2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含解析)

这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷
一、选择题（在10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2023 B． C． D．
2．下列根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
4．如图是由4个大小相同的正方体组成的几何体，下列说法正确的是（　　）

A．主视图与左视图一样 B．主视图与俯视图一样
C．左视图与俯视图一样 D．三视图都不一样
5．如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．正六边形的半径为4，则它的边心距是（　　）
A．2 B．4 C．2 D．2
7．已知一组数据为8，10，12，14，8，8，10，则这组数据的众数是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．2023年3月16日，“泰国3•15开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”人湘，标志着长沙一曼谷定期国际货运航线正式通航，长沙一曼谷的航线距离是3600km，往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时，设飞机在静风中的速度为xkm/h，风速为30km/h，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点，连接交点，交AB于点D，下列说法不一定正确的是（　　）

A．AD＝CD B．∠ACD＝∠BCD C．∠DCB＝∠CBD D．AD＝DB
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：4a2+4a+1＝　 　．
12．一元一次方程2x﹣m＝2023的解为x＝1012，则m＝　 　．
13．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为 　 　．

14．长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处，有一棵300多岁的古樟树，类似于圆柱体的树木主干高3m需要刷保护料，树干的半径为0.8m，则需粉刷的面积是 　 　m2 （结果保留π）．

15．反比例函数的图象如图所示，则k的取值范围是 　 　．

16．如图，已知在△ABC中，BC＝20，高AD＝16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每小题6分，2的立生说明、证明过程
17．计算：．
18．解不等式组．
19．如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F．
（1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．

20．“你点我检”活动从2023年2月20日开始，市场监管部门通过抽检品种和抽样场所了解情况．以下是10名检测员对某学校的甲、乙两个食堂进行打分调查的统计结果：

1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
甲
6
6
8
9
10
10
6
7
8
10
乙
8
7
7
9
10
9
8
8
7
7
（1）根据以上数据，将下面表格补充完整：
类型分数
6分
7分
8分
9分
10分
甲频数
　 　
1
　 　
1
3
甲频率
　 　
0.1
　 　
0.1
0.3
乙频数
0
　 　
3
　 　
1
乙频率
0
　 　
0.3
　 　
0.1
（2）分别求出甲、乙食堂打分的平均数；
（3）从稳定性角度分析，学生应该选哪个食堂用餐比较合适．
参考公式．
21．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．
（1）求长沙第一高楼国金大厦的高度DG；
（2）小明还要走多远（CD的距离）才能到达国金大厦？
​
22．小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
23．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求BD的长；
（2）点F是AB上一点，过点F分别作两条对角线的垂线段，垂足分别是M、N，求FM+FN的值．

24．我们不妨约定：函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）与x轴、y轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“M函数”，等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“M点”，例如：函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于C（0，﹣2），△BOC是等腰直角三角形，则y＝x2﹣x﹣2是“M函数”，其中B、C是“M点”．
（1）若一次函数y＝kx+2023是“M函数”，求k的值，并求出“M点”；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0，c＜0）是过A（1，0）的“M函数”、与x轴交于点B，与y轴交于点C，B、C为“M点”，过点C作直线l平行于x轴，D是直线l上的动点，E是y轴上的动点，ED＝2．
①当点D落在“M函数”上（不与点C重合），且AD＝DE时，求点D的坐标；
②取ED的中点F，当c为何值时，BF的最小值是？
25．如图，已知圆O是四边形ABCD的外接圆，BD是直径．连接AC交BD于点E．
（1）如图1，D是弧AC的中点，当∠CAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）如图2，AB＝AD，将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′，其中AD与AB重合，求证：AB2＝AC2﹣BC•BC'；
（3）如图3，AB＝AD，F是AD的中点，连接BF，过D点作DM⊥AD交AC于点M，当BF⊥AC时，求的值．
​


参考答案
一、选择题（在10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中是无理数的是（　　）
A．2023 B． C． D．
【分析】运用无理数的定义进行逐一辨别、求解．
解：∵2023是有理数，
∴选项A不符合题意；
∵是分数，是有理数，
∴选项B不符合题意；
∵是无理数，
∴选项符C合题意；
∵＝3，它是有理数，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用无理数的定义．
2．下列根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝＝2，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【分析】根据近似数的精确度求解．
解：数据53.278亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
4．如图是由4个大小相同的正方体组成的几何体，下列说法正确的是（　　）

A．主视图与左视图一样 B．主视图与俯视图一样
C．左视图与俯视图一样 D．三视图都不一样
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：该几何体的主视图和左视图完全相同，均为底层两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】用阴影部分的面积除以圆的面积即可求得概率．
解：设圆的半径为r，
则阴影的面积为＝πr2，圆的面积为πr2，
∴掷中阴影部分的概率是＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何概率，会计算扇形的面积是解题关键．
6．正六边形的半径为4，则它的边心距是（　　）
A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．

在Rt△AOG中，OA＝4，∠AOG＝30°，
∴OG＝OA•cos30°＝4×＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．已知一组数据为8，10，12，14，8，8，10，则这组数据的众数是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据众数的定义求解即可．
解：这组数据中8出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是8，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8．2023年3月16日，“泰国3•15开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”人湘，标志着长沙一曼谷定期国际货运航线正式通航，长沙一曼谷的航线距离是3600km，往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时，设飞机在静风中的速度为xkm/h，风速为30km/h，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由飞机在静风中的速度及风速，可得出飞机在顺风中的速度为（x+30）km/h，在逆风中的速度为（x﹣30）km/h，结合实际＝路程÷速度，结合往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵飞机在静风中的速度为xkm/h，风速为30km/h，
∴飞机在顺风中的速度为（x+30）km/h，在逆风中的速度为（x﹣30）km/h．
根据题意得：﹣＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点，连接交点，交AB于点D，下列说法不一定正确的是（　　）

A．AD＝CD B．∠ACD＝∠BCD C．∠DCB＝∠CBD D．AD＝DB
【分析】由作图得：D为AB的中点，由直角三角形的性质及等边对等角求解．
解：由作图得：D为AB的中点，
∵∠C＝90°，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠DCB＝∠CBD，
故A、C、D正确，
故选B．
【点评】本题考查了基本作图，掌握直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：4a2+4a+1＝　（2a+1）2　．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，
故答案为：（2a+1）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．一元一次方程2x﹣m＝2023的解为x＝1012，则m＝　1　．
【分析】把x＝1012代入方程，即可得出一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．
解：把x＝1012代入方程2x﹣m＝2023得：2×1012﹣m＝2023，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一个关于m的一元一次方程是解此题的关键．
13．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为 　3　．

【分析】根据垂径定理的推论得OC⊥AB，再根据勾股定理即可求出答案．
解：∵B是AC的中点，
∴AC＝AB＝4，OC⊥AB，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理，关键是由B是AC的中点得到OB⊥AC．
14．长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处，有一棵300多岁的古樟树，类似于圆柱体的树木主干高3m需要刷保护料，树干的半径为0.8m，则需粉刷的面积是 　1.92π　m2 （结果保留π）．

【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可求解．
解：π×0.82×3
＝π×0.64×3
＝1.92π（m2 ）．
故需粉刷的面积是1.92πm2．
故答案为：1.92π．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算，关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式．
15．反比例函数的图象如图所示，则k的取值范围是 　k＞1　．

【分析】由反比例函数图象位于第一、三象限得到k﹣1＞0，即可求出k的范围．
解：∵这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
16．如图，已知在△ABC中，BC＝20，高AD＝16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为 　80　．

【分析】利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质得到PD＝HE＝FG，设PD＝HE＝FG＝x，则AP＝AD﹣PD＝16﹣x；利用相似三角形的判定与性质，对应高的比对应相似比求得线段HG的长度，再利用矩形的面积公式求得用含x的代数式表示的矩形EFGH的面积，最后利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
解：∵四边形EFGH为矩形，
∴HE＝GF，HG∥EF．
∵AD⊥BC，
∴PD＝HE＝FG，
设PD＝HE＝FG＝x，则AP＝AD﹣PD＝16﹣x．
∵HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
∴，
∴GH＝20﹣x．
∴矩形EFGH的面积＝HG•HE
＝x（20﹣x）
＝﹣+20x
＝﹣+80．
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，内接矩形EFGH的最大面积为80．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，配方法，利用配方法求得函数的最大值是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每小题6分，2的立生说明、证明过程
17．计算：．
【分析】利用负整数指数幂、零指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算即可．
解：原式＝1﹣1+2×+7
＝3+7
＝10．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由+1≥得：x≤6，
由2x+5＞7得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F．
（1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质得出CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，由角平分线定义证出AE＝CF，即可证明四边形DEBF是平行四边形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝60°，
∴∠DFB＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．“你点我检”活动从2023年2月20日开始，市场监管部门通过抽检品种和抽样场所了解情况．以下是10名检测员对某学校的甲、乙两个食堂进行打分调查的统计结果：

1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
甲
6
6
8
9
10
10
6
7
8
10
乙
8
7
7
9
10
9
8
8
7
7
（1）根据以上数据，将下面表格补充完整：
类型分数
6分
7分
8分
9分
10分
甲频数
　3　
1
　2　
1
3
甲频率
　0.3　
0.1
　0.2　
0.1
0.3
乙频数
0
　4　
3
　2　
1
乙频率
0
　0.4　
0.3
　0.2　
0.1
（2）分别求出甲、乙食堂打分的平均数；
（3）从稳定性角度分析，学生应该选哪个食堂用餐比较合适．
参考公式．
【分析】（1）根据统计表数据以及频数与频率的定义可得答案；
（2）根据加权平均数的计算公式解答即可；
（3）根据方差公式求出甲、乙食堂打分的方差，再根据方差的意义解答即可．
解：（1）由题意得，
甲食堂6分的频数为3，频率为0.3；8分的频数为2，频率为0.2；
乙食堂7分的频数为4，频率为0.4；9分的频数为2，频率为0.2；
故答案为：3、2、0.3、0.2、4、2、0.4、0.2；
（2）甲食堂打分的平均数为：（6×3+7+8×2+9+10×3）＝8；
乙食堂打分的平均数为：（7×4+8×3+9×2+10）＝8；
答：甲、乙食堂打分的平均数均为8；
（3）甲食堂打分的方差为[3×（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+3×（10﹣8）2]＝2.6，
乙食堂打分的方差为[4×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1，
∵甲食堂打分的方差比乙食堂打分的方差大，
∴乙食堂更稳定，学生应该选乙食堂用餐比较合适．
【点评】本题考查了加权平均数，方差以及频数与频率，掌握相关定义与公式是解答本题的关键．
21．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．
（1）求长沙第一高楼国金大厦的高度DG；
（2）小明还要走多远（CD的距离）才能到达国金大厦？
​
【分析】（1）根据题意可得：AB＝EC＝FD＝1.6米，AE＝BC＝900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，先根据三角形的外角性质可得∠AGE＝∠GAE＝15°，从而可得AE＝EG＝900.8米，然后在Rt△GEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出GF的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：EF＝CD，然后在Rt△GEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
解：（1）由题意得：AB＝EC＝FD＝1.6米，AE＝BC＝900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，
∵∠GEF是△AEG的一个外角，∠GEF＝30°，∠GAE＝15°，
∴∠AGE＝∠GEF﹣∠GAE＝15°，
∴∠AGE＝∠GAE＝15°，
∴AE＝EG＝900.8米，
在Rt△GEF中，GF＝GE＝450.4（米），
∴DG＝GF+DF＝450.4+1.6＝452（米），
∴长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米；
（2）由题意得：EF＝CD，
在Rt△GEF中，∠GEF＝30°，GE＝900.8米，
∴EF＝GE•cos30°＝900.8×＝450.4（米），
∴EF＝CD＝450.4米，
∴小明还要走450.4米才能到达国金大厦．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
【分析】（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．
解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，
则根据题意得：，
解得：，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；
（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，
∵百合不少于2支，
∴11﹣x≥2，
解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，
即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．
【点评】本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．
23．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求BD的长；
（2）点F是AB上一点，过点F分别作两条对角线的垂线段，垂足分别是M、N，求FM+FN的值．

【分析】（1）根据矩形的性质可得AC＝BD，∠ABC＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题；
（2）连接OF，利用S△AFO+S△FBO＝S△AOB，列出方程即可求出结果．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AC＝BD＝＝5，
∴BD的长为5；
（2）如图，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝5，AO＝CO＝＝BO＝DO，
∵S△AFO+S△FBO＝S△AOB，
∴×AO×FN+×BO×FM＝×AB×BC，
∴5（FN+FM）＝3×4，
∴FN+FM＝．

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
24．我们不妨约定：函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）与x轴、y轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“M函数”，等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“M点”，例如：函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于C（0，﹣2），△BOC是等腰直角三角形，则y＝x2﹣x﹣2是“M函数”，其中B、C是“M点”．
（1）若一次函数y＝kx+2023是“M函数”，求k的值，并求出“M点”；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0，c＜0）是过A（1，0）的“M函数”、与x轴交于点B，与y轴交于点C，B、C为“M点”，过点C作直线l平行于x轴，D是直线l上的动点，E是y轴上的动点，ED＝2．
①当点D落在“M函数”上（不与点C重合），且AD＝DE时，求点D的坐标；
②取ED的中点F，当c为何值时，BF的最小值是？
【分析】（1）根据“M函数”的定义可得：|﹣|＝2023，解得k＝±1，当k＝1时，“M点”为（﹣2023，0），（0，2023）；当k＝﹣1时，“M点”为（2023，0），（0，2023）；
（2）①设B（m，0），可得C（0，m）；求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m，可得D（m+1，m），过点A作AH⊥直线l于点H，由DH＝﹣m，HA＝﹣m，知AD＝﹣m，故﹣m＝2，得：m＝﹣2，从而D（﹣1，﹣2）；
②连接CF、BC，由F是DE的中点，知点F在以点C为圆心，为半径的圆上，由B（m，0），C（0，m）得BC＝﹣m，当BC≥时，﹣m﹣，得m＝﹣；c＝﹣；当BC＜，﹣（﹣m）＝，得m＝﹣；c＝﹣．
解：（1）在y＝kx+2023中，令x＝0得y＝2023，令y＝0得x＝﹣，
∴直线y＝kx+2023与x轴交点为（﹣，0），与y轴交点为（0，2023），
根据“M函数”的定义可得：|﹣|＝2023，
解得k＝±1，
当k＝1时，﹣＝﹣2023，
∴“M点”为（﹣2023，0），（0，2023）；
当k＝﹣1时，﹣＝2023，
∴“M点”为（2023，0），（0，2023）；
（2）①设B（m，0），则ax2+bx+c＝0的两个实数根为m和1，
∴m×1＝，
∵a＞0，c＜0，
∴m＜0，
∵B、C为“M点”，
∴C（0，m）；
将A（1，0），B（m，0），C（0，m）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m，
在y＝x2﹣（m+1）x+m中，令y＝m得：m＝x2﹣（m+1）x+m，
解得x＝1或x＝m+1，
∴D（m+1，m），
过点A作AH⊥直线l于点H，如图：

∴H（1，m），
在Rt△DAH中，DH＝﹣m，HA＝﹣m，
∴AD＝﹣m，
∵AD＝ED＝2，
∴﹣m＝2，
解得：m＝﹣2，
∴D（﹣1，﹣2）；
②连接CF、BC，如图：

由F是DE的中点，
∴CF＝DE＝，
∴点F在以点C为圆心，为半径的圆上，
∵B（m，0），C（0，m），
∴BO＝﹣m，CO＝﹣m，c＝m，
在Rt△BCO中，BC＝﹣m，
当BC≥时，即m≤﹣1时，满足条件的点F在线段BC上，
∴BF的最小值为BC﹣FC＝﹣m﹣，
﹣m﹣＝，
解得m＝﹣；
∴c＝﹣；
当BC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CB的延长线上，
∴BF的最小值为FC﹣BC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣；
∴c＝﹣；
综上所述，c的值为﹣或﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，待定系数法，最短路径等，等腰直角三角形等知识，解题的关键是读懂题意，理解“M函数和“M点”概念．
25．如图，已知圆O是四边形ABCD的外接圆，BD是直径．连接AC交BD于点E．
（1）如图1，D是弧AC的中点，当∠CAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）如图2，AB＝AD，将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′，其中AD与AB重合，求证：AB2＝AC2﹣BC•BC'；
（3）如图3，AB＝AD，F是AD的中点，连接BF，过D点作DM⊥AD交AC于点M，当BF⊥AC时，求的值．
​
【分析】（1）利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理求得AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，利用等腰直角三角形的性质得到，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得；利用等式的性质和等量代换，通过计算AC2﹣AB2即可得出结论；
（3）设AF＝FD＝a，则AB＝AD＝2a，利用全等三角形的判定与性质求得AF＝DM＝a，利用勾股定理求得AD，BD，再利用相似三角形的判定与性质求得EM＝AM＝a，DE＝BD＝a，计算即可得出结论．
【解答】（1）解：∵D是弧AC的中点，
∴，
∴AD＝DC，
∴∠DCA＝∠CAD＝25°，
∴∠ABD＝∠DCA＝25°；
（2）证明：∵BD是直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2．
∵AB＝AD，
∴．
∵将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′，
∴∠CAC′＝90°，AC＝AC′，CD＝C′B．
∵AC2+AC′2＝CC′2，
∴．
∵CC′＝BC′+BC，
∴＝+BC•BC′+.+BC•BC′+．
∴AC2﹣AB2＝+BC•BC′+﹣
＝+BC•BC′+﹣BC2﹣
＝+BC•BC′+﹣BC2﹣
＝BC•BC′．
∴AB2＝AC2﹣BC•BC'；
（3）解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
设AF＝FD＝a，则AB＝AD＝2a，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝AB＝2a．
∵BF⊥AC，
∴∠BAC+∠ABF＝90°，
∵∠BAC+∠DAC＝90°，
∴∠ABF＝∠DAC．
在△ABF和△DAM中，
，
∴△ABF≌△DAM（ASA），
∴AF＝DM＝a．
∴AM＝＝a．
∵BA⊥AD，DM⊥AD，
∴AB∥DM，
∴△ABE∽△MDE，
∴＝2，
∴EM＝AM＝a，DE＝BD＝a，
∴＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．