还剩128页未读，
继续阅读
知识点06 几何综合题（压轴、次压轴）
展开
这是一份知识点06 几何综合题（压轴、次压轴），共131页。试卷主要包含了求CF的长；等内容，欢迎下载使用。
（分类）专题复习（六）几何综合题（压轴、次压轴）
题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
类型2 与图形变换有关的几何综合题
类型3 与动点有关的几何综合题
类型4 与实践操作有关的几何综合题
类型5 其他类型的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
24．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 1 ；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．
解（1）①如图1，延长AD交BE于F，
由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC.
（2）如图2，延长AD交BE于F，
由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝m；
（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由（2）知，△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，
∴＝tan∠GAC＝＝，
设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∴△AGH≌△ECH（AAS），
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝x，
在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EB•EH＝6，
∴2x•x＝6，
∴x＝或x＝﹣（舍），
即CG＝．
24．（2021•达州）
解：
25．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
图1 图2 图3
解：（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）①数量关系依然成立．
证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②
27．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ，点G所经过的路径长为 ．
解：
23．（2021•武汉）问题提出 如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
解：
27.（2021•武威）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．
又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．
又．
是等边三角形，
，
．
23．（2021•宁波）
23.（2021•绍兴）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：.
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
解：（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分，
.
.
.
同理可得：.
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
，
，
点F与点D重合，
.
（2）情况1，如图3，
，
.
图3
情况2，如图4，
，
又，
.
图4
情况3，如图5，
，
又，
.
图5
综上所述，的值可以是，，.
23. （2021•潜江）已知和都为等腰三角形，．
（1）当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系：_________；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．
解：（1）②，理由如下：
和都为等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
（2）①当时，，
和都为等腰直角三角形，
，
，即，
设，
则，
，
在和中，，
，
，
即；
②如图，设与交于点，
，
，
设，则，
，
，，
，即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
则在中，．
类型2 与图形变换有关的几何综合题
26.（2021•贵港）
23.（2021•菏泽）
24．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于N,
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
24. （2021•衢州）
【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
（1）求证：.
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H.若，，求线段DE的长.
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）.
图1 图2 备用图
解：（1）如图1，由折叠得到，
，.
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又，
.
（2）如图2，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
.
四边形是正方形，
，，
又，，
.
，，
，.
，，
（舍去）.
（3）如图3，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图3，
易得，，
由折叠得，，
又，，
，
又，
，
，，
，，
.
，，
，
（舍去）.
②当点在点右边时，如图4，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）.
26．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP~△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝a+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
26.（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
解：（1）连接
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
分别平分
即
且都是等腰直角三角形
（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH
是CF的中点
又
在四边形BEFC中
又
即
即
又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
三角形BEH是等腰直角三角形
M、N分别是BH、BE的中点
（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF
在中，O、Q分别是AB、BF的中点
同理可得
所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积
．
23．（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
解：（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
23．（2021•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．
解：（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．
（2）①证明：如图2中，
∵∠GCK＝∠DCH＝90°，
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（ASA），
∴CG＝CD．
②解：设正方形的边长为a，
∵KB′∥CF′，
∴△B′KO∽△F′CO，
∴＝＝，
∴B′K＝B′C＝a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（a）2＝32，
∴a＝，
由＝，可得B′K＝KE′＝a，
∵KE′∥CF′
∴△DKE′∽△DCF′，
∴＝＝＝，
∴DE′＝E′F′＝a，
∴PE′＝2a，
∴PK＝a，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝6．
（3）解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．
∵CF′∥GP，RB∥BM，
∴△GB∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝x，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵CB′∥HE′，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴＝＝＝，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝2x，
∴S△CF′R＝2S△CF′H，
∵CB′∥HE′，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴＝＝＝，
∴＝＝
∴GB＝2（﹣1）x，
∵△GBM∽△CRF′，
∴＝（）2＝[]2＝，
∵S△CRF′＝2S△CHF′，
∴＝．
23.（2021•岳阳）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．
（1）如图1，若，则线段与的数量关系是_____，_____；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出值（用含的式子表示）．
解：（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，
∴NG＝m，
∴DG＝＝，
∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，
∴∠EBG＝，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
25．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．
解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）如图1，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．
∵∠DCG＝90°，CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，
∴MH＝DH•tan45°＝DH；
∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴＝tan∠CAD＝＝，
∴AH＝3MH＝3DH，
∴3DH+DH＝3；
∴MH＝DH＝，
∵＝sin∠CAD＝＝，
∴AM＝MH＝×＝．
（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．
∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；
由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠BEC+∠CEF＝180°，
∴点B、E、F在同一条直线上，
∴∠AEB＝90°，
∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，
∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；
如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．
∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠BFC＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠CED＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝+1或AD＝﹣1（不符合题意，舍去）．
综上所述，AD的长为﹣1或+1．
24.（2021•十堰）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．
（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；
（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．
解：（1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴，
∴=；
（2）∵，CA⊥l，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直线垂直平分线段；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，
由（1）小题，可知：，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=，
∴BM=BE÷sin60°=2÷=，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×，
∵的面积等于，
∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去），
∴AP=．
26．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．
解：论证：
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
发现：设AB的中点为O，如图：
当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等边三角形，
∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°；
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：
由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，如图：
∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
设BG＝m，则AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②过B作BG⊥CD于G，如图：
设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴cosα＝＝＝．
方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：
∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝•＝，
Rt△ADF中，
cosα＝＝＝．
24.（2021•天津）
24．（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.
【探究1】如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长.
【探究2】如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
解：
26．（2021•重庆B卷）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．
解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：
∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△BDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝.
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：
∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF.
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图.
Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，S△DPN＝PN•DN＝．
27．（2021•成都）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°,AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上,
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8;
（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC,BC'＝BC＝3，
∵CE//A'B,
∴∠A'BC＝∠CEB,
∴∠CEB＝∠ABC,
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD,AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE//A'B,
∴＝,
∴＝，
∴BM＝;
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC',∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C',
∴∠BCC'＝∠BC'C,
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC',
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C,
∴∠ACP＝∠A'C'D,
∵AP//A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D,
∴∠P＝∠ACP,
∴AP＝AC,
∴AP＝A'C',
在△APD和△A'C'D中，
,
∴△APD≌△A'C'D(AAS),
∴AD＝A'D,即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C,
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
25.（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(不与点B、C重合)，连结AD.
(1)如图17.1，若∠C=60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连站AE、DE，则∠BDE=___30°__；
(2)若∠C=60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE
①在图17.2中补全图形;
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
(3)如图17.3，若，且∠ADE=∠C，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.
类型3 与动点有关的几何综合题
（2021•铜仁）
26．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
解：(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,
∴AG⊥BF,
∴∠AGF＝90°,
∵AH平分∠DAF,
∴∠FAH＝∠FAD,
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD＝90°,
∴∠EAH＝∠BAD＝45°,
∵∠HGA＝90°,
∴GA＝GH；
(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,
由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,
∴AH⊥DF,FN＝DN,
∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,
又∵∠GHA＝45°,
∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,
∴∠DHF＝90°,
∴DH的长为点D到直线BH的距离,
由(1)知AE2＝AB2+BE2,
∴AE＝＝＝,
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,
∴∠AEB＝∠ABG,
又∠AGB＝∠ABE＝90°,
∴△AEB∽△ABG,
∴,,
∴AG＝＝,
∴BG＝,
由(1)知GF＝BG,AG＝GH,
∴GF＝,GH＝,
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
(3)不变．
理由如下:
方法一:连接BD,如图2,
在Rt△HDF中,,
在Rt△BCD中,＝sin45°＝,
∴,
∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,
∴∠BDF＝∠CDH,
∴△BDF∽△CDH,
∴∠CDH＝∠BFD,
∵∠DFH＝45°,
∴∠BFD＝135°＝∠CHD,
∵∠BHD＝90°,
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二:
∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,
∴点B,C,H,D四点共圆,
∴∠BHC＝∠BDC＝45°,
∴∠BHC的度数不变．
26.（2021•重庆A卷）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°.
（1）如图1，当∠BAC=90°时，连接BE，交AC于点F.若BE平分∠ABC，BD=2,求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE.若∠BAC=120°，当BD>CD，∠AEC=150°时，请直接写出的值.
解:（1）连接CE，过点F作FH⊥BC，垂足为H.
∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，
∴FA=FH.
∴AB=AC.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴
∵∠BAC+∠DAE=180°
∴∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE=2，∠ABD=∠ACE=45°
∴∠BCE=90°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∴∠AFB=∠BEC.
∵∠AFB=∠EFC，
∴∠BEC=∠EFC.
∴CF=CE=2.
∴AF=.
（2）AG=CD.
延长BA至点M，使AM=AB，连接EM.
∵G是BE的中点，
∴AG=ME.
∵∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠CAM=180°，0
∴∠DAE=∠CAM
∴∠DAC=∠EAM.
在△ADC和△AEM中，
∴△ADC≌△AEM
∴CD=ME
∴AG=CD.
（3）.
24.（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
（1）若，求DF的长.
（2）若，求DF的长.
（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围.
解：（1）如图1，矩形ABCD中，
，
，，
，
点E是AD中点，
，
，
.
（2）第一种情况，如图2，
，
由对称性可得，EF平分，
，
是等腰三角形，
可求得.
第二种情况，如图3，
，
由对称性可得
，
是等腰三角形，
可求得.
综上所述，DF的长为2或6.
（3）由（2）可得当时，
（如图2）或6（如图3）.
当时，
第一种情况，如图4，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
.
第二种情况，如图5，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
，DF最大值为8，
.
综上所述，或.
24.（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G，于点H，，.
（1）求.
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.
25．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
类型4 与实践操作有关的几何综合题
（2021•山西）
解：
23.（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；分别作线段CE，DF的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；作射线OP，射线即为的平分线．
简述理由如下：
由作图知，，，，所以≌，则，即射线OP是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；连接DE，CF，交点为P；作射线射线OP即为的平分线．
任务：
小明得出≌的依据是___⑤___ 填序号．
小军作图得到的射线0P是的平分线吗？请判断并说明理由．
如图3，已知，点E，F分别在射线OA，OB上，且点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且，连接DE，CF，交点为P，当时，直接写出线段OC的长．
解：射线OP是的平分线，理由如下：
如图2，，，，
≌，
，
，，
≌，
，
，，，
≌，
，即，
是的平分线．
（3）OC的长为2或．
类型5 其他类型的几何综合题
23.（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是__∠DC____；
类比迁移
（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是___AD2+DE2=AE2______；
方法运用
（3）如图3，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
①求证：；
②连接，如图4，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．
解：（3）①见解析；②BD=．
23．（2021•湖州）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
在中，，，
．
（2）证明：连结，，
，
，
，
，
，
，
又，
，是等边三角形，
，
，
又，
， ，．
（3）存在这样的．
23．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
解：
28.（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P点P、P，分别在线段PF、PH上，PP1 = PG，PP2 = PE，连接P1 H、P2 F，P1 H与P2 F相交于点Q. 已知AG：GD = AE：EB = 1：2. 设AG = a，AE = b.
（1）四边形EBHP的面积 ▲ 四边形GPFD的面积（填“ > ”、“ = ”或“ < ”）；
（2）求证: △P1FQ∽△P2 HQ；
（3）设四边形P P1Q P2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值.
25.（2021•上海）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
解：（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
23．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD与CE的关系；
（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴BD＝CE且BD⊥CE；
（2）延长BD和CE交于点H，
由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，
而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°,
故四边形ADHE为矩形，
而AD＝AE，
故四边形ADHE为正方形，
在Rt△ACE中,AE＝＝＝，
则BH＝BD+DH＝8+6＝8,CH＝HE﹣CE＝7﹣2＝4,
在Rt△BCH中，tan∠CBH＝,
在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝7；
（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，延长EC和BD交于点H，
由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，
由作图知，△ADE为等腰直角三角形，
设CE＝BD＝x，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°AB＝，
则CH＝BC，
则DH＝BH﹣x＝3﹣x,EH＝CH+CE＝x+，
则DE7＝2AD2＝DH7+EH2，
即（3﹣x）7+（+x）2＝7×（4+），
解得x＝5﹣（舍去）或1，
即BD＝x＝4，
过点D作DN⊥BC于点N，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝1，
则ND＝BD＝1，
则CN＝CB﹣BN＝2﹣＝,
则tan∠BCD＝，
则sin∠BCD＝．
26.（2021•常德）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．
（1）求证：；
（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．
①求证：；
②设与相交于点P，求证：．
解：证明：（1）∵，且
∴，且，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∴，
∴∠DTA=∠DCN，
∵∠ADT=∠NDC，
∵点D为AN的中点，
∴AD=ND，
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TA=CN，
∵，
∴BN=CN，
（2）①如图所示，连接AM、MN，
∵点N关于边的对称点为M，
∴△ANC≌△AMC，
∴∠ACN=∠ACM，
∵AB=AC，点N为AC的中点，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，
∵OA=OC，
∴∠CAN=∠ACO，
∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒，
∴∠OAT=∠OCM=90︒，
在Rt△OAT和Rt△OCM中，
∵AT=CM，∠OAT=∠OCM ，OA=OC，
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），
∴∠AOT=∠COM，OT=OM，
∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，
∴∠TOM=∠AOC
∵OA=OC，OT=OM，
∵，
∴；
②如图所示，连接OP，
∵，
∴∠OTM=∠OAP，
∴点O、T、A、P共圆，
∵∠OAT=90︒，
∴OT为圆的直径，
∴∠OPT=90︒，
∵OT=OM，
∴点P为TM的中点，
∵由（1）得△TAD≌△CND，
∴TD=CD，
∴点D为TC的中点，
∴DP为△TCM的中位线，
∴．
23．（2021•随州）
解：
26．（2021•陕西）
25.（2021•广元）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
解：（1）证明：∵，
∴,
∵垂直于射线,
∴
又∵
∴,
∵
即：
又∵
∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点
∴，，
∴,
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
又∵
∴
∴
（3）如下图：
过点作垂直于的延长线于点,
又∵
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，
∴，
21. （2021•海南）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接．
①求证：；
②若，求的长．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
．
又，
．
（2）①证明；由（1）得，
．
．
为等腰直角三角形．
又，
点H为的中点．
．
同理，由是斜边上的中线得，
．
．
②∵四边形是正方形，
．
又，
．
．
又为等腰直角三角形，
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
．
．
又∵在等腰直角三角形中，
．
．
24.（2021•福建） 如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
解：（1）设直线与相交于点T，
∵点A与关于对称，
∴垂直平分，即．
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
∴，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
取的中点O，连接，
在和中，
，
∴，
∴点，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22.（2021•深圳）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值.
（1）①__________；②___45°___.
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）
求①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
解：③证明：如图所示：
由正方形性质得：，O为的中点
又∵H为的中点，则，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴，又∵
∴
又
∴，又∵
∴
∴，
∴
（2）① ②
理由如下：
①如图，连接，与交于O点，连接
由（1）的第③问同理可证：
∴
②方法1：
由①得：
，则
在中，，
不妨令，，如图作
则：，
则
由勾股定理解得：
∴.
方法2：
由方法①得：
在中，，
不妨令，，作，垂足为N
在中，，
则
在中由勾股定理解得：
，
∴
24．（2021•广东）如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求的面积．
解：（1），设，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）如图，取中点，过点作，
，，
，
又，
，
为中点，
，
，
又，，
，
∴
又，
以为直径的圆与相切．
（3），，，
，，，
又，
为等边三角形，，
由（2）得：，
，
，
，在中，．
在中，，
如图，过点，点分别向作垂线交于点，，
，，
，，
．
25．（2021•贵阳）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：
∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，
∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，
即4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
∴a+b＝12①，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5②，
由①②得：，
解得：a＝，
∴EF＝；
（3）c+b＝n，理由如下：
如图③所示：
设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，
∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，
∴＝，＝，
即＝，＝，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，
∴cn+bn＝n2，
∴c+b＝n．
题型2 与圆有关的几何综合题
33．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ D ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
38．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
1．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 2 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，∴BQ＝，
∵PD＝，∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；
②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．
2．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝．
3．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．
解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），
∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，
由点A、B的坐标得：AB＝＝10，
故圆的半径＝AB＝5；
（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，
连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO＝,
在Rt△NHB中，NB＝＝，
即直线AB向上平移个单位得到MN，
故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；
（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，
解得：x＝﹣3或﹣，
故点C的坐标为（﹣3,10），
由点C、N的坐标得：CN＝＝5，
则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×5＝．
4．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为 π ，点G所经过的路径长为 π ．
解：（1）如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠CBE＝∠CBF+∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴CF＝AE＝1；
（2）如图2，连接CF，
由（1）△ABE≌△CBF，
∴CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝60°，
∵∠ABC＝60°，∴∠BCF＝∠ABC，∴CF∥AB，
又点E在点C处时，CF＝AC，
点E在A处时，点F与点C重合．
∴点F运动的路径长＝AC＝3．
（3）如图3，取BC的中点H，连接HN，
∴BH＝BC，∴BH＝AB，
∵CD⊥AB，∴BD＝AB，∴BH＝BD，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠DBM+∠MBH＝∠HBN+∠MBH，
∴∠DBM＝∠HBN，
∴△DBM≌△HBN（SAS），
∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°，∴NH⊥BC，
又点M在C处时，HN＝CD＝，
点M在D处时，点N与点H重合．
∴点N所经过的路径的长＝CD＝；
（4）如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，
∴MF＝BM＝BN＝AB，
点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；
∴当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；
当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；
连接CH，OG，
由上证明可得，NH＝NB＝NC，
∴∠BHC＝90°，
∴点C，G，H三点共线，
∴∠AGC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴OG是Rt△AGC斜边中线，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；
∴点H所经过的路径长＝＝π；
点G所经过的路径长＝＝．
故答案为：，．
5．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1,4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3,5）、（5,3）；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上，OP为5或10或．
6．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝,∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,∴DE＝DC．
(2)①证明：如图2中，
∵CF＝CH,∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,∴∠AFO＝∠CHF,
∵＝,∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴＝,∴＝,
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵＝,∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝,即OG＝,
∵OA＝OB,∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC,∴AC＝．
7．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
（1）证明：连接OC，如图1，
∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，
∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，
∵BD为⊙O的直径，∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
8．（2021·成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
（1）证明：连接OC,如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2,
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即＝,
∴＝,
解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴＝＝,
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝,
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．
9．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．
（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，∴AE∥OD，∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．
（2）证明：如图，连接BF．
∵BF是直径，∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．
（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，∴DH＝k，
∴OH＝＝k，∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF•AC＝AD•DC，∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，∴＝，
∴EF＝6．
10．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴△OMQ≌△ONP（HL），∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．
（3）∵AB＝2R，∴OA＝OB＝OQ＝r，
∵QM＝2MO，∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，∴x＝R，
∴R＜x＜R．
11．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
解：（1）①证明：∵＝,∴AD＝AB,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②连接OA交BD于J,连接OC．
∵＝,∴OA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,∴A,O,C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2,OD＝3,
∴OJ＝＝＝1,
∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,
∵四边形ABCD是菱形，∴AJ＝CJ＝2,
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．
（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P,过点A作AJ⊥BD于J．
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD,
∵CD∥AB,∴DP⊥AB,
∴PA＝PB,∴DB＝AD＝4,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2,∴OH⊥BD,
∴∠DHO＝∠DPB＝90°,
∵∠ODH＝∠BDP,
∴△DHO∽△DPB,
∴＝＝,
∴＝＝,
∴DP＝,PB＝,
∴AB＝2PB＝,
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．
综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝•BD•AJ,
∴AJ＝,
∴BJ＝＝＝,
∴JH＝BH＝BJ＝2﹣＝,
∴tan∠AHJ＝＝＝,
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
24．（2021·宁波）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．
∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
46．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．
（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，
若M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）①证明：设⊙O半径为r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
连接AC，则∠BCA＝90°，
∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB•BD＝4BD，
∴；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，
又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴．
49．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．
解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝＝＝AB，
∴PD＝AD，即点P是AD的中点，
∵EC＝3BE，
∴BE＝BC，BC＝4BE，
∵BD＝BC，
∴BE＝BD，即点E是BD的中点，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝＝＝，
∴4EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，
由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，
MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，
∵AM＝2MC，
∴CM＝AC＝×6a＝2a，
∴CF＝CM++MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，
∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，
∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2．
49．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．
（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵，∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（r）2+（）2＝r2，∴r＝1，
即⊙O的半径为1；
（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，∴，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴BC＝﹣1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ADC，
∴，∴，
∴CE＝．
50．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．
（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEF，
∴∠DOC＝∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠DOC＝90°，
∵∠AFE＝∠OCD，∴∠OCD+∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接DF，如图：
∵AD是⊙O的直径，∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠G+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠G，
又∠DAF＝∠GAD，∴△ADF∽△AGD，
∴＝，
∵AD＝6，GF＝1，
∴＝，解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），
在Rt△AEF中，AE＝＝＝2，
∴cos∠AEF＝＝；
（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，
∵EF＝AD＝6，AF＝8，
∴FO＝3，FK＝AK＝4，
Rt△OKF中，OK＝＝，
∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，
且∠OAF＝∠OFA，
∴∠G＝∠AEF，
∴tanG＝tan∠AEF，
即＝，
∴＝，即＝，
解得CK＝10，
∵BH平分∠ABC，OC∥AB，
∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，
∴CH＝BC＝OA＝3，
∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10﹣﹣3﹣3＝3，
∴KH＝OK+OM+MH＝7，
在Rt△AKH中，AH＝＝＝，
而∠MNH＝∠MFA＝∠MOA＝∠ABC＝∠ABH，
且∠MHN＝∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴＝＝＝．
52．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 B2C2 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为﹣1≤d≤+1，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C1′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC2＝1，AB2＝，
∴C2′（0，1），B2′（1，0），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3＝，
当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为，
∴t＝或﹣．
（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′＝＝＝．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′＝，
∴AE＝＝＝，
∵S△AOC′＝•AO•C′F＝•OC′•AE，
∴C′F＝，
∴OF＝＝＝，
∴FB′＝OB′﹣OF＝，
∴B′C′＝＝＝．
综上OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．
31．（2021•随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 ，其内切圆的半径长为 1 ；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝ ；（结果用含a的式子表示）
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由
解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：
AC•BC＝h•AB，
＝．
设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．
即3×4÷2＝AC•r+BC•r+AB•r，
即＝6，
∴r＝＝＝1．
故答案为：，1；
（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为＝，
由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，
解得：h1+h2+h3＝．
故答案为：．
②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，
设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．
易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，
过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝＝108°，
故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝，
故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，从而得到：
h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．
（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，
∴S△OCB＝S△ACB．
∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA＝90°，
又OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∴△OCB为等边三角形．
∴∠COB＝60°，
∴S扇形OCB＝＝．
故阴影部分面积为．
故答案为：．
②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．
连接DG，
∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDEF+S△DEF，
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DGF，
∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．
（分类）专题复习（六）几何综合题（压轴、次压轴）
题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
类型2 与图形变换有关的几何综合题
类型3 与动点有关的几何综合题
类型4 与实践操作有关的几何综合题
类型5 其他类型的几何综合题
类型1 类比探究的几何综合题
24．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 1 ；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．
解（1）①如图1，延长AD交BE于F，
由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC.
（2）如图2，延长AD交BE于F，
由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝m；
（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由（2）知，△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，
∴＝tan∠GAC＝＝，
设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∴△AGH≌△ECH（AAS），
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝x，
在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EB•EH＝6，
∴2x•x＝6，
∴x＝或x＝﹣（舍），
即CG＝．
24．（2021•达州）
解：
25．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
图1 图2 图3
解：（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）①数量关系依然成立．
证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②
27．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ，点G所经过的路径长为 ．
解：
23．（2021•武汉）问题提出 如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
解：
27.（2021•武威）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．
又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．
又．
是等边三角形，
，
．
23．（2021•宁波）
23.（2021•绍兴）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：.
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
解：（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分，
.
.
.
同理可得：.
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
，
，
点F与点D重合，
.
（2）情况1，如图3，
，
.
图3
情况2，如图4，
，
又，
.
图4
情况3，如图5，
，
又，
.
图5
综上所述，的值可以是，，.
23. （2021•潜江）已知和都为等腰三角形，．
（1）当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系：_________；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．
解：（1）②，理由如下：
和都为等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
（2）①当时，，
和都为等腰直角三角形，
，
，即，
设，
则，
，
在和中，，
，
，
即；
②如图，设与交于点，
，
，
设，则，
，
，，
，即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
则在中，．
类型2 与图形变换有关的几何综合题
26.（2021•贵港）
23.（2021•菏泽）
24．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于N,
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
24. （2021•衢州）
【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
（1）求证：.
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H.若，，求线段DE的长.
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）.
图1 图2 备用图
解：（1）如图1，由折叠得到，
，.
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又，
.
（2）如图2，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
.
四边形是正方形，
，，
又，，
.
，，
，.
，，
（舍去）.
（3）如图3，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图3，
易得，，
由折叠得，，
又，，
，
又，
，
，，
，，
.
，，
，
（舍去）.
②当点在点右边时，如图4，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）.
26．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP~△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝a+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．
26.（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
解：（1）连接
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
分别平分
即
且都是等腰直角三角形
（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH
是CF的中点
又
在四边形BEFC中
又
即
即
又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
三角形BEH是等腰直角三角形
M、N分别是BH、BE的中点
（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF
在中，O、Q分别是AB、BF的中点
同理可得
所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积
．
23．（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
解：（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
23．（2021•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．
解：（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．
（2）①证明：如图2中，
∵∠GCK＝∠DCH＝90°，
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（ASA），
∴CG＝CD．
②解：设正方形的边长为a，
∵KB′∥CF′，
∴△B′KO∽△F′CO，
∴＝＝，
∴B′K＝B′C＝a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（a）2＝32，
∴a＝，
由＝，可得B′K＝KE′＝a，
∵KE′∥CF′
∴△DKE′∽△DCF′，
∴＝＝＝，
∴DE′＝E′F′＝a，
∴PE′＝2a，
∴PK＝a，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝6．
（3）解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．
∵CF′∥GP，RB∥BM，
∴△GB∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝x，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵CB′∥HE′，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴＝＝＝，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝2x，
∴S△CF′R＝2S△CF′H，
∵CB′∥HE′，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴＝＝＝，
∴＝＝
∴GB＝2（﹣1）x，
∵△GBM∽△CRF′，
∴＝（）2＝[]2＝，
∵S△CRF′＝2S△CHF′，
∴＝．
23.（2021•岳阳）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．
（1）如图1，若，则线段与的数量关系是_____，_____；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出值（用含的式子表示）．
解：（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD是等边三角形，AC＝2，
∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，
∴NG＝m，
∴DG＝＝，
∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，
∴∠EBG＝，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴＝，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴＝＝＝．
25．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．
解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）如图1，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．
∵∠DCG＝90°，CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，
∴MH＝DH•tan45°＝DH；
∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴＝tan∠CAD＝＝，
∴AH＝3MH＝3DH，
∴3DH+DH＝3；
∴MH＝DH＝，
∵＝sin∠CAD＝＝，
∴AM＝MH＝×＝．
（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．
∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；
由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠BEC+∠CEF＝180°，
∴点B、E、F在同一条直线上，
∴∠AEB＝90°，
∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，
∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；
如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．
∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠BFC＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠CED＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝+1或AD＝﹣1（不符合题意，舍去）．
综上所述，AD的长为﹣1或+1．
24.（2021•十堰）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．
（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；
（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．
解：（1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴，
∴=；
（2）∵，CA⊥l，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直线垂直平分线段；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，
由（1）小题，可知：，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=，
∴BM=BE÷sin60°=2÷=，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×，
∵的面积等于，
∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去），
∴AP=．
26．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．
解：论证：
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
发现：设AB的中点为O，如图：
当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等边三角形，
∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°；
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：
由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，如图：
∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
设BG＝m，则AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②过B作BG⊥CD于G，如图：
设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴cosα＝＝＝．
方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：
∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝•＝，
Rt△ADF中，
cosα＝＝＝．
24.（2021•天津）
24．（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.
【探究1】如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长.
【探究2】如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
解：
26．（2021•重庆B卷）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．
解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：
∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△BDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝.
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：
∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF.
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图.
Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，S△DPN＝PN•DN＝．
27．（2021•成都）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ACB＝90°,AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上,
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8;
（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC,BC'＝BC＝3，
∵CE//A'B,
∴∠A'BC＝∠CEB,
∴∠CEB＝∠ABC,
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD,AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝＝，
Rt△CED中，DE＝＝＝，
同理BD＝，
∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，
∵CE//A'B,
∴＝,
∴＝，
∴BM＝;
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC',∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C',
∴∠BCC'＝∠BC'C,
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC',
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C,
∴∠ACP＝∠A'C'D,
∵AP//A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D,
∴∠P＝∠ACP,
∴AP＝AC,
∴AP＝A'C',
在△APD和△A'C'D中，
,
∴△APD≌△A'C'D(AAS),
∴AD＝A'D,即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C,
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
25.（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(不与点B、C重合)，连结AD.
(1)如图17.1，若∠C=60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连站AE、DE，则∠BDE=___30°__；
(2)若∠C=60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE
①在图17.2中补全图形;
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
(3)如图17.3，若，且∠ADE=∠C，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.
类型3 与动点有关的几何综合题
（2021•铜仁）
26．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
解：(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,
∴AG⊥BF,
∴∠AGF＝90°,
∵AH平分∠DAF,
∴∠FAH＝∠FAD,
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD＝90°,
∴∠EAH＝∠BAD＝45°,
∵∠HGA＝90°,
∴GA＝GH；
(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,
由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,
∴AH⊥DF,FN＝DN,
∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,
又∵∠GHA＝45°,
∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,
∴∠DHF＝90°,
∴DH的长为点D到直线BH的距离,
由(1)知AE2＝AB2+BE2,
∴AE＝＝＝,
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,
∴∠AEB＝∠ABG,
又∠AGB＝∠ABE＝90°,
∴△AEB∽△ABG,
∴,,
∴AG＝＝,
∴BG＝,
由(1)知GF＝BG,AG＝GH,
∴GF＝,GH＝,
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
(3)不变．
理由如下:
方法一:连接BD,如图2,
在Rt△HDF中,,
在Rt△BCD中,＝sin45°＝,
∴,
∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,
∴∠BDF＝∠CDH,
∴△BDF∽△CDH,
∴∠CDH＝∠BFD,
∵∠DFH＝45°,
∴∠BFD＝135°＝∠CHD,
∵∠BHD＝90°,
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二:
∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,
∴点B,C,H,D四点共圆,
∴∠BHC＝∠BDC＝45°,
∴∠BHC的度数不变．
26.（2021•重庆A卷）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°.
（1）如图1，当∠BAC=90°时，连接BE，交AC于点F.若BE平分∠ABC，BD=2,求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE.若∠BAC=120°，当BD>CD，∠AEC=150°时，请直接写出的值.
解:（1）连接CE，过点F作FH⊥BC，垂足为H.
∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，
∴FA=FH.
∴AB=AC.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴
∵∠BAC+∠DAE=180°
∴∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE=2，∠ABD=∠ACE=45°
∴∠BCE=90°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∴∠AFB=∠BEC.
∵∠AFB=∠EFC，
∴∠BEC=∠EFC.
∴CF=CE=2.
∴AF=.
（2）AG=CD.
延长BA至点M，使AM=AB，连接EM.
∵G是BE的中点，
∴AG=ME.
∵∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠CAM=180°，0
∴∠DAE=∠CAM
∴∠DAC=∠EAM.
在△ADC和△AEM中，
∴△ADC≌△AEM
∴CD=ME
∴AG=CD.
（3）.
24.（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
（1）若，求DF的长.
（2）若，求DF的长.
（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围.
解：（1）如图1，矩形ABCD中，
，
，，
，
点E是AD中点，
，
，
.
（2）第一种情况，如图2，
，
由对称性可得，EF平分，
，
是等腰三角形，
可求得.
第二种情况，如图3，
，
由对称性可得
，
是等腰三角形，
可求得.
综上所述，DF的长为2或6.
（3）由（2）可得当时，
（如图2）或6（如图3）.
当时，
第一种情况，如图4，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
.
第二种情况，如图5，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
，DF最大值为8，
.
综上所述，或.
24.（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G，于点H，，.
（1）求.
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.
25．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
类型4 与实践操作有关的几何综合题
（2021•山西）
解：
23.（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；分别作线段CE，DF的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；作射线OP，射线即为的平分线．
简述理由如下：
由作图知，，，，所以≌，则，即射线OP是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；连接DE，CF，交点为P；作射线射线OP即为的平分线．
任务：
小明得出≌的依据是___⑤___ 填序号．
小军作图得到的射线0P是的平分线吗？请判断并说明理由．
如图3，已知，点E，F分别在射线OA，OB上，且点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且，连接DE，CF，交点为P，当时，直接写出线段OC的长．
解：射线OP是的平分线，理由如下：
如图2，，，，
≌，
，
，，
≌，
，
，，，
≌，
，即，
是的平分线．
（3）OC的长为2或．
类型5 其他类型的几何综合题
23.（2021•江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是__∠DC____；
类比迁移
（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是___AD2+DE2=AE2______；
方法运用
（3）如图3，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
①求证：；
②连接，如图4，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．
解：（3）①见解析；②BD=．
23．（2021•湖州）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
在中，，，
．
（2）证明：连结，，
，
，
，
，
，
，
又，
，是等边三角形，
，
，
又，
， ，．
（3）存在这样的．
23．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
解：
28.（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P点P、P，分别在线段PF、PH上，PP1 = PG，PP2 = PE，连接P1 H、P2 F，P1 H与P2 F相交于点Q. 已知AG：GD = AE：EB = 1：2. 设AG = a，AE = b.
（1）四边形EBHP的面积 ▲ 四边形GPFD的面积（填“ > ”、“ = ”或“ < ”）；
（2）求证: △P1FQ∽△P2 HQ；
（3）设四边形P P1Q P2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值.
25.（2021•上海）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
解：（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
23．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°
（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD与CE的关系；
（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴BD＝CE且BD⊥CE；
（2）延长BD和CE交于点H，
由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，
而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°,
故四边形ADHE为矩形，
而AD＝AE，
故四边形ADHE为正方形，
在Rt△ACE中,AE＝＝＝，
则BH＝BD+DH＝8+6＝8,CH＝HE﹣CE＝7﹣2＝4,
在Rt△BCH中，tan∠CBH＝,
在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝7；
（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，延长EC和BD交于点H，
由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，
由作图知，△ADE为等腰直角三角形，
设CE＝BD＝x，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°AB＝，
则CH＝BC，
则DH＝BH﹣x＝3﹣x,EH＝CH+CE＝x+，
则DE7＝2AD2＝DH7+EH2，
即（3﹣x）7+（+x）2＝7×（4+），
解得x＝5﹣（舍去）或1，
即BD＝x＝4，
过点D作DN⊥BC于点N，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝1，
则ND＝BD＝1，
则CN＝CB﹣BN＝2﹣＝,
则tan∠BCD＝，
则sin∠BCD＝．
26.（2021•常德）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．
（1）求证：；
（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．
①求证：；
②设与相交于点P，求证：．
解：证明：（1）∵，且
∴，且，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∴，
∴∠DTA=∠DCN，
∵∠ADT=∠NDC，
∵点D为AN的中点，
∴AD=ND，
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TA=CN，
∵，
∴BN=CN，
（2）①如图所示，连接AM、MN，
∵点N关于边的对称点为M，
∴△ANC≌△AMC，
∴∠ACN=∠ACM，
∵AB=AC，点N为AC的中点，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，
∵OA=OC，
∴∠CAN=∠ACO，
∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒，
∴∠OAT=∠OCM=90︒，
在Rt△OAT和Rt△OCM中，
∵AT=CM，∠OAT=∠OCM ，OA=OC，
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），
∴∠AOT=∠COM，OT=OM，
∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，
∴∠TOM=∠AOC
∵OA=OC，OT=OM，
∵，
∴；
②如图所示，连接OP，
∵，
∴∠OTM=∠OAP，
∴点O、T、A、P共圆，
∵∠OAT=90︒，
∴OT为圆的直径，
∴∠OPT=90︒，
∵OT=OM，
∴点P为TM的中点，
∵由（1）得△TAD≌△CND，
∴TD=CD，
∴点D为TC的中点，
∴DP为△TCM的中位线，
∴．
23．（2021•随州）
解：
26．（2021•陕西）
25.（2021•广元）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
解：（1）证明：∵，
∴,
∵垂直于射线,
∴
又∵
∴,
∵
即：
又∵
∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点
∴，，
∴,
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
又∵
∴
∴
（3）如下图：
过点作垂直于的延长线于点,
又∵
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，
∴，
21. （2021•海南）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接．
①求证：；
②若，求的长．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
．
又，
．
（2）①证明；由（1）得，
．
．
为等腰直角三角形．
又，
点H为的中点．
．
同理，由是斜边上的中线得，
．
．
②∵四边形是正方形，
．
又，
．
．
又为等腰直角三角形，
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
．
．
又∵在等腰直角三角形中，
．
．
24.（2021•福建） 如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
解：（1）设直线与相交于点T，
∵点A与关于对称，
∴垂直平分，即．
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
∴，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
取的中点O，连接，
在和中，
，
∴，
∴点，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22.（2021•深圳）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值.
（1）①__________；②___45°___.
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）
求①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
解：③证明：如图所示：
由正方形性质得：，O为的中点
又∵H为的中点，则，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴，又∵
∴
又
∴，又∵
∴
∴，
∴
（2）① ②
理由如下：
①如图，连接，与交于O点，连接
由（1）的第③问同理可证：
∴
②方法1：
由①得：
，则
在中，，
不妨令，，如图作
则：，
则
由勾股定理解得：
∴.
方法2：
由方法①得：
在中，，
不妨令，，作，垂足为N
在中，，
则
在中由勾股定理解得：
，
∴
24．（2021•广东）如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求的面积．
解：（1），设，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）如图，取中点，过点作，
，，
，
又，
，
为中点，
，
，
又，，
，
∴
又，
以为直径的圆与相切．
（3），，，
，，，
又，
为等边三角形，，
由（2）得：，
，
，
，在中，．
在中，，
如图，过点，点分别向作垂线交于点，，
，，
，，
．
25．（2021•贵阳）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：
∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，
∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，
即4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
∴a+b＝12①，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5②，
由①②得：，
解得：a＝，
∴EF＝；
（3）c+b＝n，理由如下：
如图③所示：
设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，
∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，
∴＝，＝，
即＝，＝，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，
∴cn+bn＝n2，
∴c+b＝n．
题型2 与圆有关的几何综合题
33．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ D ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
38．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 ②④⑤ .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
1．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 2 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，∴BQ＝，
∵PD＝，∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；
②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．
2．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝．
3．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．
解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），
∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，
由点A、B的坐标得：AB＝＝10，
故圆的半径＝AB＝5；
（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，
连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO＝,
在Rt△NHB中，NB＝＝，
即直线AB向上平移个单位得到MN，
故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；
（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，
解得：x＝﹣3或﹣，
故点C的坐标为（﹣3,10），
由点C、N的坐标得：CN＝＝5，
则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×5＝．
4．（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为 π ，点G所经过的路径长为 π ．
解：（1）如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠CBE＝∠CBF+∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴CF＝AE＝1；
（2）如图2，连接CF，
由（1）△ABE≌△CBF，
∴CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝60°，
∵∠ABC＝60°，∴∠BCF＝∠ABC，∴CF∥AB，
又点E在点C处时，CF＝AC，
点E在A处时，点F与点C重合．
∴点F运动的路径长＝AC＝3．
（3）如图3，取BC的中点H，连接HN，
∴BH＝BC，∴BH＝AB，
∵CD⊥AB，∴BD＝AB，∴BH＝BD，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠DBM+∠MBH＝∠HBN+∠MBH，
∴∠DBM＝∠HBN，
∴△DBM≌△HBN（SAS），
∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°，∴NH⊥BC，
又点M在C处时，HN＝CD＝，
点M在D处时，点N与点H重合．
∴点N所经过的路径的长＝CD＝；
（4）如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，
∴MF＝BM＝BN＝AB，
点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；
∴当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；
当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；
连接CH，OG，
由上证明可得，NH＝NB＝NC，
∴∠BHC＝90°，
∴点C，G，H三点共线，
∴∠AGC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴OG是Rt△AGC斜边中线，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；
∴点H所经过的路径长＝＝π；
点G所经过的路径长＝＝．
故答案为：，．
5．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1,4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3,5）、（5,3）；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上，OP为5或10或．
6．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝,∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,∴DE＝DC．
(2)①证明：如图2中，
∵CF＝CH,∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,∴∠AFO＝∠CHF,
∵＝,∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴＝,∴＝,
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵＝,∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝,即OG＝,
∵OA＝OB,∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC,∴AC＝．
7．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
（1）证明：连接OC，如图1，
∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，
∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，
∵BD为⊙O的直径，∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
8．（2021·成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
（1）证明：连接OC,如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2,
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即＝,
∴＝,
解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴＝＝,
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝,
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．
9．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．
（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，∴AE∥OD，∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．
（2）证明：如图，连接BF．
∵BF是直径，∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．
（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，∴DH＝k，
∴OH＝＝k，∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF•AC＝AD•DC，∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，∴＝，
∴EF＝6．
10．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴△OMQ≌△ONP（HL），∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．
（3）∵AB＝2R，∴OA＝OB＝OQ＝r，
∵QM＝2MO，∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，∴x＝R，
∴R＜x＜R．
11．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
解：（1）①证明：∵＝,∴AD＝AB,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②连接OA交BD于J,连接OC．
∵＝,∴OA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,∴A,O,C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2,OD＝3,
∴OJ＝＝＝1,
∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,
∵四边形ABCD是菱形，∴AJ＝CJ＝2,
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．
（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P,过点A作AJ⊥BD于J．
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD,
∵CD∥AB,∴DP⊥AB,
∴PA＝PB,∴DB＝AD＝4,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2,∴OH⊥BD,
∴∠DHO＝∠DPB＝90°,
∵∠ODH＝∠BDP,
∴△DHO∽△DPB,
∴＝＝,
∴＝＝,
∴DP＝,PB＝,
∴AB＝2PB＝,
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．
综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝•BD•AJ,
∴AJ＝,
∴BJ＝＝＝,
∴JH＝BH＝BJ＝2﹣＝,
∴tan∠AHJ＝＝＝,
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
24．（2021·宁波）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．
∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
46．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．
（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，
若M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）①证明：设⊙O半径为r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
连接AC，则∠BCA＝90°，
∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB•BD＝4BD，
∴；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，
又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴．
49．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．
解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝＝＝AB，
∴PD＝AD，即点P是AD的中点，
∵EC＝3BE，
∴BE＝BC，BC＝4BE，
∵BD＝BC，
∴BE＝BD，即点E是BD的中点，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝＝＝，
∴4EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，
由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，
MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，
∵AM＝2MC，
∴CM＝AC＝×6a＝2a，
∴CF＝CM++MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，
∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，
∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2．
49．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．
（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵，∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（r）2+（）2＝r2，∴r＝1，
即⊙O的半径为1；
（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，∴，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴BC＝﹣1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ADC，
∴，∴，
∴CE＝．
50．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．
（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEF，
∴∠DOC＝∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠DOC＝90°，
∵∠AFE＝∠OCD，∴∠OCD+∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接DF，如图：
∵AD是⊙O的直径，∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠G+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠G，
又∠DAF＝∠GAD，∴△ADF∽△AGD，
∴＝，
∵AD＝6，GF＝1，
∴＝，解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），
在Rt△AEF中，AE＝＝＝2，
∴cos∠AEF＝＝；
（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，
∵EF＝AD＝6，AF＝8，
∴FO＝3，FK＝AK＝4，
Rt△OKF中，OK＝＝，
∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，
且∠OAF＝∠OFA，
∴∠G＝∠AEF，
∴tanG＝tan∠AEF，
即＝，
∴＝，即＝，
解得CK＝10，
∵BH平分∠ABC，OC∥AB，
∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，
∴CH＝BC＝OA＝3，
∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10﹣﹣3﹣3＝3，
∴KH＝OK+OM+MH＝7，
在Rt△AKH中，AH＝＝＝，
而∠MNH＝∠MFA＝∠MOA＝∠ABC＝∠ABH，
且∠MHN＝∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴＝＝＝．
52．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 B2C2 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为﹣1≤d≤+1，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C1′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC2＝1，AB2＝，
∴C2′（0，1），B2′（1，0），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3＝，
当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为，
∴t＝或﹣．
（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′＝＝＝．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′＝，
∴AE＝＝＝，
∵S△AOC′＝•AO•C′F＝•OC′•AE，
∴C′F＝，
∴OF＝＝＝，
∴FB′＝OB′﹣OF＝，
∴B′C′＝＝＝．
综上OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．
31．（2021•随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 ，其内切圆的半径长为 1 ；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝ ；（结果用含a的式子表示）
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由
解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：
AC•BC＝h•AB，
＝．
设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．
即3×4÷2＝AC•r+BC•r+AB•r，
即＝6，
∴r＝＝＝1．
故答案为：，1；
（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为＝，
由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，
解得：h1+h2+h3＝．
故答案为：．
②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，
设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．
易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，
过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝＝108°，
故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝，
故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，从而得到：
h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．
（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，
∴S△OCB＝S△ACB．
∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA＝90°，
又OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∴△OCB为等边三角形．
∴∠COB＝60°，
∴S扇形OCB＝＝．
故阴影部分面积为．
故答案为：．
②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．
连接DG，
∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDEF+S△DEF，
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DGF，
∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．
相关试卷
专题03 选择压轴题：二次函数综合题： 这是一份专题03 选择压轴题：二次函数综合题，文件包含专题03选择压轴题二次函数综合题原卷版docx、专题03选择压轴题二次函数综合题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
专题03 选择压轴题：二次函数综合题： 这是一份专题03 选择压轴题：二次函数综合题，文件包含专题03选择压轴题二次函数综合题原卷版docx、专题03选择压轴题二次函数综合题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
知识点07 函数与几何综合探究题（压轴）： 这是一份知识点07 函数与几何综合探究题（压轴），共85页。试卷主要包含了的坐标值等内容，欢迎下载使用。
