湖北省襄阳市高中2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试题

这是一份湖北省襄阳市高中2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
机密★启用前2021—2022学年度下学期期末教学质量检测统一测试高一数学本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】直接由复数的运算求解即可.【详解】.故选：C.2. 某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.【详解】，应抽取的大型城市个数为个．故选：D．3. 已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（    ）A. － B.  C. －6 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以，共线，又是平面内两个不共线向量，所以可设，因为，， 所以，所以，所以，故选：C.4. 已知为锐角，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】锐角，即，，，.故选：D.5. 某校为了了解高一年级200名女学生的体能情况，随机抽查了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高一年级女生仰卧起坐次数的中位数一定位于（    ） A. [15，20 ] B. [20，25] C. [25，30] D. [30，35]【答案】C【解析】【分析】先计算区间的人数，再由频数分布直方图估计中位数所在区间即可.【详解】由题意知：区间的人数有人，又，故中位数位于.故选：C.6. 已知三个平面，，，其中 ，，，且，则下列结论一定成立的是（    ）A. b，c是异面直线 B.  C.  D. a与c没有公共点【答案】B【解析】【分析】因为 两两相交，因此可以看作是三棱锥的三个面，作图分析即可.【详解】依题意作上图，对于A， ，错误；对于B， ， ，又∵ ，即 ，正确；对于C， ，故错误；对于D， ，P点就是a，c的公共点，错误；故选：B.7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值.【详解】解法一：，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，因为，所以的最小值为．故选:A．解法二，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称．因为，所以，即，所以，，所以，，因为，所以的最小值为．故选：A．8. 中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，所以的取值范围是，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ）A.  B. 的虚部是C. 是纯虚数 D. 在复平面上对应点在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项．【详解】则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．故选：ACD．10. 一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断．【详解】由题意，，同理两式相加得，，所以，．故选：BC．11. 如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（    ）A. 存在某一位置，使得直线和直线相交B. 存在某一位置，使得平面C. 点与点到平面的距离总相等D. 三棱锥的体积不变【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，逐一分析选项，结合线面平行的判定定理等知识，综合分析，即可得答案.【详解】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．对于D，连接，交于O，则O为中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．故选：BCD12. 定义：已知两个非零向量与的夹角为．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（    ）A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则B. 在正△ABC中，若，则C. 若，则的最小值为2D. 若，，且为单位向量，则的值可能为【答案】ACD【解析】【分析】根据两个向量叉乘模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断.【详解】解：对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确；对于B，设正的边边上的中点为，则，因为，所以，所以，所以B错误；对于C，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确；对于D，若，，且为单位向量，则当时，可以等于，此时，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 向量在向量方向上的投影向量的模为___．【答案】##2.2【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示可得及，利用投影向量的公式即可求解.【详解】解：因为，，则，，则向量在向量方向上的投影向量的模为.故答案为：.14. 若虚数单位是关于x的方程的一个根，则___．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，关于x的方程的两个虚根分别为，，利用韦达定理求出的值，即可求得结果.【详解】解：由题可知，关于x的方程的两个虚根分别为，，由韦达定理可得,故，所以.故答案为：1.15. 已知三棱台的上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为___．【答案】【解析】【分析】由已知判定棱台为正棱台，还原成棱锥，棱锥的高为棱台的高的两倍，由正棱台性质得到BC⊥PA1，线面垂直的判定定理，可以证明侧棱AA1⊥平面PB1C1,得到A1P⊥PD1.然后利用直角三角形中的射影定理计算PO的长，即为OO1的长.【详解】解：由已知可得该三棱台为正三棱台， 还原成棱锥如图所示，由于下底边是上底边的两倍，∴大棱锥的高为棱台的高的两倍，取BC的中点D,B1C1的中点D1,连接PDD1,AD,A1D1,O,O1是上下底面的中心，连接POO1.由正棱台性质可得BC⊥DD1，BC⊥PO,∴BC⊥平面PD1A1,∴BC⊥PA1，又∵，故AA1⊥平面PB1C1,∴A1P⊥PD1.，， ,,故答案：.16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值为___．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理边化角可得，再利用正弦定理角化边可得，即可得，利用三角形面积公式结合三角恒等变换可得面积，结合正弦函数的最值即可求解.【详解】解：由正弦定理得，所以，因为,所以，所以，又正弦定理得，所以，则，的面积，因为，所以，当时，的面积取得最大值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. 已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角关系式求出，然后利用倍角公式可得结果；（2）先把目标式化简，然后转化为含有的式子，代入可求结果.【小问1详解】（1），，∴，∴，.【小问2详解】（2）.18. 已知，．（1）若与垂直，求k的值；（2）若为与的夹角，求的值．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.（2）利用向量夹角坐标表示计算作答.【小问1详解】因为，，则，，依题意，，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，，则，，因此，而，所以.19. 设复数，，其中.（1）若复数为实数，求的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得，再列出等量关系，求解即可；（2）先计算，结合和余弦函数的性质，分析即得解【小问1详解】由题意，若复数为实数，则故，解得：【小问2详解】由题意，，由于，故故故故的取值范围是20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表：质量指标值产品（单位：件）6010016030020010080 （1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数；（2）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）69    （2）；【解析】【分析】（1）根据样本百分位数的定义结合频率分布表即可求解；（2）根据频率分布表中的数据计算即可.【小问1详解】解：设产品的某项质量指标值的70百分位数为，则，解得．所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为69；【小问2详解】解：由题，可知，.故平均数，方差.21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D为AC边上的一点，，且        ，求△ABC的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.【小问1详解】解：由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴.【小问2详解】若选①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，联立得，解得，（舍去），∴．若选②：因为，，，得，在中，由余弦定理得，即，联立，可得，∴．22. 如图，在四棱锥E－ABCD中，，M是EA的中点．（1）证明：AE⊥平面；（2）若平面EAB平面，且，三棱锥的体积为，求AB的长．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】(1)先证明，，再由线面垂直判定定理证明AE⊥平面；(2)利用线面平行判定定理和性质定理证明，由此可得，再结合体积公式求.【小问1详解】∵，，∴，又∵，∴为等边三角形，又∵，是的中点，∴，，，又∵，，平面，∴平面；【小问2详解】因为平面平面，所以平面，又，平面所以平面，又平面，平面平面，所以∵平面，∴，又∵，，，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴，又∵，，，平面，∴平面，∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，∴，又∵，解得．