2023年宁夏固原市原州区五原中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年宁夏固原市原州区五原中学中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某年宁夏地区生产总值为亿元，亿元用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3.  如图中几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  某中学足球队的名队员的年龄如表所示：

这名队员年龄的众数和中位数分别是(    )

A.  岁， 岁 B.  岁， 岁 C.  岁， 岁 D. 岁， 岁

6.  如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为元，小妮在该店买了本练习本和支水笔，共花了元．如果设练习本每本为元，水笔每支为元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点过点作于点，若，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解        ．

10.  从，，，，，，这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为______．

11.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．

12.  如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，，，则的度数为______ ．

13.  如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对角线的长分别是和，反比例函数的图象经过点，则的值为______．

14.  如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的长为______．

15.  如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度为米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度为______米结果保留根号．

 

16.  在我国古算书周髀算经中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，则，，，，，都在矩形的边上，那么矩形的面积为______．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点，，均为网格线的交点．
在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，得到线段点，的对应点分别为，，画出线段；
将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；
以，，，为顶点的四边形的面积是______个平方单位．

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示．

19.  本小题分
下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．

第一步；
第二步；
第三步；
第四步．
任务一：填空
以上化简步骤中，第______ 步是通分，通分的依据是______ ；
第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．

20.  本小题分
某公司计划购买，两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同．
求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？

21.  本小题分
如图，矩形中，，，点、分别在边、上．
若，求证：四边形是平行四边形．
若四边形是菱形，求菱形的边长．

22.  本小题分
某学校对学生家庭月生活支出情况进行统计并绘制成如下统计图表：

请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
图表中的 ______ ， ______ ；
请估计该校高一年级名住校学生今年月份生活支出低于元的学生人数；
现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认初一有，，三名学生家庭困难，其中，为女生，为男生李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从，，三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法或树状图法求恰好抽到，两名女生的概率．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、．
求证：是的切线；
若，，求的长度．结果保留
 

24.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象相交，两点，连接，．
求和的值；
求的面积；
若点是轴上一点，且，写出点的坐标．

25.  本小题分
北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度：即

求：点的坐标；
该抛物线的函数表达式；
求起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．精确到米
参考数据：
 

26.  本小题分
如图，在中，，米，米点在线段上，从向运动，速度为米秒；同时点在线段上，从向运动，速度为米秒运动时间为秒．
当为何值时，？
当为何值时，的面积最大？并求出这个最大值；
当为何值时，与相似？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得
，
最小，
故选：．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个组合体的主视图如图所示：

故选：．
画出该组合体的主视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是得出正确答案的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

因为，，
所以，
因为，
所以，
故选：．
依据，，即可得到，再根据，即可得出，进而得解．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表可知岁出现次数最多，
所以众数为岁，
因为共有名队员，
所以中位数是第、个数据的平均数，即中位数为岁，
故选：．
首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这名队员年龄的众数；然后根据这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，判断出这名队员年龄的中位数是多少即可．
本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了翻折变换折叠问题，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，
，
在中，，
解得．
即．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的个等量关系是解决本题的关键．
等量关系为：一本练习本和一支水笔的单价合计为元；本练习本的总价支水笔的总价，把相关数值代入即可．
【解答】
解：设练习本每本为元，水笔每支为元，
根据一本练习本和一支水笔的单价合计为元可得方程为，
根据买本练习本和支水笔，共花了元可得方程为，
所以列方程组为：，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，
的平分线交于点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故图中阴影部分的面积为：．
故选：．
利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
此题主要考查了扇形面积的计算，角平分线的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，正确得出的长是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键．从个数中，找出负整数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：在，，，，，，这七个数中，为负整数的有，，共个数，
则恰好为负整数的概率为；
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
解得．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线是的切线，为切点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，所以，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线的长分别是和，
或，
点在反比例函数的图象上，
或，
解得．
故答案为：．
先根据菱形的性质求出点坐标，再把点坐标代入反比例函数的解析式即可得出的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．由旋转的性质得到，，再由，等量代换得到，即三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，即为的长．
【解答】
解：由旋转得：，，，
，
，即为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：，
则，
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】解：由于，
，
在中，

米，
在中，
米．


米
故答案为：
在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长．
本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含的式子表示出和．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点，
则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
≌，
，
同理：≌，
，
，
矩形是正方形，
边长，
，，
矩形的面积为．
延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，线段即为所求；
如图所示，线段即为所求；

． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用位似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，即可画出线段；
将线段绕点逆时针旋转得到线段，即可画出线段；
连接，即可得到四边形为正方形，进而得出其面积．
【解答】
解：见答案；
见答案；
由图可得，四边形为正方形，
四边形的面积是．
故答案为．  

18.【答案】解：，
由得；
由得．
所以原不等式组的解集为．
在数轴上表示这个解集如图所示：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】一  分式的基本性质  一  分母没有乘 

【解析】解：任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：一，分式的基本性质；
第一步开始出现错误，错误的原因是分母没有乘．
故答案为：一，分母没有乘；
任务二：


．
根据分式的通分的定义进行判定即可得出答案；
应用分式的混合运算顺序和余数法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，以及通分的方法进行求解是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：设型机器人每小时搬运千克材料，则型机器人每小时搬运千克材料，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
当时，．
答：型机器人每小时搬运千克材料，型机器人每小时搬运千克材料；

设购进型机器人台，则购进型机器人台，
根据题意，得，
解得．
是整数，
．
答：至少购进型机器人台． 

【解析】本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
设型机器人每小时搬运千克材料，则型机器人每小时搬运千克材料，根据型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
设购进型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式并解答．
 

21.【答案】解；四边形为矩形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
四边形是菱形，
，
设，
则，，
则，
化简有，
解得：，
将代入原方程检验可得等式两边相等，
即为方程的解．
则菱形的边长为：． 

【解析】首先根据矩形的性质可得平行且等于，然后根据，可得平行且等于，即可证明四边形是平行四边形；
根据四边形是菱形，可得，然后设，表示出，的长度，根据相等求出的值，继而可求得菱形的边长及周长．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．
 

22.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
，，
故答案为：，；
人，
答：估计该校高一年级名住校学生今年月份生活支出低于元的学生人数为；
画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中恰好抽到，两名女生的结果数为，
所以恰好抽到、两名女生的概率．
由第一组的频数及其频率可得总人数，再根据频率频数总数可得、的值；
用总人数乘以样本中第一、二组频率之和即可得；
画树状图得出所有等可能结果，然后根据概率公式计算即可得解．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．也考查了列表法与树状图法求概率．
 

23.【答案】解：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；

如图，作于点，连接，
则，，
四边形是矩形，
，，
，，
∽，
，即，
，
在中，，
在中，，
，
，
则的长度为． 

【解析】连接，由知，由平分知，据此可得，继而知，根据即可得证；
作，知，证四边形是矩形得，再证∽得，据此得出的长及的度数，利用弧长公式可得答案．
本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．
 

24.【答案】解：点在直线上，
，
解得，
，
反比例函数的图象也经过点，
，
解得；
答：和的值为、．
设直线分别与轴、轴相交于点、点，

当时，，
，
点在直线上，
，即，
．
，
，即，
，
点的坐标为或． 

【解析】根据直线和双曲线的交点坐标即可求解；
根据直线与轴和轴的交点即可求解；
利用三角形面积公式求得，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：，且点在轴正半轴，
．
抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
过抛物线，
，解得．
抛物线的解析式为：．
在中，，，
由勾股定理可得，，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
．
．
的长约为米． 

【解析】由抛物线的图象可直接得出结论；
由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点的坐标代入即可得出结论；
根据勾股定理可得出和的长，进而得出点的坐标，由的长为点的横坐标减去的长可得出结论．
本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点的坐标是解题关键．
 

26.【答案】解：从向运动，速度为米秒；同时点在线段上，从向运动，速度为米秒．运动时间为秒．
，，
，
，
，
解得：，
当为时，．

在中，
，
米，
如图，作于，

，
是公共角，
∽，
，
即：，
，
，
当时，最大值平方米；

分两种情况讨论：
如图，∽，


则有，即，
解得：，
符合题意；
如图，∽，

则，即，
解得：，符合题意；
综上所述，当或时，与相似． 

【解析】用表示出和的值，根据，得到关于的方程求得值即可；
作于，证得∽，从而得到比例式，然后用表示出，从而计算其面积得到有关的二次函数求最值即可；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解．