2022年青海省中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年青海省中考数学试卷（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年青海省中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）．
1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．（3分）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
4．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
5．（3分）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）

A．（3，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（﹣3，0）
6．（3分）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）

A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（　　）

A．5 B．4 C．6 D．8
8．（3分）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）．
9．（2分）﹣2022的相反数是 　 　．
10．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
11．（2分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 　 　．
12．（2分）不等式组的所有整数解的和为 　 　．
13．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　 　．


14．（2分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为 　 　（用小于号连接）．

15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　 　．

16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

17．（2分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m．

18．（2分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　 　cm．

19．（2分）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　．

20．（2分）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　 　根．

三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
21．（7分）解方程：﹣1＝．
22．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．

23．（10分）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．

25．（12分）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
609%
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．

26．（10分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．


27．（13分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）



2022年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）．
1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．
【解答】解：A．3x2与4x3不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项B计算不正确；
C．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2≠9x2﹣4，故选项C计算不正确；
D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y），故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．
4．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，
所以1+m+3＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
5．（3分）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）

A．（3，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（﹣3，0）
【分析】根据点A坐标就可以求出线段OA的长，又因为AB＝3，所以求出CO长即可解答．
【解答】解：∵A（2，0），AB＝3，
∴OA＝2，AC＝AB＝3，
∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2＝，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质的应用，解题关键是熟练掌握正负半轴表示的点的坐标的性质．
6．（3分）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）

A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（　　）

A．5 B．4 C．6 D．8
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝CD＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
8．（3分）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．
【解答】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）．
9．（2分）﹣2022的相反数是 　2022　．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．
故答案为：2022．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
10．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　x＞1　．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【解答】解：由题意得x﹣1＞0，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
11．（2分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 　1.246×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：124600000＝1.246×108．
故答案是：1.246×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2分）不等式组的所有整数解的和为 　0　．
【分析】先解不等式组，求出x的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，
∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解集．
13．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　5　．


【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为5，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图：

故答案为：5．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了．
14．（2分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为 　P3＞P2＞P1　（用小于号连接）．

【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵P＝，F＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，
∴P1，P2，P3的大小关系是：P3＞P2＞P1，
故答案为：P3＞P2＞P1．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　40°　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　6　．

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
17．（2分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　　m．

【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rcm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rcm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2cm，
在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）cm，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为cm．
故答案为：．

【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．（2分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　20π　cm．

【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20πcm，
故答案为：20π．

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2分）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　（11﹣2x）（7﹣2x）＝21　．

【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
20．（2分）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　　根．

【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
21．（7分）解方程：﹣1＝．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：﹣1＝，
﹣1＝，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
22．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．

【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，进而利用“SAS”即可证明△DCE≌△BCE；
（2）由菱形的性质得出DC∥AF，进而得出∠CDF＝∠AFD，由全等三角形的性质得出∠CDF＝∠EBC，即可证明∠AFD＝∠EBC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键．
23．（10分）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．

【分析】（1）连接OD，由AD平分∠CAB，OA＝OD，可得OD∥AF，而EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，有OD⊥EF，即得AF⊥EF；
（2）连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，由CK是⊙O的直径，OD⊥EF，可得∠K＝∠CDF，即可得∠FAD＝∠K，从而△FAD∽△FDC，＝，知＝，解得FD＝，根据tan∠FAD＝＝，得∠FAD＝30°，故∠FAE＝2∠FAD＝60°，即得AE＝＝＝6，可得BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：

∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：

∵CK是⊙O的直径，
∴∠CDK＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵＝，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴＝，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴＝，
解得FD＝，
在Rt△AFD中，tan∠FAD＝＝，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE＝＝＝6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的长为2．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
25．（12分）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
609%
（1）填空：a＝　8　，b＝　8　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．

【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26．（10分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．


【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；
（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如图：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
27．（13分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）


【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长；
（3）又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），利用三角形的面积计算公式，结合S△PAB＝6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴点E的坐标为（1，﹣2），
∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．
（3）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．
∵S△PAB＝6，
∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，
即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，
解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，
∴存在满足S△PAB＝6的点P，点P的坐标为（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点F，E的坐标；（3）利用三角形的面积计算公式，找出关于t的一元二次方程．
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