2022年江苏省扬州市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年江苏省扬州市中考数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣ C．﹣2 D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
5．（3分）如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（　　）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥
6．（3分）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（3分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 　 　℃．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
11．（3分）分解因式：3m2﹣3＝　 　．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　 　＝0有两个不相等的实数根．
13．（3分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图像经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　 　．

14．（3分）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E＝k×101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 　 　倍．
15．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2　 　S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）

16．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND＝　 　°．

17．（3分）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝　 　．


18．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 　 　．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；
（2）（+1）÷．
20．（8分）解不等式组并求出它的所有整数解的和．
21．（8分）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
（1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 　 　（填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为 　 　个，中位数为 　 　个；
（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
22．（8分）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；
（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
23．（10分）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
24．（10分）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．
（1）求证：BE∥DG，BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．

25．（10分）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．

26．（10分）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）


27．（12分）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

28．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由：
①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；
②点E在线段AB上且EB＝ED．
（2）若AB＝6．
①当＝时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．



2022年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣ C．﹣2 D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数＝35；2×鸡的只数+4×兔的只数＝94，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
4．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（　　）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥
【分析】根据三视图即可判断该几何体．
【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，
俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，
故选：B．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
6．（3分）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的旋转得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
∴②符合题意；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，
∴①符合题意；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE＝∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴③符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
8．（3分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，
∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 　8　℃．
【分析】由最高气温减去最低气温确定出该日的日温差即可．
【解答】解：根据题意得：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃），
则该日的日温差是8℃．
故答案为：8．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
11．（3分）分解因式：3m2﹣3＝　3（m+1）（m﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　0（答案不唯一）　＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（3分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图像经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　x＜﹣1　．

【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E＝k×101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 　1000　倍．
【分析】由题意列出算式：，进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得：＝＝1000，
故答案为：1000．
【点评】本题考查了科学计算法，理解能量E与震级n的关系，掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
15．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2　＞　S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）

【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND＝　105　°．

【分析】由直角三角形的性质得出∠F＝30°，∠B＝45°，由平行线的性质得出∠NDB＝∠F＝30°，再由三角形内角和定理即可求出∠BND的度数．
【解答】解：∵∠E＝60°，∠C＝45°，
∴∠F＝30°，∠B＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠NDB＝∠F＝30°，
∴∠BND＝180°﹣∠B﹣∠NDB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
17．（3分）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝　6　．


【分析】先把图补全，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN＝6，可得答案．
【解答】解：如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，

∴GN∥BC，
∴AG＝BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN＝BC＝×12＝6，
∵PM＝GM，
∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．
18．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 　．　．
【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
＝+1，
令＝x，则有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；
（2）（+1）÷．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）原式＝2×+1﹣2
＝+1﹣2
＝1﹣；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、零指数幂、二次根式的性质、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（8分）解不等式组并求出它的所有整数解的和．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，
∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，
∴该不等式组所有整数解的和是3．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
21．（8分）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
（1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 　B　（填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为 　7　个，中位数为 　5　个；
（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
【分析】（1）根据抽样调查的特点解答即可；
（2）根据平均数，中位数计算公式解答即可；
（3）用样本估计总体的思想解答即可．
【解答】解：（1）从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
（2）这组测试成绩的平均数为：（2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1）＝7（个），
中位数为：5（个），
故答案为：7，5；
（3）600×＝90（人），
答：校初一有90名男生不能达到合格标准．
【点评】本题主要考查的统计相关知识，熟练掌握平均数，中位数的计算，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．
22．（8分）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；
（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，再由概率公式去摸出颜色不同的两球的概率和摸出颜色相同的两球的概率，进而得出结论．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有6种等可能出现的结果；
（2）摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球分别对应的奖次为一等奖，理由如下：
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，
∴摸出颜色不同的两球的概率为＝，摸出颜色相同的两球的概率为＝，
∵一等奖的获奖率低于二等奖，＜，
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球分别对应的奖次为一等奖．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【分析】设每个小组有学生x名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．
【解答】解：设每个小组有学生x名，
由题意得：，
解得：x＝10，
当x＝10时，12x≠0，
∴x＝10是分式方程的根，
答：每个小组有学生10名．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
24．（10分）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．
（1）求证：BE∥DG，BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE＝∠BEG，进而可证明BE∥DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；
（2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝6，根据平行四边形的性质可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBG，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG；
在△ADG和△CBE中，
，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴BE＝DG；
（2）解：过E点作EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH＝EF＝6，
∵▱ABCD的周长为56，
∴AB+BC＝28，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝84．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
25．（10分）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．

【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO＝∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO＝90°，进而得出∠OBA+∠CBP＝90°，即可得出直线BC与⊙O相切；
（2）由sinA＝，设OP＝x，则AP＝5x，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，进而得出OP＝×＝4，再利用勾股定理得出BC2+82＝（BC+4）2，即可求出CB的长．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：如图，连接OB，

∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∵OB为半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）在Rt△AOP中，sinA＝，
∵sinA＝，
∴设OP＝x，则AP＝5x，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴OP＝×＝4，
∵∠OBC＝90°，
∴BC2+OB2＝OC2，
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2+82＝（BC+4）2，
解得：BC＝6，
∴CB的长为6．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．
26．（10分）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）


【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；
【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；
【问题再解】构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，弧CD即为所求．
【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；
【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；
【问题再解】如图3中，即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（12分）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），

设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），
∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；
（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），

∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，

设N（m，﹣m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），
∴N（2，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
【点评】本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．
28．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由：
①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；
②点E在线段AB上且EB＝ED．
（2）若AB＝6．
①当＝时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．


【分析】（1）①由DE⊥AD，BE＝BD，∠EAD＝∠BDA，有AB＝BD，即可得BE＝BD＝AB，AE＝2BE；
②由∠BAC＝90°，∠C＝60°，EB＝ED，可得∠EDB＝∠B＝30°，即得∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，根据DE⊥AD，可得AE＝2ED，故AE＝2EB；
（2）①过D作DF⊥AB于F，证明△AFD∽△ADE，由＝，可得＝，设DF＝m，则AF＝2m，在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，而AB＝6，可得m＝，有AF＝，DF＝，AD＝＝，又＝，即可得AE＝；
②作AE的中点G，连接DG，根据∠ADE＝90°，DG是斜边上的中线，得AE＝2DG，即知当AE最小时，DG最小，此时DG⊥BC，可证AG＝EG＝BE，从而得线段AE长度的最小值为4．
【解答】解：（1）①AE＝2BE，理由如下：
∵DE⊥AD，
∴∠AED+∠EAD＝90°＝∠ADE＝∠BDE+∠BDA，
∵BE＝BD，
∴∠AED＝∠BDE，
∴∠EAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∴BE＝BD＝AB，
∴AE＝2BE；
②AE＝2EB，理由如下：
如图：

∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EDB＝∠B＝30°，
∴∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，
∵DE⊥AD，
∴∠EDA＝90°，∠EAD＝30°，
∴AE＝2ED，
∴AE＝2EB；
（2）①过D作DF⊥AB于F，如图：

∵∠FAD＝∠DAE，∠AFD＝90°＝∠ADE，
∴△AFD∽△ADE，
∴＝，即＝，
∵＝，
∴＝，
设DF＝m，则AF＝2m，
在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，
∵AB＝6，
∴BF+AF＝6，即3m+2m＝6，
∴m＝，
∴AF＝，DF＝，
∴AD＝＝，
∵△AFD∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴AE＝；
②作AE的中点G，连接DG，如图：

∵∠ADE＝90°，DG是斜边上的中线，
∴AE＝2DG，DG＝AG＝EG，
当AE最小时，DG最小，此时DG⊥BC，
∵∠B＝30°，
∴BG＝2DG，
∴AE＝2DG＝BG，
∴BE＝AG，
∴AG＝EG＝BE，
∴此时AE＝AB＝4，
答：线段AE长度的最小值为4．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及相似三角形性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，含30°的直角三角形三边关系等知识，解题的关键时作辅助线，构造直角三角形解决问题．
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