知识点07 函数与几何综合探究题（压轴）

这是一份知识点07 函数与几何综合探究题（压轴），共85页。试卷主要包含了的坐标值等内容，欢迎下载使用。
（分类）专题复习（七）函数与几何综合探究题（压轴）（周佳）
类型1　探究线段最值问题
类型2　探究面积问题
类型3　探究角度问题
类型4　探究特殊三角形存在性问题
类型5　探究特殊四边形存在性问题
类型6　探究全等、相似三角形的存在性问题
类型7　反比例函数与几何图形的综合
类型8　其他问题

类型1　探究线段最值问题
（2021·恩施）


24．（2021·资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．



（2021·武威）




















26.（2021·苏州）（本题满分10分）
如图，二次两数（m是实数，且 - 1 < m < 0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC = EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF.
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值.






（2021·天津）




24．（2021·武汉）抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）□ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标；
②如图（2），若点D在抛物线上，且□ACDE的面积是12，求点E的坐标；
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．














26．（2021·广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．


25．（2021·黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．

28．（2021·大庆）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2＋bx＋c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝－2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，＋是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．


（2021·包头）




25．（2021·宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．


24．（2021·东营）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．
24．（本题满分10分）
（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）
把，分别代入
得 2分
解得
∴抛物线的解析式为．3分
（2）证明（方法一）：
∵抛物线与x轴交于点A
∴
解得，．4分
点A的坐标为
∴，
在中，，

∴
∴
∵
∴ 5分
又∵
∴．6分
证明（方法二）：
利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而证得，其余略．6分
（3）设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴


∵
∴当时，线段DE的长度最大．8分
此时，点D的坐标为
∵，
∴点C和点M关于对称轴对称
连接CD交对称轴于点P，此时最小．
连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为
∴
∵
∴的最小值．10分


24．（2021·鄂州）（本题满分12分）
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．

（1）（3分）请直接写出点、点、点的坐标；
（2）（3分）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．
①（3分）若点在内部（不包括边），求的取值范围；
②（3分）在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图1 备用图2

26.（2021·玉林） 已知抛物线：（）与轴交点为，（在的左侧），顶点为．

（1）求点，的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线与抛物线交于点，，且，关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为点，若，求点，的坐标．
【答案】（1），对称轴为直线；（2）；（3）或


类型2　探究面积问题
（2021·山西）



（2021·扬州）


25．（2021·常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．


（2021·聊城）














（2021·荆州）






（2021·贵港）

25．（2021·襄阳）如图，直线与，轴分别交于，，顶点为的抛物线过点．
（1）求出点，的坐标及的值；
（2）若函数在时有最大值为，求的值；
（3）连接，过点作的垂线交轴于点．设的面积为．
①直接写出关于的函数关系式及的取值范围；
②结合与的函数图象，直接写出时的取值范围．

解：（1）当时，．得．
当时，，解得．得．
把代入，得．
（2）．
当，时，随的增大而增大，
∴当，的值最大．
由题意得．
解得．
当，时，随的增大而减小．
∴当时，的值最大．
由题意得．
解得（不合题意，舍去）．
∴，
（3）①
②或．

（2021·柳州）





26．（2021·贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．



25．（2021·福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．




27．（2021·盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　 　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．














类型3　探究角度问题

（2021·成都）（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．
解：（1）抛物线的函数表达式为或
（2）当点B的坐标为时，直线的函数表达式为，进而得到点C的坐标为；当点B的坐标为时，直线的函数表达式为，进而得到点C的坐标为，所以点C的坐标为或；
（3）直线的函数表达式为，进而得到点C的横坐标为．
，当时，即时，取得最小值12．所以，当时，点C的横坐标的取值范围为．
（2021·黄冈）

（2021·眉山）





（2021·泰安）




（2021·自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



26．（2021·连云港）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．



25．（2021·衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．






24.（2021·岳阳）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接.

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线：经过点，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（2021·枣庄）


类型4　探究特殊三角形存在性问题
（2021·广安）


24.（2021·怀化）（本题满分14分）
如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点C走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.



25.（2021·南充）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为.

图1 图2
（1）求抛物线的解析式..
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且.在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.


（2021·随州）






26．（2021·衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）……都是“雁点”．
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．






28.（2021·宿迁）(本小题满分12分)
如图,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(—1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC,点P在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时,求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.


26．（2021·本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．


（2021·绥化）





类型5　探究特殊四边形存在性问题
25.（2021·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）.直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P.M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.


25.解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1），
∴
解得
∴该抛物线的函数表达式为.…………………………………………………………（2分）
（2）∵A（0，-1），B（4，1），
∴直线AB的函数表达式为
∴（2，0）
设P，其中0