的表面积之和为 　 　cm2．

13．（5分）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图1所示，在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切．刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积等于 　 　．

14．（5分）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n
②α⊥β
③m⊥β
④n⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　 　．
15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BB1C1C内一点，若A1P∥平面AEF，则下列说法正确的是 　 　．
①线段A1P的最大值是；
②A1P⊥B1D；
③A1P与DE一定异面；
④三棱锥B﹣A1PC1的体积为定值．

三、解答题（共6小题，共85分，解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．（14分）在△ABC中，．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积．



17．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点．
（1）求证：BC1∥平面AD1E；
（2）求证：A1D⊥平面ABC1D1．


18．（14分）已知函数．
（1）求；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在区间上的最大值．
19．（15分）在△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC．
（1）求A的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求BC边上的中线AD的长度．
条件①：b＝8；条件②：；条件③：．
20．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是棱PB上的动点．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若PD∥平面ACM，求的值；
（3）当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求截面ADNM的面积．

21．（15分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯，xn），xi∈R，i＝1，2，⋯，n}，称x1为X的第i个分量．对于Sn的元素A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn），定义A与B伯两种乘法分别为：
A×B＝（a1b2﹣a2b1，a2b3﹣a3b2⋯，anb1﹣a1bn），
A*B＝（a1a2+b1b2，a2a3+b2b3⋯，ana1+bnb1）．
给定函数f（x），定义Sn上的一种变换F（X，f）＝（f（x1），f（x2），⋯，f（xn））．
（1）设f（x）＝|x|，A＝（1，0，﹣1），B＝（﹣1，0，1），求F（A，f）×F（B，f）和F（A，f）*F（B，f）；
（2）设f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，对于X＝（x1，x2，⋯，xn），设A0＝F（X，f），B0＝G（X，g）．对任意k∈N且k≤n﹣1，定义Ak+1＝Ak×Bk，Bk+1＝Ak*Bk．
（i）当n＝3时，求证：A2中为0的分量个数不可能是2个；
（ii）若X＝（x1，x2，⋯，xn）的任一分量都只能取x或﹣x，设An﹣1的第1个分量为φ（x），求φ（x）的最小正周期的最小值，并求出此时所有的X．

2021北京师大附中高一（下）期末数学
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）
1．【分析】根据三角函数值的符号进行判断即可．
【解答】解：∵sinα＜0，∴α是第三或第四象限或y轴的非正半轴，
∵cosα＞0，∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴，
综上α是第四象限的角．
故选：D．
【点评】本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号关系是解决本题的关键．
2．【分析】根据数量积的计算公式，便可求出．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查数量积的运算公式．
3．【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解答】解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，
则圆柱的侧面积为S侧＝2π×2×5＝20π（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．
4．【分析】由可得＝0，从而可求x
【解答】解：∵
∴＝0
∴x＝﹣3
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，属于基础试题
5．【分析】利用ABCD为正方形，则AB∥CD，可知异面直线PB与CD所成的角等于PB与AB所成的角∠PBA，然后在三角形中利用边角关系求解即可；
【解答】解：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则PA⊥AB，
设PA＝AB＝1，则PB＝＝，
因为ABCD为正方形，则AB∥CD，
所以异面直线PB与CD所成的角等于PB与AB所成的角∠PBA，
因为sin∠PBA＝＝＝，
所以∠PBA＝45°，
故异面直线PB与CD所成的角为45°；
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是利用异面直线所成角的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
6．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于函数，
令x＝，求得函数值y＝0，可得它的图象关于点对称，故A错误，且C正确；
令x＝﹣，求得函数值y＝﹣，可得它的图象不关于直线对称，
也不关于点对称，故BD错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7．【分析】先根据余弦定理表示出cosC，代入整理即可得到b＝c，从而知是等腰三角形．
【解答】解：∵a＝2bcosC＝2b×＝，
∴a2＝a2+b2﹣c2，
∴b2＝c2，
∵b，c为三角形的边长，b＞0，c＞0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．【分析】充分利用中点的特征，通过证明EH＝FG，EH∥FG，EH⊥EF即可判断A、B选项；利用反证法可判断C、D选项．
【解答】解：因为E，H分别是棱A1B1，C1D1的中点，所以EH∥B1C1，且EH＝B1C1，
同理可得FG∥B1C1，FG＝B1C1，
所以EH＝FG，EH∥FG，
在长方体中，因为B1C1⊥平面AA1B1B，EH∥B1C1，所以EH⊥平面AA1B1B，
又因为EH⊂平面AA1B1B，所以EH⊥EF，
则可得四边形EFGH是矩形，但不一定是正方形，故A正确，B错误；
若BD∥HG，则由HG∥EF可知，BD∥EF，
又点E，F分别是棱A1B1，BB1的中点，所以EF∥A1B，
所以BD∥A1B，由图可知BD和A1B为相交直线，矛盾，故假设不成立，即C错误；
由图可知，EF和AB为相交直线，所以平面EFGH与平面ABCD不会平行，故D错误，
故选：A．
【点评】本题考查长方体的结构特征，线线平行、面面平行的判定，涉及反证法的应用，数形结合思想，属于中档题．
9．【分析】直接根据向量的垂直和充分必要条件即可判断．
【解答】解：∵“﹣与+2互相垂直，
∴（﹣）（+2）＝0，
∴||2﹣2||2+•＝0，∴•＝﹣2，
故“﹣与+2互相垂直”是“⊥”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查了向量的垂直和充分必要条件，属于基础题．
10．【分析】推导出sinφ＝，从而φ＝，进而y＝2sin（），求出M（﹣，0），P（，2），N（，0），由此能求出与的夹角的余弦值．
【解答】解：∵函数在一个周期内的图象与y轴交于点（0，1）．
∴2sinφ＝1，∴sinφ＝，
∵0＜φ≤，∴φ＝，
∴y＝2sin（），
∵P是其图象上的最高点，M，N是其图象与x轴的交点，
∴M（﹣，0），P（，2），N（，0），
∴＝（﹣，﹣2），＝（，﹣2），
∴与的夹角的余弦值为：
cos＜＞＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查向量夹角余弦值的求法，考查三角函数的图象与性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．【分析】直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，B＝30°，AB＝15，BC＝5，
利用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cosB＝225+75﹣＝75，
所以AC＝5（负值舍去）．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12．【分析】棱柱的体积为底面积乘以高；球的表面积公式为4πR2．
【解答】解：四棱柱的体积为（3×2）×10＝60；两个球的表面积之和为4π•52+4π•22＝116π．
故答案为：60；116π．
【点评】本题考查棱柱的体积公式，球的表面积公式，属于基础题．
13．【分析】利用棱长求出正方体内切球的体积，再利用比值求出“牟合方盖”的体积．
【解答】解：因为正方体棱长为2，
所以正方体内切球的半径为1，
所以内切球的体积为V内切球＝π•13＝，
设牟合方盖的体积为V′，
则＝，
解得V′＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方体内切球体积的计算问题，也考查了阅读理解能力，是基础题．
14．【分析】根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定与性质，分别探究①②③⇒④，①②④⇒③，①③④⇒②，②③④⇒①的真假，即可得到答案．
【解答】解：若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，
则n与α可能平行也可能相交，也可能n⊂α，即④n⊥α不一定成立；
若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，
则m与β可能平行也可能相交，也可能m⊂β，即③m⊥β不一定成立；
若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，则②α⊥β成立
若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，则①m⊥n 成立
故答案为：若②③④则①或若①③④则②
【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面垂直关系的判定定理、性质定理、及几何特征是解答本题的关键．
15．【分析】过点A1作出平面AEF平行的平面A1MN，找出其与平面BB1C1C的交线，从而确定点P在线段MN上．①中线段A1P的最大值可直接得到A1M＝；②通过建立坐标系，求出向量数量积来说明B1D与平面A1MN不垂直，从而A1P⊥B1D不一定成立；③通过构造平面来确定位置关系；④通过证明MN∥平面A1BC1，来说明三棱锥P﹣A1BC1即B﹣A1PC1的体积为定值．
【解答】解：

如图延长CC1至E1，使得C1E1＝CE，则由A1E1∥AE，
取B1C1的中点M，连接A1M，则由A1M∥AF，
连接E1M并延长交BB1于点N，则点N为BB1的中点，
因为A1E1∥AE，A1E1⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
所以A1E1∥平面AEF，
同理可得A1M∥平面AEF，
又A1E1，A1M在平面A1E1N内，且相交于点A1，
所以平面A1E1N∥平面AEF，
故点P在线段MN上，
由图可知，A1P≤A1M＝，故①正确；
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1），M（，1，1），N（1，1，），
所以＝（1，1，1），＝（﹣，1，0），＝（0，1，﹣），
因为•＝﹣+1+0＝，
所以DB1与A1M不垂直，
而点P在线段MN上，
所以条件A1P⊥B1D不一定成立，故②错误；
如图，连接DE，DA1，ME，则有ME∥A1D，且ME＝A1D，
故四边形A1DEM为梯形，
A1M与DE为相交直线，故③错误；

因为点M，N分别为B1C1，BB1的中点，
所以MN∥BC1，
又MN⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，
所以MN∥平面A1BC1，
所以线段MN上的点到平面A1BC1的距离都相等，
又点P在线段MN上，
所以三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值，
即三棱锥B﹣A1PC1的体积为定值，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查立体几何中线面位置关系，体积，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共85分，解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换求出sinB，进一步利用正弦定理的应用求出a的值；
（2）利用三角函数的关系式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）在△ABC中，，
所以sinB＝，
利用正弦定理：，整理得：＝5．
（2）由于sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝，
所以＝15．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17．【分析】（1）由正方体的截面性质和线面平行的判定定理，可得证明；
（2）由正方形的性质和线面垂直的性质和判定，可得证明．
【解答】证明：（1）由正方体的性质可得截面ABC1D1为矩形，可得AD1∥BC1，
而BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，
所以BC1∥平面AD1E；
（2）在正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1，
又AB⊥平面A1ADD1，可得AB⊥A1D，
而AB∩AD1＝A，
可得A1D⊥平面ABC1D1．

【点评】本题考查线面平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
18．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得f（）的值．
（2）利用函数的周期性，得出结论．
（2）利用函数的定义域和值域，得出结论．
【解答】解：（1）∵函数＝cos2xsin2x+cos4x
＝sin4x+cos4x＝sin（4x+），
故 ＝sin（π+）＝﹣sin＝﹣．
（2）函数f（x）＝sin（4x+） 的最小正周期为＝．
（3）在区间上，4x+∈（，），sin（4x+）∈（﹣，1]，
sin（4x+）∈（﹣，]，
故f（x）在区间上的是大值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2＝bc，利用余弦定理可得cosA＝，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（2）若选择①②：由已知利用三角形的面积公式可求c，根据余弦定理可求a，cosB的值，进而根据余弦定理即可求解AD的值．
若选择条件①③：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由正弦定理可得BC，BD的值，由余弦定理可得AB2﹣2AB﹣15＝0，解得AB的值，在△ABD中，由余弦定理可得AD的值．
若选择②③，由同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式可求bc＝40，ac＝35，两式相除可得a＝，在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝b2+c2﹣40①，b2＝a2+c2﹣ac＝a2+c2﹣10②，由①﹣②可得a2＝b2﹣15，进而解得b，a，c的值，在△ABD中，由余弦定理即可求得AD的值．
【解答】解：（1）由sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，得b2+c2﹣a2＝bc，
所以cosA＝＝＝，
又A∈（0，π），
所以A＝．
（2）若选择①②：
由S△ABC＝bcsinA＝×8c×＝10，得c＝5，
所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+25﹣2×8×5×＝49，解得a＝7，
所以cosB＝＝＝，
所以AD2＝c2+（a）2﹣2（a）c•cosB＝25+﹣5＝，
所以AD＝；
若选择条件①③：
由题意A＝，b＝8，，
可得sinB＝＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，可得BC＝7，可得BD＝，
又由余弦定理b2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得64＝AB2+49﹣2×，整理可得AB2﹣2AB﹣15＝0，解得AB＝5，或﹣3（舍去），
在△ABD中，由余弦定理可得AD＝＝＝；
若选择②③，
由题意可知，A＝，又，
可得sinB＝＝，
由＝bcsinA＝acsinB＝ac＝bc，可得bc＝40，ac＝35，两式相除可得a＝，
所以在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝b2+c2﹣40①，b2＝a2+c2﹣ac＝a2+c2﹣10②，
由①﹣②可得a2＝b2﹣15，可得（）2＝b2﹣15，解得b＝8，可得a＝7，c＝5，
所以在△ABD中，由余弦定理可得AD＝＝＝．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．
20．【分析】（1）由CD⊥平面PAD可证明平面PAD⊥平面PCD；
（2）连接BD交AC于点E，由线面平行性质可得PD∥ME，进而求出的值；
（3）作点F满足，则AF与PC的交点即为PC与平面ADM的交点N，进而求出截面ADNM的面积．
【解答】解：（1）证明：因为∠DAB＝90°，所以AB⊥AD，又AB∥DC，所以AD⊥DC，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，又AD，PA⊂平面PAD且AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面 PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（2）连接AM，AC，连接BD交AC于点E，
因为PD∥平面ACM，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACM＝ME，
所以PD∥ME，所以．

（3）作点F满足，则A，D，F，M四点共面，
作AB的中点E，则，所以，
所以四边形MFCE是平行四边形，则FC∥ME，又ME∥PA，
所以FC∥PA，即 P，A，C，F四点共面，平面ADFM∩平面PACF＝AF，
则PC与平面ADM的交点必定在AF上，
所以AF与PC的交点即为PC与平面ADM的交点N，
所以，所以，
由（1）知AD⊥DC，所以AD⊥AB，又PA⊥AD，且AB，PA⊂平面PAB，AB∩PA＝A，
所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥AM，所以四边形ADFM是矩形，
，
所以四边形ADFM的面积，
所以四边形ADNM的面积为．

【点评】本题考查面面垂直的判定定理，考查线面平行的性质定理，考查截面的作法，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．
21．【分析】（1）根据定义计算可得相应的计算结果．
（2）（i）利用反证法结合分量的特征可证明该结论．
（ii）先求出A1，B1，A2，B2，A3，B3，找出一半规律后可求出φ（x），结合解析式的形式可得到何时φ（x）的最小正周期有最小值．
【解答】解：（1）F（A，f）＝（f（1），f（0），f（﹣1））＝（1，0，1），
F（B，f）＝（f（﹣1），f（0），f（1））＝（1，0，1），
故F（A，f）×F（B，f）＝（1×0﹣0×1，0×1﹣1×0，1×1﹣1×1）＝（0，0，0），
F（A，f）*F（B，f）＝（1×1+0×0，0×0+1×1，1×1+1×1）＝（1，1，2）．
（2）（i）证明：当n＝3时，A0＝（sinx1，sinx2，sinx3），B0＝（cosx1，cosx2，cosx3），
故A1＝（sinx1cosx2﹣cosx1sinx2，sinx2cosx3﹣cosx2sinx3，sinx3cosx1﹣cosx3sinx1），
即A1＝（sin（x1﹣x2），sin（x2﹣x3），sin（x3﹣x1）），
同理B1＝（cos（x1﹣x2），cos（x2﹣x3），cos（x3﹣x1）），
类似A1的求法，有：
A2＝（sin[（x1﹣x2）﹣（x2﹣x3）]，sin[（x2﹣x3）﹣（x3﹣x1）]，sin[（x3﹣x1）﹣（x2﹣x3）]），
＝（sin（x1+x3﹣2x2），sin（x1+x2﹣2x3），sin（x2+x3﹣2x1）），
若A2中为0的分量个数是2个，
不妨设sin（x1+x3﹣2x2）＝sin（x1+x2﹣2x3）＝0，
则x1+x3﹣2x2＝k1π，x1+x2﹣2x3＝k2π，k1，k2∈Z，
两式相交后有2x1﹣x2﹣x3＝（k1+k2）π，k1，k2∈Z，
故sin（x2+x3﹣2x1）＝0，矛盾，
故A2中为0的分量个数不可能是2个．
（ii）由①的计算可知：
A1＝（sin（x1﹣x2），sin（x2﹣x3），...sin（xn﹣1﹣xn），sin（xn﹣x1）），
B1＝（cos（x1﹣x2），cos（x2﹣x3），cos（xn﹣1﹣xn），cos（xn﹣x1）），
类似地，有：
A2＝（sin（x1+x3﹣2x2），sin（x2+x4﹣2x3），...sin（xn﹣1+x1﹣2xn），sin（xn+x2﹣2x1）），
B2＝（cos（x1+x3﹣2x2），cos（x2+x4﹣2x3），...cos（xn﹣1+x1﹣2xn），cos（xn+x2﹣2x1）），
也就是：
A2＝（sin（x1﹣x2+x3），sin（x2﹣x3+x4），...sin（xn﹣1﹣xn+x1），sin（xn﹣x1+x2）），
B2＝（cos（x1﹣x2+x3），cos（x2﹣x3+x4），...cos（xn﹣1﹣xn+x1），cos（xn﹣x1+x2）），
而A3＝（sin（x1﹣3x2+3x3﹣x4），sin（x2﹣3x3+3x4﹣x5），...，sin（xn﹣1﹣3xn+3x1﹣x2），sin（﹣3x1+3x2﹣x3+xn）），
B3＝（cos（x1﹣3x2+3x3﹣x4），cos（x2﹣3x3+3x4﹣x5），...，cos（xn﹣1﹣3xn+3x1﹣x2），cos（﹣3x1+3x2﹣x3+xn）），
也就是：
A3＝（sin（x1﹣x2+x3﹣x4），sin（x2﹣x3+x4﹣x5），...，sin（xn﹣1﹣xn+x1﹣x2），sin（xn﹣x1+x2﹣x3）），
B3＝（cos（x1﹣x2+x3﹣x4），cos（x2﹣x3+x4﹣x5），...，cos（xn﹣1﹣xn+x1﹣x2），cos（xn﹣x1+x2﹣x3）），
依次类推，则有An﹣1的第一个分量为：
sin（x﹣x2+x3﹣...+（﹣1）n﹣1xn），
故φ（x）＝sin（x﹣x2+x3﹣...+（﹣1）n﹣1xn），其中xi＝x或xi＝﹣x，
当xi的符号交替出现时，φ（x）的最小正周期有最小值，
此时φ（x）＝sin[﹣（++...+）x]＝﹣sin（2n﹣1x）
或φ（x）＝sin（++...+）＝sin（2n﹣1x）
最小正周期的最小值为＝，
对应的X＝（x，﹣x，x，﹣x，...，（﹣1）n﹣1x）或X＝（﹣x，x，﹣x，x，...，（﹣1）nx）．
【点评】本题考查三角函数的新定义，解决此类问题关键是弄清楚新运算的性质与三角函数变换公式之间的联系，属于中档题．