2021北京西城高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京西城高一（下）期末数学（教师版），共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京西城高一（下）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）设向量，，则　　A．11 B．9 C．7 D．52．（4分）　　A． B． C． D．3．（4分）在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数　　A． B． C． D．4．（4分）某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．5．（4分）函数的最小正周期是　　A． B． C． D．6．（4分）若，，则符合条件的角有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（4分）函数（其中，，的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是　　A． B． C． D．8．（4分）向量与的夹角为　　A． B． C． D．9．（4分）在中，内角和所对的边分别为和，则是的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为　　)A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）设复数，则　　．12．（5分）已知半径为的球的表面积为，那么半径为的球的表面积为 　　．13．（5分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．若，则　　．14．（5分）已知向量，满足，，，那么　　．15．（5分）设函数，，有以下四个结论．①函数是周期函数；②函数的图像是轴对称图形；③函数的图像关于坐标原点对称；④函数存在最大值．其中，所有正确结论的序号是 　　．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（14分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．17．（14分）如图，在四棱柱中，平面，，，，且，．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求证：．18．（14分）在中，，，．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求的值．19．（14分）已知函数同时满足下列三个条件中的二个：①；②最大值为2；③最小正周期为．（Ⅰ）求出所有可能的函数，并说明理由；（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．20．（14分）如图，在正方体中，，为的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，并说明理由．21．（15分）设函数的定义域为．若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质．（Ⅰ）判断函数和具有性质？（结论不要求证明）（Ⅱ）若函数具有性质，且其对应的，．已知当，时，，求函数在区间，上的最大值；（Ⅲ）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】直接利用向量的数量积的运算公式求解即可．【解答】解：向量，，则．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题．2．【分析】由诱导公式知，由此能求出其结果．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查诱导公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号．3．【分析】由图可得，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由图可知，点对应的复数，则，故选：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．4．【分析】根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．【解答】解：圆锥的母线长，底面半径长，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故选：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．5．【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再求出的最小正周期即可．【解答】解：因为，所以的最小正周期，故选：．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．6．【分析】直接利用正弦函数，的图象，和函数的图象求出交点的个数．【解答】解：利用正弦函数，的图象，和函数的图象，所以这两个函数的图象有3个交点，如图所示：故满足条件的角有3个．故选：．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．【分析】利用相邻的对称轴及对称中心求周期，进而求的值；利用最高点求，．【解答】解：由图象得函数的最小正周期为，所以；由图象的最高点为，得，且（2），即，由，解得．故选：．【点评】本题考查由三角函数的图象求解析式，考查三角函数的性质，属于基础题．8．【分析】根据题意，设两个向量的夹角为，由向量的坐标可得、的模以及的值，由向量夹角公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设两个向量的夹角为，向量与，则，，，则，又由，故两个向量的夹角为，故选：．【点评】本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．9．【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在三角形中，若，由正弦定理，得．若，则正弦定理，得，所以，是的充要条件．故选：．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．10．【分析】由单位向量，满足，推出，，设，，，进而可得，，则，分两种情况：当时，当时，求出的最大值．【解答】解：因为单位向量，满足，所以，，设，，，所以，，，，所以，所以当时，，当时，，令，则，所以，所以的最大值为．故选：．【点评】本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：因为，所以，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】由已知球的表面积求得，进一步可得半径为的球的表面积．【解答】解：由题意，，解得，那么半径为的球的表面积为，故答案为：．【点评】本题考查球的表面积公式的应用，是基础题．13．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据不为0，两边同时除以后得到的值，由为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．【解答】解：因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，又为锐角，所以．故答案为：．【点评】此题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．14．【分析】由题意，求出的值，再根据，求出．【解答】解：向量，满足，，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查向量垂直的性质和向量的模，属于基础题．15．【分析】由函数的周期性，对称性，最值定义，逐个判断即可得出答案．【解答】解：对于①：因为函数是周期函数，但是不是周期函数，所以不是周期函数，故①不正确；对于②：因为函数对称轴为，，所以是的一条对称轴，因为，对称轴为，所以的对称轴为，故②正确；对于③：因为函数是关于原点对称，但是不关于原点对称，所以不是关于原点对称，故③不正确；对于④：，，当时，，因为，则，所以有最大值为，故④正确．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和的正切公式，计算 的值即可．（Ⅱ）根据，结合，求出的值．【解答】解：（Ⅰ），．（Ⅱ）．【点评】本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）根据三棱锥的体积公式求解即可；（Ⅱ）结合可证明平面；（Ⅲ）结合平面可证明．【解答】（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：因为，平面，平面，所以平面．（Ⅲ）证明：因为底面，底面，所以．又因为，，所以平面．又因为平面，所以．【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面平行和线线垂直的证明，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出的值，求出，求出三角形的面积即可；（Ⅱ）根据正弦定理求出，从而求出的值，求的值即可．【解答】解：（Ⅰ）在中，由余弦定理可知：，解得：或（舍，又，，，；（Ⅱ）在中，由正弦定理可得：，则，，为锐角，，，．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的数量积，是中档题．19．【分析】分选①②、①③，②③三种情况讨论，利用三角函数的图象与性质列方程求解；令得的增区间．【解答】解：；若选①②，则，无解，不存在；若选①③，则，解得，，；若选②③，则，解得，，．若，令，所以增区间为．若，其增区间与相同，为．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）在正方体中，因为平面，平面，利用面面垂直的性质推断出平面平面．（Ⅱ）连接，，设，连接．因为为正方体，进而可知，且，且是的中点，又因为是的中点，所以，且，所以，且，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面．所以平面．（Ⅲ）因根据为正方体，，所以求得，所以求得．在正方体中，因为平面，平面，判断出，又因为，所以，则点到棱的距离为，所以在棱上有且只有一个点（即中点到点的距离等于，同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，在正方体棱上使得的点有12个．所以在正方体棱上使得的点有12个．【解答】（Ⅰ）证明：在正方体中，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）证明：连接，，设，连接．为正方体，，且，且是的中点，又因为是的中点，，且，，且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅲ）解：满足条件的点有12个．理由如下：因为为正方体，，所以．所以．在正方体中，因为平面，平面，所以，又因为，所以，则点到棱的距离为，所以在棱上有且只有一个点（即中点到点的距离等于，同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，所以在正方体棱上使得的点有12个．【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．21．【分析】根据题中给出的性质的定义，结合函数周期性进行判断解题．【解答】解：（Ⅰ）函数不具有性质；函数具有性质．（Ⅱ）设，，则，．由题意，得，所以当，，由，，得．所以当，时，．故当时，在区间，上有最大值．（Ⅲ）证明：当，时，结论显然成立；下面考虑不恒等于0的情况，即存在，使得，由于直线为函数图象的一条对称轴，所以，由题意，存在，，，，使得成立，所以，即，由直线是函数图像的一条对称轴，得，又因为，，所以，即，故对于任意，成立，其中．由题意可得，，又，，，所以，，即为，所以，综上，为的周期函数．【点评】本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目．