2021北京一零一中学高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京一零一中学高一（下）期末数学（教师版），共18页。试卷主要包含了填空题共6小题等内容，欢迎下载使用。
2021北京一零一中学高一（下）期末
数 学
一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知z＝2﹣i，则z++i＝（　　）
A．2﹣2i B．4﹣i C．2+2i D．4+i
2．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（　　）
A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）
3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝（　　）
A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°
4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（　　）
A． B．4 C． D．6
6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（　　）
A．若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥β
B．若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥m
C．若m⊥α，α∥β，n⊥β，则n∥m
D．若β⊥α，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，则m⊥β
7．若tanθ＝﹣2，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　　）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
9．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于与E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设＝x，则（　　）

A．函数y＝f（x）的值域为 （0，4]
B．函数y＝f（x）的最大值为8
C．函数y＝f（x）在（0，）上单调递增
D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（）
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
二、填空题共6小题
11．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝　 　．
12．若A为△ABC的内角，且，则的值为 　 　．
13．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有 　 　对．

14．已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是 　 　．
15．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是 　 　．

16．已知函数f（x）＝|cosx|•sinx给出下列五个说法：
①f（）＝﹣；
②若|f（x1）|＝|f（x2）|，则x1＝x2+kπ（k∈Z）；
③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
④函数f（x）的周期为π；
⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是　 　．
三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程．
17．在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1）a的值；
（2）△ABC的面积．
条件①：2b＝a；条件②：b＝2；条件③：A＝45°．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：

（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；
（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．
19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点．
（Ⅰ）求证：BD1∥平面AMC；
（Ⅱ）求证：AC⊥BD1；
（Ⅲ）在线段BB1上是否存在点P，当＝λ时，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．

20．对n∈N*，定义．
（1）求a2（x）﹣a1（x）的最小值；
（2）∀n∈N*，有an（x）≥A恒成立，求A的最大值；
（3）求证：不存在m，n∈N*，且m＞n，使得am（x）﹣an（x）为恒定常数．

参考答案
一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【分析】由z＝2﹣i，可得＝2+i，再求出z++i即可．
【解答】解：由z＝2﹣i，得＝2+i，
所以z++i＝2﹣i+2+i+i＝4+i．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的加法运算及共轭复数，考查运算求解能力，属于基础题．
2．【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令，k∈Z．
则，k∈Z．
当k＝0时，x∈[，]，
（0，）⊆[，]，
故选：A．
【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．
3．【分析】由正弦定理的式子，结合题中数据算出sinA＝，根据a＜b可得A＜B，因此算出A＝30°．
【解答】解：∵a＝，b＝2，B＝45°，
∴由正弦定理，得
可得sinA＝＝
∴A＝30°或150°
∵a＜b，可得A＜B，∴A＝30°
故选：D．
【点评】本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一角的大小．着重考查了运用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
4．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．
【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
5．【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．
【解答】解：在△ABC中，C＝90°，则•＝0，
因为点P是AB的中点，
所以＝（+），
所以＝•[（+）]＝2+•＝2＝||2＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
6．【分析】由线面垂直的性质及面面垂直的判定判断A；由两平面平行的性质判断B；由直线与平面垂直的性质判断C；由面面垂直的性质判断D．
【解答】解：若m⊥α，n∥m，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，故A正确；
若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥m或n与m异面，故B错误；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则n∥m，故C正确；
若β⊥α，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，由平面与平面垂直的性质可得m⊥β，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7．【分析】由已知利用三角函数恒等变换，平方和公式化简即可求解．
【解答】解：因为tanθ＝﹣2，
所以＝＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，平方和公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．【分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．
【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．
9．【分析】根据空间四边形的性质证明四边形EFGH为矩形，然后根据比例关系求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
则四边形EFGH为平行四边形，
∵两条对角线AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，则四边形EFGH为矩形，
∵＝x，∴由＝1﹣＝1﹣x，
即EH＝（1﹣x）BD＝6（1﹣x），
同理＝，则EF＝x•AC＝4x，
则四边形EFGH的面积为y＝EH•EF＝4x•6（1﹣x）＝24（x﹣x2）＝﹣24（x﹣）2+6，
∵x∈（0，1），
∴当x＝时，函数取得最大值6，故A，B错误．
函数的对称轴为x＝，则函数在（0，）上是单调递增函数，故C正确．
∵函数的对称轴为x＝，
∴函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x），故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间四边形和函数的综合以及与一元二次函数有关的性质是考查，综合性较强，涉及的知识点较多，有一点的难度．
10．【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），
D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．
二、填空题共6小题
11．【分析】（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，则a+1＝0，解得答案．
【解答】解：（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，
若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．
12．【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，可得sinA＝，cosA＝，再结合余弦函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：∵A为△ABC的内角，且，
∴，解得sinA＝，cosA＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦函数的两角和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
13．【分析】根据题意，由平面与平面垂直的判断定理分析可得答案．
【解答】解：根据题意，因为PD垂直于正方形ABCD所在的平面，
PD⊂平面PAD，PD⊂平面PCD，PD⊂平面PBD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PBD⊥平面ABCD；
因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PD，由于AB⊥AD，AD∩PD＝D，
所以AB⊥平面PAD，
因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；
又CD∥AB，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC，因为BC⊥CD，PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD，又BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD；
因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩BD＝D，
所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD，
故一定互相垂直的平面有7对．
故答案为：7．
【点评】本题考查面面垂直的判定定理的应用，注意平面与平面垂直的判断方法，属于基础题．
14．【分析】令f（x）＝，化简f（x），求出f（x）的范围，结合不等式恒成立得到m≤f（x）min，再求出m的范围即可．
【解答】解：令f（x）＝
则f（x）＝
＝＝．
因为，所以，
所以，
由于不等式对于恒成立
可得m≤f（x）min＝．
所以m的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角恒等变换，正弦型函数的性质和不等式恒成立问题，考查运算能力，属于基础题．
15．【分析】连接CE，BE，DB，由已知利用多面体体积V＝VE﹣ABCD+VC﹣BEF求解．
【解答】解：连接CE，BE，DB，
则VE−ABCD＝××（6+8）×10×3＝70
VD−ABE＝VE−ABD＝VE−ABCD＝30，
VC−BEF＝VD−ABE＝50．
∴这个羡除的体积V＝VE﹣ABCD+VC﹣BEF＝70+50＝120．
故答案为：120．

【点评】本题考查多面体体积的求法，训练了利用分割补形法及等积法求多面体的体积，是中档题．
16．【分析】①f（）＝|cos|•sin＝＝﹣；
②若|f（x1）＝|f（x2）|，即|sin2x1|＝|sin2x2|，列举反例x1＝0，x2＝时也成立；
③在区间[﹣，]上，f（x）＝|cosx|•sinx＝sin2x，单调递增；
④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；
⑤由函数f（x）＝|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．
【解答】解：①f（）＝|cos|•sin＝＝﹣，正确；
②若|f（x1）＝|f（x2）|，即|sin2x1|＝|sin2x2|，则x1＝0，x2＝时也成立，故②不正确；
③在区间[﹣，]上，f（x）＝|cosx|•sinx＝sin2x，单调递增，正确；
④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；
⑤∵函数f（x）＝|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．
故答案为：①③．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．
三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程．
17．【分析】选条件①时，（1）直接利用余弦定理的应用求出a的值；
利用勾股定理的逆定理的应用求出三角形的面积；
选条件②时，（1）利用余弦定理的应用求出a的值；
（2）利用勾股定理的逆定理的应用求出三角形的面积；
选条件③时，（1）利用正弦定理的应用求出a的值；
（2）利用三角函数的关系式的变换和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：选条件①时，
（1）由于：2b＝a；
由于c＝2，C＝30°，
所以cosC＝，
整理得a＝4；
（2）根据题意：b＝2，
所以满足a2＝b2+c2，
故△ABC为直角三角形；
所以．
选条件②时：b＝2，
由于c＝2，C＝30°，
所以cosC＝，
所以a＝4，
（2）由于c＝2，
所以满足a2＝b2+c2，
故△ABC为直角三角形；
所以．
选条件③时：由于A＝45°．C＝30°，c＝2，
利用正弦定理：，解得a＝2，
（2）在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，由此能求出从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值．
（Ⅱ）记Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为，这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为P（C）＝P（++++），由此能求出结果．
（Ⅲ）上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，μ1，μ2是随机的，无法确定是否有μ1＞μ2．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，
∴随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为，
∴从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，
该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为．
（Ⅱ）记Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，
Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，
C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，
同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为＝，
则这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为：
P（C）＝P（++++）
＝++++
＝+++（1﹣）×+
＝．
（Ⅲ）不能认为μ1＞μ2，理由如下：
上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，
∴μ1，μ2是随机的，
∴无法确定是否有μ1＞μ2．
【点评】本题考查概率、平均数的求法，考查茎叶图、古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是中档题．
19．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明BD1∥平面AMC．
（Ⅱ）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得DD1⊥AC，由此能证明AC⊥BD1．
（Ⅲ）当，平面A1PC1∥平面AMC．由已知条件推导出四边形ABQM是平行四边形，从而能证明平面A1PC1∥平面AMC．
【解答】（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…（1分）
在△DBD1中，因为M为DD1中点，
所以BD1∥MN．…（2分）
因为MN⊂平面AMC，BD1不包含于平面AMC，…（4分）
所以BD1∥平面AMC．…（5分）（Ⅱ）证明因为ABCD为正方形，
所以AC⊥BD．…（6分）
因为DD1⊥平面ABCD，
所以DD1⊥AC．…（7分）
因为DD1∩BD＝D，…（8分）
所以AC⊥平面BDD1．…（9分）
因为BD1⊂平面BDD1，
所以AC⊥BD1．…（10分）
（Ⅲ）解：当，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1∥平面AMC．…（11分）
因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形．
所以AC∥A1C1．…（12分）
取CC1的中点Q，连结MQ，QB．
因为M为DD1中点，
所以MQ∥AB，且MQ＝AB，
所以四边形ABQM是平行四边形．
所以BQ∥AM．…（13分）
同理BQ∥C1P．
所以AM∥C1P．
因为A1C1∩C1P＝C1，AC∩AM＝A，
所以平面A1PC1∥平面AMC．…（14分）

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查满足平面与平面平行的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．【分析】（1）由三角恒等变换得a2（x）﹣a1（x）＝＝﹣cos2x+cosx，令t＝cosx，t∈[﹣1，1]，由二次函数的性质，即可得出答案．
（2）由于∀n∈N*，﹣1≤cosnx≤1，则an＝（sin2x﹣cosnx）≥＝≥＞0，即可得出答案．
（3）令g（x）＝am（x）﹣an（x），比较g（x）在x＝0，π，处的函数值，即可得出答案．
【解答】解：（1）a2（x）﹣a1（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣（sin2x﹣cosx）＝﹣sin2x﹣cos2x+cosx
＝﹣sin2x﹣（1﹣2sin2x）+cosx
＝﹣sin2x﹣+sin2x+cosx
＝sin2x+cosx﹣
＝（1﹣cos2x）+cosx﹣
＝﹣cos2x+cosx，
令t＝cosx，t∈[﹣1，1]，
则y＝﹣t2+t，对称轴t＝﹣＝1，
所以ymax＝﹣×12+1＝．
（2）an＝（sin2x﹣cosnx），
因为∀n∈N*，﹣1≤cosnx≤1，
所以an＝（sin2x﹣cosnx）≥＝≥﹣≥﹣1，
所以A≤﹣1，
所以A的最大值为﹣1．
（3）证明：令g（x）＝fm（x）﹣fn（x），下面比较g（x）在x＝0，π，处的函数值，
有，
由﹣＝cos（nπ）﹣cos（mπ），
可得m，n均为偶数，进而cos（），cos（）∈{﹣1，1}，
于是g（）∈{0，，﹣，，﹣}，
考虑到﹣＞0，
于是g（）＝，
此时为偶数且为奇数，进而＝﹣，
即＝3•，矛盾，
综上所述，不存在符合题意的m，n．
【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．