华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.3 正方形集体备课课件ppt

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正方形的定义正方形的性质正方形的判定
1. 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2. 特殊四边形定义间的关系：
特别提醒正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
如图19.3-1，在△ ABC 中， ∠ ABC=90 °，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形BEDF 是正方形.
解题秘方：紧扣定义中“四条边都相等，四个角都是直角”进行判定.
证明：∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∠ ABC=90°，∴∠ DEB= ∠ EBF= ∠ BFD=90°.∴四边形BEDF 是矩形.∴∠ DEB= ∠ EBF= ∠ BFD= ∠ FDE=90°，BE=FD，BF=ED.∵ BD 平分∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∴ DE=DF. ∴ DE=DF=BF=BE.∴四边形BEDF 是正方形.
1-1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°，DE 垂直平分AC，DF ⊥ BC.当△ ABC 满足条件_____________________时，四边形DECF 是正方形.(要求：①不再添加任何辅助线；②只需填一个符合要求的条件)
AC＝BC(答案不唯一)
1. 正方形的性质：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴；是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.
2. 特殊四边形的性质间的关系：
特别提醒正方形的特殊性质：(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
如图19.3-2，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F为BC 延长线上一点，CE=CF.
解题秘方：紧扣正方形的边、角性质求解.
(1)求证：△ BCE ≌△ DCF；
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ BC=DC，∠ BCE=90°，∴∠ DCF=90°= ∠ BCE.又∵ CE=CF，∴△ BCE ≌△ DCF().
(2)若∠ BEC=60°，求∠ EFD 的度数.
解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，∴∠ DFC= ∠ BEC=60°.∵ CE=CF，∠ ECF=90°，∴∠ CFE=45°.∴∠ EFD=∠ DFC－ ∠ CFE=60°－45°=15°.
2-1.［中考·随州］如图，在 ABCD 中，点E，F 分别在边AB，CD 上，且四边形BEDF 为正方形．
(1)求证：AE=CF；
证明：∵四边形BEDF为正方形，∴DF＝EB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，∴DC－DF＝AB－EB，∴CF＝AE，即AE＝CF.
(2)已知 ABCD 的面积为20，AB=5，求CF 的长．
解：∵▱ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形，∴5DE＝20，DE＝EB，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB－EB＝5－4＝1，由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
1. 判定方法：(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.
2. 四边形间的关系：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下：
方法点拨判定正方形的常见思路：(1)从边上证明.矩形 正方形；(2)从角上证明.菱形 正方形；(3)从对角线上证明.① 矩形 正方形；② 菱形 正方形；③ 平行四边形 正方形；④ 四边形 正方形.
如图19.3-3，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
解题秘方：紧扣“先确定一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定正方形.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ BC=CD=DA=AB，∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°.又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D，∴△ AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′().∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠ 2= ∠ 3.∴四边形A′B′C′D′为菱形.
∵∠ 1+ ∠ 2=90°，∴∠ 1+ ∠ 3=90°.∴∠ D′A′B′=180°－(∠ 1+ ∠ 3)=90°.∴四边形A′B′C′D′为正方形.
3-1. 如图， 在四边形ABCD 中，AB=BC，对角线BD 平分∠ ABC，P 是BD 上一点， 过点P 作PM ⊥ AD，PN ⊥ CD，垂足分别为M，N.
(1)求证： ∠ ADB=∠ CDB；
(2)若∠ ADC=90°，求证： 四边形MPND是正方形.
证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∴易得PM＝MD.∴四边形MPND是正方形．