2021北京顺义高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京顺义高一（下）期末数学（教师版），共14页。试卷主要包含了选择题.等内容，欢迎下载使用。

2021北京顺义高一（下）期末
数 学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．在复平面内，复数3i﹣2对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
其中，正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．cos75°＝（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组向量中，可以作为基底的一组是（　　）
A．＝（0，0），＝（0，1）
B．＝（﹣1，2），＝（3，﹣6）
C．＝（3，4），＝（﹣3，﹣4）
D．＝（2，1），＝（2，）
5．已知复数z满足z•i＝2+i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
6．为了得到函数y＝cos（）的图象，只需要将函数y＝cos图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上．行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75°的方向上．此时船与灯塔的距离为（　　）

A．10nmile B．10nmile C．20nmile D．20nmile
8．已知直线a，b与平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝b，则a⊥b是a⊥β的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设平面向量，，，满足||＝||，与的夹角为，（）•（）＝0，则关于||的叙述正确的是（　　）
A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P在线段AC1上运动，包括线段两端点）．则下面说法中正确的有（　　）
①对任意的点P，△A1DP是等腰三角形；
②存在点P，使得AC1⊥平面A1DP；
③对任意的点P，△A1DP的面积都不大于；
④对任意的点P，△A1DP的面积都不等于．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知tanα＝2，则tan（α+）＝　 　．
12．以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 　 　．
13．向量，在正方形网格中的位置如图所示，则cos＜，＞＝　 　．

14．已知四棱锥P﹣ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 　 　（写出所有正确结论的序号）．
①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形．

15．已知函数f（x）＝sinx+acosx（a为常数）的一条对称轴为x＝，若x1，x2∈R，且满足f（x1）+f（x2）＝0，f（x）在区间（x1，x2）上是单调函数，则|x1+x2|的最小值为 　 　．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．已知向量＝（1，2），＝（2，x），＝（y，1），且∥，⊥．
（Ⅰ）求向量和；
（Ⅱ）若＝，求．
17．已知sinα﹣cosα＝，0≤α≤π，在下面3个问题中任选2个问题作答：
①求sin（）的值；
②求sin2α的值；
③求cos2α的值．
18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，B1B⊥底面ABCD，AD＝2BC，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC，E为A1D的中点．
（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；
（Ⅱ）求证：CE∥平面A1BA；
（Ⅲ）直接写出三棱锥A1﹣ACD的四个面中直角三角形的个数．

19．在△ABC中，cosC＝，c＝8．
（Ⅰ）若a＝7，求b的值；
（Ⅱ）若cosB＝，求角A的大小和△ABC的面积．
20．已知函数f（x）＝4cosxsin（x﹣）+．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[0，]时，关于x的不等式f（x）≥m有解，求实数m的取值范围．
21．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．

参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．在复平面内，复数3i﹣2对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：在复平面内，复数3i﹣2对应的点的坐标为（﹣2，3），在第二象限．
故选：B．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
其中，正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
解：由斜二测画法规则可知，相交不变，故选项①正确；
平行线不变，故选项②正确；
正方形的直观图是平行四边形，故选项③错误；
因为平行于y轴的线段长减半，平行于x轴的线段长不变，故选项④错误．
故选：A．
3．cos75°＝（　　）
A． B． C． D．
解：cos75°＝cos（45°+30°）
＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°
＝×﹣
＝．
故选：C．
4．下列各组向量中，可以作为基底的一组是（　　）
A．＝（0，0），＝（0，1）
B．＝（﹣1，2），＝（3，﹣6）
C．＝（3，4），＝（﹣3，﹣4）
D．＝（2，1），＝（2，）
解：选项A：因为0×1＝0×0，所以向量，共线，故A错误，
选项B：因为﹣1×（﹣6）＝2×3，所以向量，共线，故B错误，
选项C：因为3×（﹣4）＝4×（﹣3），所以向量，共线，故C错误，
选项D：因为2×（﹣）≠1×2，所以向量，不共线，故D正确，
故选：D．
5．已知复数z满足z•i＝2+i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
解：由z•i＝2+i，得z＝＝＝1﹣2i．
故选：A．
6．为了得到函数y＝cos（）的图象，只需要将函数y＝cos图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解：∵y＝cos（）＝，
∴把函数y＝cos的图形向右平移个单位可得到函数y＝cos（）．
故选：C．
7．一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上．行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75°的方向上．此时船与灯塔的距离为（　　）

A．10nmile B．10nmile C．20nmile D．20nmile
解：由条件有∠BAS＝30°，AB＝40，∠SBA＝180°﹣75°＝105°，∠BSA＝180°﹣105°﹣30°＝45°．
由正弦定理有，代入数据得，解得．
故选：C．
8．已知直线a，b与平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝b，则a⊥b是a⊥β的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当a⊂平面β内满足a⊥b时，a⊥β不成立，即充分性不成立，
若a⊥β，则必有a⊥b，即必要性成立，
即“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件，
故选：B．
9．设平面向量，，，满足||＝||，与的夹角为，（）•（）＝0，则关于||的叙述正确的是（　　）
A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
解：如图所示，设，，，
∵（）•（）＝0，
∴CA⊥CB，可得点C在以AB的中点D为圆心，AB为直径的圆上，
当且仅当直线OC过圆心D时，||取到最值，即||的最小值为，
的最大值为OC2＝．

故选：D．
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P在线段AC1上运动，包括线段两端点）．则下面说法中正确的有（　　）
①对任意的点P，△A1DP是等腰三角形；
②存在点P，使得AC1⊥平面A1DP；
③对任意的点P，△A1DP的面积都不大于；
④对任意的点P，△A1DP的面积都不等于．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：对于①如图建立空间直角坐标系，
A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，1，0），A（1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），D（0，0，1），
因为点P在AC1上，设P（x，y，z），
因为＝λ，所以（x﹣1，y，z﹣1）＝λ（﹣x，1﹣y，﹣z），
得x＝，y＝，z＝，
所以 ，所以 ，
，所以PA1＝PD．故①正确．
对于②：当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时AC1⊥平面A1DP，故②正确；
对于由①可知三角形A1PD是等腰三角形，
所以PA1与△A1DP的面积成正比关系，
在 Rt△AA1C1 中，当 P 点与 C1 重合时，此时 PA1 最大，△A1DP 的面积最大，
最大值为△A1DC1 的面积 ，所以③正确；
PA1的最小值即点A1到直线AC1的距离，设点A1到直线AC1的距离为h，
则，
所以PA1的最小值为，此时△A1DP的面积最小，
最小值为．
所以④错误．
故选：A．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知tanα＝2，则tan（α+）＝　﹣3　．
解：∵tanα＝2，∴tan（α+）＝＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 　6π　．
解：边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆柱，
该圆柱的底面半径为1，高为1，
所以该圆柱的表面积是S＝2π×1+2×2π×1＝6π．
故答案为：6π．
13．向量，在正方形网格中的位置如图所示，则cos＜，＞＝　﹣　．

解：根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，
则＝（3，1），＝（﹣1，﹣2），
故||＝＝，||＝＝，•＝﹣3﹣2＝﹣5，
故cos＜，＞＝＝﹣；
故答案为：﹣．

14．已知四棱锥P﹣ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 　①②③　（写出所有正确结论的序号）．
①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形．

解：已知四棱锥P﹣ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：
如图所示：

点E、F、G为AB、BC、的中点，
所以EF＝EG＝，故①正确；
对于②：如图所示：

分别取PB、PC、AB的中点，
所以：构成的平面EFG交CD的中点，故四边形EFGH为等腰梯形，故②正确；
对于③，如上图：分别取PA、PB、PC的中点作平面KFG，交PD于点M，得到的四边形KFGM为正方形，故③正确；
对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故④错误．
故答案为：①②③．
15．已知函数f（x）＝sinx+acosx（a为常数）的一条对称轴为x＝，若x1，x2∈R，且满足f（x1）+f（x2）＝0，f（x）在区间（x1，x2）上是单调函数，则|x1+x2|的最小值为 　　．
解：∵x＝是f（x）的对称轴，
∴，化简可得，a2﹣2a+1＝0，即a＝1，
∴f（x）＝，
对称中心横坐标，即x＝，
∵x1，x2∈R，且满足f（x1）+f（x2）＝0，f（x）在区间（x1，x2）上是单调函数，
又∵对称中心x＝，
∴|x1+x2|＝2×|kπ﹣|，
当 k＝0时，|x1+x2|取得最小值．
故答案为：．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．已知向量＝（1，2），＝（2，x），＝（y，1），且∥，⊥．
（Ⅰ）求向量和；
（Ⅱ）若＝，求．
解：（Ⅰ）因为向量＝（1，2），＝（2，x），＝（y，1），
由∥，可得x﹣4＝0，解得x＝4，
由⊥．可得y+2＝0，解得y＝﹣2，
所以＝（2，4），＝（﹣2，1）．
（Ⅱ）因为＝＝（﹣1，3），
所以＝（﹣1）×（﹣2）+3×1＝1．
17．已知sinα﹣cosα＝，0≤α≤π，在下面3个问题中任选2个问题作答：
①求sin（）的值；
②求sin2α的值；
③求cos2α的值．
解：因为，又0≤α≤π，
所以解得sinα＝，或﹣（舍去），
所以cosα＝sinα﹣＝，
所以：
①sin（）＝（sinα﹣cosα）＝×（﹣）＝；
②sin2α＝2sinαcosα＝2××＝；
③cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣．
18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，B1B⊥底面ABCD，AD＝2BC，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC，E为A1D的中点．
（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；
（Ⅱ）求证：CE∥平面A1BA；
（Ⅲ）直接写出三棱锥A1﹣ACD的四个面中直角三角形的个数．

解：（Ⅰ）证明：由B1B⊥底面ABCD，可得B1B⊥BC，
由∠ABC＝，可得BC⊥AB，
由AB∩B1B＝B，可得BC⊥平面A1ABB1，
则A1B⊥BC；
（Ⅱ）证明：取AD的中点F，连接EF，CF，
由AD＝2BC，AD∥BC，可得AF＝BC，且AF∥BC，
可得四边形ABCF为平行四边形，即有AB∥CF，
AB⊄平面CEF，可得AB∥平面CEF，
由EF为△AA1D的中位线，可得AA1∥EF，AA1⊄平面CEF，
所以AA1∥平面CEF，
所以平面CEF∥平面A1BA，
而CE⊂平面CEF，可得CE∥平面A1BA；
（Ⅲ）直角三角形有△A1AC，△A1AD，△ACD，△A1CD4个．

19．在△ABC中，cosC＝，c＝8．
（Ⅰ）若a＝7，求b的值；
（Ⅱ）若cosB＝，求角A的大小和△ABC的面积．
解：（Ⅰ）若a＝7时，cosC＝，c＝8，
利用c2＝a2+b2﹣2abcosC，整理得b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或﹣3（负值舍去），
解得b＝5．
（Ⅱ）若cosB＝，所以sinB＝＝，
由cosC＝，所以sinC＝＝，
所以cosA＝﹣cos（B+C）＝−+＝，
由于A∈（0，π），
所以A＝．
所以S△ABC＝bcsinA＝×5×8×＝10．
20．已知函数f（x）＝4cosxsin（x﹣）+．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[0，]时，关于x的不等式f（x）≥m有解，求实数m的取值范围．
解：（I）∵f（x）＝4cosxsin（x﹣）+＝＝
＝＝sin2x﹣＝，
∴函数f（x）的最小正周期为，
令，解得，
∴函数f（x）的单调增区间为．
（II）由题意可知，不等式f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，
由（I）可知，f（x）＝，
当x∈[0，]时，，
∴当2x﹣，即x＝，f（x）取得最大值2，
∴m≤2，
∴实数m的取值范围（﹣∞，2]．
21．对于给定的正整数n（n≥2）若有限集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M，且满足a1+a2+....+an＝a1•a2…•an，则称A为集合M的n元“调和子集”．
（Ⅰ）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）求出自然数集N的所有3元“调和子集”．
解：（Ⅰ）因为﹣1+，又{﹣1，}⊆Q，
所以A＝{﹣1，}是有理数集Q的一个2元“调和子集”；
（Ⅱ）证明：设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2＝a1a2不成立；
②若a1∈N*，由a1+a2＝a1a2，可得a1＝a1a2﹣a2＝a2（a1﹣1），
所以，
因为a1，a2∈N*，且a1＜a2，所以，a1﹣1∈N，
故不成立，
综上所述，自然数集N不存在2元“调和子集”；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，a3}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1＜a2＜a3，
①若a1＝0，则a2∈N*，故a1+a2+a3＝a1a2a3不成立；
②若a1∈N*，则a1a2a3＝a1+a2+a3＜3a3，可得a1a2＜3，
满足a1a2＜3的正整数只能是a1＝1，a2＝2，
代入a1a2a3＝a1+a2+a3，可得a3＝3，
所以自然数集N的所有3元“调和子集”为{1，2，3}．