2022年吉林省长春市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年吉林省长春市中考数学试卷（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（　　）
A．18×105 B．1.8×106 C．1.8×107 D．0.18×107
3．（3分）不等式x+2＞3的解集是（　　）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
5．（3分）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　）

A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝
6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）

A．138° B．121° C．118° D．112°
7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）

A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：m2+3m＝　 　．
10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　 　．
11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 　 　．
12．（3分）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为 　 　厘米．（结果保留π）

13．（3分）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为 　 　厘米．

14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
16．（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
17．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　 　；
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．


19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．

20．（7分）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是 　 　年；
（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是 　 　；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了 　 　件，专利授权量年增长率提高了 　 　个百分点；（注：1%为1个百分点）
（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小． 　 　
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加． 　 　
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量． 　 　

21．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°．
∴AF＝AB＝AD
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）∠DAG的度数为 　 　度，的值为 　 　；
（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　 　．（用含a的代数式表示）

23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　 　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．

2022年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
2．（3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（　　）
A．18×105 B．1.8×106 C．1.8×107 D．0.18×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1800000＝1.8×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）不等式x+2＞3的解集是（　　）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
【分析】利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．
【解答】解：x+2＞3，
x＞3﹣2，
x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；
所以：A，C，D都是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
5．（3分）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　）

A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝
【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα＝sin∠ABC＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．
6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）

A．138° B．121° C．118° D．112°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）

A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF＝BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE＝AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．4
【分析】作MN⊥x轴于N，根据题意P（，2），PQ＝2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM＝QP＝2，∠POM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MN＝QM＝1，QN＝＝，得到M（+，1），代入反比例函数解析式即可求得k的值．
【解答】解：作MN⊥x轴于N，
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝2，∠POM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MN＝QM＝1，
∴QN＝＝，
∴M（+，1），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k＝+，
解得k＝2，
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：m2+3m＝　m（m+3）　．
【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：m2+3m＝m（m+3），
故答案为：m（m+3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　　．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 　8　．
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程组求得．
【解答】解：依题意得：
7x+7＝9（x﹣1），
解得：x＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
12．（3分）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为 　　厘米．（结果保留π）

【分析】弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR．
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
【解答】解：＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
13．（3分）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为 　54　厘米．

【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．
【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），
∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），
故答案为：54．

【点评】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．
14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　﹣1﹣　．
【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，
∴两次分数之和不大于3的概率为．
【点评】本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【分析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　直角三角形　；
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．


【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；
（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．
【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图①中，点D，点D′即为所求；
（3）如图②中，点E即为所求；
（4）如图，点P，点Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　　．

【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；
（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（7分）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是 　2020　年；
（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是 　18.1%　；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了 　5479　件，专利授权量年增长率提高了 　30.2　个百分点；（注：1%为1个百分点）
（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小． 　×　
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加． 　√　
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量． 　√　

【分析】（1）观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；
（2）先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；
（3）分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；
（4）①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量﹣上一年专利授权量 x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，
故答案为：2020；
（2）把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，
位于正中间的是18.1%，
∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，
故答案为：18.1%；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373﹣11894＝5479件；
专利授权量年增长率提高了46.0%﹣15.8%＝30.2%，
专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，
故答案为：5479，30.2；
（4）①因为2017年的专利授权量的增长量为8190﹣7062＝1128件，
2019年的专利授权量的增长量11894﹣10268＝1626件，
所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误，
故答案为：×；
②因为专利授权量年增长率＝×100%，
所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确，
故答案为：√；
根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，
所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，
故答案为：√．
【点评】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝　2　，n＝　6　；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

【分析】（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所有时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
【解答】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
，
解得，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），
当x＝时，y＝60×+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°．
∴AF＝AB＝AD
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）∠DAG的度数为 　22.5　度，的值为 　﹣1　；
（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　a　．（用含a的代数式表示）

【分析】【问题解决】根据折叠的性质可得AD＝AF，∠AFG＝∠D＝90°，由HL可证明结论；
【结论应用】（1）根据折叠的性质可得∠DAG＝∠DAF＝22.5°；证明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；
（2）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR＝AR＝a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【解答】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°，
∴AF＝AB＝AD．
由折叠得，∠CFG＝∠GFH＝45°，
∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°，
∴∠AFG＝∠D＝90°，
又AD＝AF，AG＝AG，
∴△ADG≌△AFG（HL）．
【结论应用】
（1）由折叠得，∠BAF＝∠EAF，
又∠BAF+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAE＝×90°＝45°，
由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠FAG＝∠FAD＝×45°＝22.5°，
∠AFG＝∠ADG＝90°，
又∠AFB＝45°，
∴∠GFC＝45°．
∴∠FGC＝45°．
∴GC＝FC．
设AB＝x，则BF＝x，AF＝x＝AD＝BC，
∴FC＝BC﹣BF＝x﹣x＝（﹣1）x，
∴GF＝FC＝（2﹣）x．
∴＝＝﹣1．
故答案为：22.5；﹣1．
（2）如图，连接FD，

∵DG＝FG，
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作PR⊥AD交AD于点R，
∵∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴∠APR＝45°，
∴AR＝PR，
又AR2+PR2＝AP2＝（）2＝，
∴AR＝PR＝a，
∴DR＝AD﹣AR＝a﹣a＝a．
在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2，
∴DP＝a．
∴PQ+FQ的最小值为a．
故答案为：a．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　3　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．

【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM＝2，再利用勾股定理可得DM的长；
（2）分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；
（3）由A'M＝2，DM＝3，则A'D≥1，当点D、A'、M共线时，DA'最短，利用角平分线的定理得，求出S△APM的面积，从而得出答案；
（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出＝，从而表示出MN的长，点点A'在CM的延长线上时，同理解决问题．
【解答】解：（1）连接DM，

∵DA＝DB，点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，AM＝2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
DM＝＝，
故答案为：3．
（2）当点P在AD上时，即0≤t＜1时，PD＝AD﹣AP＝﹣t，
当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD＝t﹣，
∴PD＝；
（3）∵A'M＝2，DM＝3，
∴A'D≥1，
∴当点D、A'、M共线时，DA'最短，

∴∠AMP＝∠DMP，
∴，
∴S△APM＝＝＝，
∴S△PDA'＝S△ADM﹣2S△AMP＝3﹣2×＝；
（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，

∵AD＝BC，∠DAM＝∠CBH，∠DMA＝∠CHB，
∴△AMD≌△BHC（AAS），
∴BH＝AM＝2，CH＝DM＝3，
∵MQ平分∠CMB，
∴∠GMQ＝∠QMH，
∵∠QGM＝∠QHM，MQ＝MQ，
∴△MQG≌△MQH（AAS），
∴MG＝AH＝4，QH＝QG，
∴CG＝1，
∴tan∠MCH＝，
∴，
∴QG＝，
∴，
∵AP＝，
∴AN＝2t，PN＝3t，
∵∠AMP＝∠A'MP，∠CMQ＝∠QMH，
∴∠PMQ＝90°，
∴∠QMH＝∠MPN，
∴MN＝t，
∴2t+t＝2，
∴t＝；
当A'在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，

由题意知BP＝2﹣t，
同理得，PT＝6﹣3t，BT＝4﹣2t，MT＝18﹣9t，
∴18﹣9t+4﹣2t＝2，
∴t＝，
综上：t＝或．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH＝是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得结论；
（2）判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论；
（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可；
（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；

（2）如图1中，

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴B（﹣1，3）；

（3）如图2中，

∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PQM＝MN＝2m，
∴正方形的边MN在y轴上，
当点M与O重合时，
由，
解得或，
∴A（3，3），
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．

综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；

（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，

此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，或，
∵点A在第四象限，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，

此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m＝﹣，

综上所述，满足条件的m的值为或或﹣．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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