2022北京丰台高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2022北京丰台高一（下）期末数学（教师版），共13页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2022北京丰台高一（下）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．复数的虚部为　　A．1 B． C． D．2．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为　　A．20 B．47 C．60 D．943．　　A． B． C． D．4．在△ABC中，记||＝c，||＝a，|＝b，将等式2＝（+）2右边展开，整理得（　　）A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B．b2＝a2+c2﹣2accosB C．c2＝a2+b2﹣2abcosC D．b2＝a2+c2﹣2acsinB5．已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为　　A．， B．， C．，，2 D．，26．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的，现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是　　A． B． C． D．7．已知直线，与平面，，，能使成立的条件是　　A．， B．， C．， D．，，，8．古希腊的数学家特埃特图斯，约前前通过如图来构造无理数，，，．记，，则　　A． B． C． D．9．如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则　　A．1 B． C．2 D．410．如图，在棱长为2的正方体中、、是棱上任意两点、且、、是正方形及其内部的动点、且．则四面体的体积的最大值为　　A． B． C．1 D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）若一个球的体积和表面积的数值相等，则该球的半径为 　　．12．（5分）在中，若，，，则的面积为 　　．13．（5分）如果为纯虚数，那么　　．14．（5分）木工小张在处理如图所示的一块四棧台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足 　　（选出你认为正确的全部结论）①；②；③与直线相交；④与直线相交．15．（5分）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形若，则　　．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（14分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求．17．（14分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与的夹角．18．（14分）在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求实数的值；（Ⅲ）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，且，求．20．（15分）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：直线平面；（Ⅲ）当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面与平面垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅲ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．（14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，，，作：，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为，；当，共线时，规定，．（Ⅰ）分别根据下列已知条件求，①，；②，；（Ⅱ）若向量，，，求证：，，，；（Ⅲ）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．（ⅰ）当时，求，，的最大值；（ⅱ）写出，，，的最大值．（只需写出结果）
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．【解答】解：的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．2．【分析】由长方体的长、宽、高分别为5，4，3直接写出表面积即可．【解答】解：长方体的长、宽、高分别为5，4，3，长方体的表面积为；故选：．【点评】本题考查了长方体的表面积公式的应用，属于基础题．3．【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查正弦的倍角公式．4．【分析】将等式2＝（+）2右边展开，则（π﹣B），化简即可得解．【解答】解：在△ABC中，记||＝c，||＝a，|＝b，将等式2＝（+）2右边展开，则（π﹣B），即b2＝a2+c2﹣2accosB，故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属基础题．5．【分析】根据进行向量坐标的数乘运算可得出，，，然后即可求出和的值．【解答】解：，，，，，解得．故选：．【点评】本题考查了向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．6．【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解．【解答】解：对于，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形，如图：对于，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形；对于，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边的中点处，且为长方形中较短的线段，即可得到．故选：．【点评】本题考查正方体内切球的性质，及球的截面圆，属于基础题．7．【分析】由垂直于同一平面的两平面的位置关系判定；由平行于同一直线的两平面的位置关系判定；由平面与平面平行的性质及判定判断；由平面与平面平行的判定定理判断．【解答】解：若，，可得或与相交，故错误；若，，则或与相交，故错误；若，，由平面与平面平行的性质及判定，可得，故正确；若，，，，且与相交，则，若与不相交，则不一定有，故错误．故选：．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．8．【分析】由题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和的余弦公式，计算的值即可．【解答】解：由题意，可得，，，，故，故选：．【点评】本题主要考查了直角三角形中的边角关系，两角和的余弦公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．【分析】由，然后结合求解即可．【解答】解：在直角梯形中，，，，由为的中点，则，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．10．【分析】设直线交直线于点，连接、，设，分析可得，即可求得结果．【解答】解：设直线交直线于点，连接、，则，过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，同理可得平面，设，当且仅当时，等号成立，故四面体的体积的最大值为．故选：．【点评】本题考查了三棱锥体积的最值问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为，则球的体积为：，球的表面积为：，因为球的体积与其表面积的数值相等，所以，解得，故答案为：3．【点评】本题考查球的体积与表面积等基础知识，考查运算求解能力及方程思想，属于基础题．12．【分析】直接利用面积公式求解．【解答】解：因为，，，故．故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积公式，属于基础题．13．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：为纯虚数，，解得．故答案为：1．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．14．【分析】延长，交于点，则，的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论．【解答】解：延长，交于点，则，的延长线也过点，如下图所示：因为，则平面，则直线即为所求作的直线．所以，直线与直线、直线都相交．故答案为：③④．【点评】本题考查棱台的结构特征，属于基础题．15．【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解．【解答】解：如图，以为原点，分别以为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，则，即，又，，即，即，化简得，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，即可解出角；（Ⅱ）利用正弦定理，即可解出值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得，，，；（Ⅱ）由正弦定理得，，，．【点评】本题考查了解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积运算，结合向量的模的运算求解即可；（Ⅱ）由，结合求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则，，即，即；（Ⅱ）解：由已知可得，设与的夹角为，则，又，，则，即与的夹角为．【点评】本题考查了向量模的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．18．【分析】（Ⅰ）利用复数的模长公式计算，利用二次函数的性质求出最小值；（Ⅱ）写出、的坐标表示，利用时列方程求出的值；（Ⅲ）化简，根据对应的点在第一象限列不等式组求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以，当时，取得最小值为4；（Ⅱ）因为，，若，则，解得，所以实数的值为；（Ⅲ）因为，因为对应的点在第一象限，所以，解得，所以实数的取值范围是．【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了复数与向量的应用问题，是基础题．19．【分析】（Ⅰ）由题意，利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，从而得到的值．（Ⅱ）先由题意求得的值，再利用二倍角的正切公式，计算的值．【解答】解：（Ⅰ）若，则函数，．（Ⅱ），，，，．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）依题意可得，且，由此证明直线平面（Ⅱ）推导出且，从而得到，由此证明直线平面；（Ⅲ）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，再根据所选条件一一证明即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转到，则，又，，平面，直线平面；（Ⅱ）证明：依题意得，且，四边形为平行四边形，，平面，平面，直线平面；（Ⅲ）证明：平面平面，，平面平面，平面，平面，平面，，过点作，交于点，若选条件①：，，，，此时，，如图，过点作，交的延长线于点，平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面平面，平面与平面不垂直，若选条件②：，则，，，，，，，平面，平面，平面，平面平面；若选条件③：，又，，、平面，平面，平面，平面平面．【点评】本题考查线面垂直、线面平行、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．【分析】（1）由求解；（2）由证明；（3）设，由求解；求解．【解答】（1）解：因为，且，所以；又，是；（2）因为向量，且向量，则，所以，同理．所以；（3）设，因为，所以，所以，．当，即时，取得最大值；的最大值为．【点评】本题考查向量的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．