华师大版9.2 多边形的内角和与外角和图文课件ppt

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多边形及其相关概念多边形的内角和多边形的外角和
1.多边形的定义：  一般地，由 n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们认识的多边形 .
特别解读多边形的三个必要条件：1.线段在“同一平面内”；2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3；3.首尾顺次连结.
2. 相关概念(1)内角： 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角 .(2)外角： 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 .(3)对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 .
3.凸多边形： 画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形，本节只讨论凸多边形 .
4. 正多边形：  如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形 .
特别解读若一个多边形的各个内角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形 .
有下列 4 个说法：①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③ n 边形有 n 条边、 n 个顶点、 n 个内角和 n 个外角；④六边形从一个顶点出发可以画 3 条对角线，所有的对角线共有 9 条 . 其中正确的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解： ①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③ n 边形有n 条边、 n 个顶点、 n 个内角和 2n 个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有 9 条，正确 . 综上，正确的有 2 个 .
解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析 .
1-1.如图， 下列标注的角中是五边形 ABCDE的外角的是( )A. ∠ 1 B. ∠ 2C. ∠ 3 D. ∠ 4
1-2.从一个多边形的一个顶点可引 2 023 条对角线， 则这个多边形的边数是( )A. 2 023 B. 2 024C. 2 025 D. 2 026
1.定理：n 边形的内角和等于( n － 2 ) ·180°( n ≥ 3) .
特别解读1. 由 n 边形的内角和公式( n － 2 ) × 180° 可知 n 边形的内角和一定是 180° 的整数倍 .2. 多边形的内角和随边数的变化而变化， 边数每增加 1，内角和就增加 180° .
如图 9.2-1，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与边 DE平行，求∠ BCA 的度数 .
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数 .
2-1. [ 中考· 邵阳 ] 如图， 在四边形 ABCD中， AD ⊥ AB， ∠ C=110°， 它的一个外角∠ ADE=60°， 则 ∠ B的大小是_________ .
根据下列条件求多边形的边数：(1)多边形的内角和是 1 620°；(2)正多边形的每个内角均为 120°.
解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解 .
解： 设多边形的边数为 n，根据题意得：(1) ( n － 2 ) · 180 =1 620，解得 n=11. 故这个多边形的边数为 11.
已知内角和，设出边数n，利用内角和公式列出方程求边数n.
(2) ( n － 2 ) ·180=120n，解得 n=6. 故正多边形的边数为 6.
3-1.已知 n 边形的内角和 θ= (n － 2) × 180°.(1)甲同学说， θ 能取360°； 而 乙 同 学 说， θ也 能 取 630°. 甲、 乙 的说法对吗？若对， 求出边数 n. 若不对， 请说明理由 .(2)若n边形变为(n+x)边形， 发现内角和增加了 360°， 用列方程的方法求出 x 的值 .
解：(1)甲的说法对，乙的说法不对．∵n边形的内角和为180°的正整数倍，360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲的说法对，乙的说法不对．360°÷180°＋2＝2＋2＝4，∴甲同学说的边数n是4.(2)依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.
1.定理：多边形的外角和等于 360°.　　多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出来的，n 边形的外角和等于 n×180°－( n－2)×180°=360°.
特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和 .2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关 .
根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于 30°，求这个正多边形的边数 .
解题秘方：根据多边形的外角和定理计算 .
解： (1)设该多边形的边数为 n.根据多边形的外角和为 360°，得 n×72°=360°，解得 n=5．∴该多边形的边数为 5.
(2) ∵多边形的外角和为 360°，而 360°÷30°=12.∴这个正多边形的边数为 12 .
4-1. 如图， ∠ 1， ∠ 2，∠ 3， ∠ 4 是五边形ABCDE 的 4 个外角，若 ∠ A=120°， 则 ∠ 1+∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4= _______°.