7.2.1点线面的位置关系（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第七章 空间向量与立体几何

7.2.1点线面的位置关系（题型战法）

知识梳理

一 点线面的位置关系

1.点与直线的位置关系：点在直线上，记作；点在直线外，记作：；

2.点与平面的位置关系：点在平面内，记作；点在平面外，记作：；

3.直线与平面的位置关系：直线在平面上，记作；直线不在平面上，记作：。

二 直线、平面平行的判定与性质

1.线面平行的判定定理

若，，，则

2.线面平行的性质定理

若，，，则

3.面面平行的判定定理

若，，，，则

推论：，，，，，则

4.面面平行的性质定理

 ①若，，则。②若，，，则

三 直线、平面垂直的判定与性质

1.线面垂直的判定定理

若，，，，，则

2.线面垂直的性质定理

①若，，则   ②若，，则

3.面面垂直的判定定理

若，，则

4.面面垂直的性质定理

若，，，，则

题型战法

题型战法一 点线面的位置关系

典例1．已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

变式1-1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（       ）

A． B．

C． D．，

变式1-2．设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，下列选项中可以判定“的是（       ）

A．且 B．且

C．且 D．且

变式1-3．已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（       ）

A．若，，则a与相交 B．若，，，则

C．若，，，则a⊥b D．若，，，则a⊥b

变式1-4．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（       ）

A．若∥，∥，则∥

B．若，，则

C．若，∥，且，则

D．若，，且，则

题型战法二 线面平行的判定

典例2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，若、分别为、的中点，求证：侧面.

变式2-1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面

变式2-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.

变式2-3．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点．

证明：平面；

变式2-4．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.

题型战法三 面面平行的判定

典例3．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．

变式3-1．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：

(1)平面PCD；

(2)平面平面PBC．

变式3-2．如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．

变式3-3．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF

变式3-4．如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.

题型战法四 线面平行的性质

典例4．如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.

变式4-1．如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，求证：直线直线.

变式4-2．如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：

变式4-3．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值

变式4-4．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．若平面，求的值；

题型战法五 面面平行的性质

典例5．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面

变式5-1．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．

变式5-2．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

变式5-3．如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面且E，F分别为，的中点．证明：面ABCD；

变式5-4．如图，已知平面α平面β，若点P在平面α，β之间(如图所示)，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α､β分别交于A､C，过点P的直线n与α､β分别交于B､D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长

题型战法六 线面垂直的判定

典例6．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC；

变式6-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.

(1)若F为PA的中点，求证平面PCD

(2)求证平面PCD.

变式6-2．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面．

变式6-3．如图四棱锥中，底面，四边形中，，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：面.

变式6-4．如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．证明：平面；

题型战法七 面面垂直的判定

典例7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．

求证：平面平面；

变式7-1．如图，四面体中，，E为的中点．证明：平面平面

变式7-2．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面.

变式7-3．如图，四面体中，E是的中点，点F在上，平面，平面与平面的交线为l，，，证明：

(1)；

(2)平面平面.

变式7-4．如图所示，直三棱柱中，为中点．

(1)求证：平面；

(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．

题型战法八 线面垂直的性质

典例8．如图，在直三棱柱中，E为的中点，且．

证明：.

变式8-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为 的中点且．

证明：.

变式8-2．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．证明：.

变式8-3．如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．

(1)求证：；

(2)若点为上的中点，证明平面．

变式8-4．如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=90°，AB=BC，E，F分别为AC，PC的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：AC⊥BF.

题型战法九 面面垂直的性质

典例9．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面

变式9-1．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；

变式9-2．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：.

变式9-3．如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.

变式9-4．如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，．

证明：平面平面；