10.2.1二项式定理（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.1二项式定理（题型战法）知识梳理一 二项式定理的基本概念（1）二项式展开式有            （2）二项式系数：    （3）项的系数：包括符号和前面的常数  （4）通项：二 二项式定理的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即（2）当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小。（3）二项式系数的最大值当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值；当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为或。（4）各二项式系数的和的展开式的各二项式系数的和等于，即；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为。（5）各项系数的问题，则各项系数之和为。奇数项系数之和；偶数项系数之和。  题型战法题型战法一 求指定项的二项式系数与系数典例1．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ）A．20 B． C．15 D．【答案】A【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可.【详解】解：第4项的二项式系数为.故选:A变式1-1．的展开式中含项的二项式系数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.【详解】的展开式的通项为：，令可得，所以含项的二项式系数为，故选：D.变式1-2．的展开式中的系数为（    ）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.【详解】二项式展开式的通式为，由，得r＝2，此时即的展开式中的系数为40故选：C变式1-3．展开式的常数项为（    ）A．120 B．60 C．30 D．15【答案】B【分析】根据二项式展开公式得=，令，解出的值，代入计算即可.【详解】解：因为==，令，解得,所以常数项为=60.故选：B.变式1-4．的展开式中所有有理项的系数和为（    ）A．85 B．29 C． D．【答案】C【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.【详解】展开式的通项为：，其中，当时为有理项，故有理项系数和为，故选：C. 题型战法二 已知二项式系数与系数求参数典例2．已知的展开式中的系数为60，则正整数n＝（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】求出展开式的通项，令的指数等于2，再结合已知即可得出答案.【详解】解：的展开式的通项为，令，则的系数为，即，解得（舍去）.故选：C.变式2-1．若展开式中项的系数是8，则实数的值是（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接求出含的项，再由项的系数是8解方程即可求出.【详解】由题意知：含的项为，又项的系数是8，则，解得.故选：D.变式2-2．若二项式的展开式中的系数是-80，则实数(    )A．-80 B．80 C．-2 D．2【答案】C【分析】求出二项展开式的通项，令x的次数为5求出对应r的值，再根据的系数是-80即可求出a的值．【详解】的展开式的通项为，令，解得．的展开式中的系数是，，解得．故选：C．变式2-3．的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】首先写出展开式的通项，令，求出，即可求出展开式的常数项，从而求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为，解得，令，解得，所以展开式中项为，当时项的系数为，当时项的系数为.故选：C变式2-4．若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】根据题意可得，利用组合数的性质，求得n的值，即得答案.【详解】由已知二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，即这两项的二项式系数相同，可得，所以，故选：A． 题型战法三 二项式系数与系数的增减性与最值典例3．在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n值不可能是（  ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，即第四项和第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，即第五项和第六项的二项式系数最大.当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.故选：D．变式3-1．展开式中二项式系数最大的项是（    ）A． B．C．和 D．和【答案】C【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得结果.【详解】展开式中二项式系数最大的项为，.故选：C.变式3-2．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ）A．160 B．60 C． D．【答案】B【分析】先求出的值，可得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】解：二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，，则展开式中的通项公式为，令，解得，故展开式中的常数项为.故选：B．变式3-3．的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根据可知二项式系数最大值为，再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．故选：A．变式3-4．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】C【分析】显然二项式在第或第项处取得系数最大，再结合对应符号，即可得解.【详解】由二项式的特点可知，系数最大的项在中间项处取得，第项的系数为，第项的系数为，故第项的系数最大.故选：C 题型战法四 二项式系数之和、各项系数之和典例4．已知展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是（    ）A．84 B．－84 C．126 D．－126【答案】B【分析】首先根据题意得到，再利用求解即可.【详解】由题知：，解得，因为，，令，解得.所以.故选：B变式4-1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，所以，令得展开式中各项系数的和为．故选：A变式4-2．若，则的值是（ 　 ）A． B．127 C．128 D．129【答案】D【分析】利用赋值法计算可得.【详解】解：因为，令，可得，令，可得，所以；故选：D变式4-3．若，则（    ）A．6562 B．3281 C．3280 D．6560【答案】B【分析】分别令和再联立求解即可【详解】令有，令有，故故选：B变式4-4．对任意实数，有，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断B；令，可得，即可判断A；令，可得，即可判断C，令，可得，即可判断D.【详解】解：对任意实数，有 ，所以，故B正确；令，可得，故A错误；令，可得，则，故C错误；令，可得，故D错误.故选：B. 题型战法五 三项展开式的系数问题典例5．在的展开式中，含的项的系数为（    ）A．-120 B．-40 C．-30 D．200【答案】C【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.【详解】，其展开式为：根据题意可得：当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为综上所述：含的项的系数为故选：C．变式5-1．的展开式中，的系数为（    ）A．51 B．50 C．－51 D．－50【答案】C【分析】根据三项的二项式展开的通项，令，即可求出的值，进而可求解.【详解】的展开式通项为：，且，令，则，或者，或者；故的系数为：，故选：C变式5-2．的展开式中常数项为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，计算得解.【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为．故选：B.变式5-3．在的展开式中含和含的项的系数之和为（    ）A． B． C． D．1485【答案】A【分析】由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案.【详解】解：，则的系数为1，的系数为，所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．故选：A．变式5-4．在的二项展开式中含项的系数为（    ）A．20 B．21 C．18 D．16【答案】B【分析】把看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由的指数为4求得、的值，即可得出结果.【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为．由，得，，，或，在的展开式中，含项的系数为．故选：B． 题型战法六 两个二项式乘积展开式的系数问题典例6．的展开式中的系数为（    ）A．40 B．80 C． D．【答案】A【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.【详解】，所以展开式中的系数为.故选：A变式6-1．展开式中的系数为（    ）A．15 B．20 C．30 D．0【答案】D【分析】从项的生成分两种情况讨论得解.【详解】展开式中，若提供系数1，则提供含有的项，可得展开式中的系数为；若提供，则提供含有的项，可得展开式中的系数为；所以展开式中的系数为.故选：D【点睛】方法点睛：求两个二项式的乘积的展开式的某一项的系数，一般可以从这一项的生成分类讨论，结合二项式展开的通项求解.变式6-2．的展开式中项的系数为A．30 B．35 C．20 D．25【答案】D【解析】根据二项式定理展开计算、化简即可.【详解】解：展开式中项为：.故选：D.变式6-3．展开式中项的系数为160，则（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.【详解】二项式展开式的通项为，令可得二项式展开式中的系数为，∴展开式中的系数为，可得，解得，故选：C．变式6-4．展开式中的常数项为（    ）A．11 B．19 C．23 D．【答案】C【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中的常数项．【详解】，展开式中的常数为，故选：C． 题型战法七 整除与余数问题、近似值问题典例7．被5除的余数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用二项式的展开式进行求解.【详解】由题可知，，则其展开式的通项公式为，由通项公式可得，只有时，即不能被5整除，其余项均能被5整除.故被5除的余数为1.故选：A.变式7-1．已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（    ）A．1 B．12 C．7 D．27【答案】D【分析】根据二项式展开式，即可求解.【详解】，故若恰能被14整除，只需要能14整除即可，所以m的取值可以是：-1，13，27等故选：D变式7-2．设，则a除以9所得的余数为 （    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用二项式定理进行求解即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以a除以9所得的余数为，故选：D变式7-3．的近似值（精确到0.01）为（    ）A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20【答案】B【解析】展开后按近似要求求解．【详解】.故选：B．【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理进行近似计算，掌握二项式定理是解题关键．变式7-4．估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【分析】利用二项式定理进行计算．【详解】原式+．故选：A． 题型战法八 杨辉三角典例8．下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（    ）A．120 B．210 C．84 D．36【答案】C【分析】由题意第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数可得答案.【详解】由题意，第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数，所以第10行第7个数是．故选：C.变式8-1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据杨辉三角数的特征，中间数等于上一行肩上两数之和，即可得出结论.【详解】从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以.故选：C.【点睛】本题考查杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题，属于基础题.变式8-2．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察出出“杨辉三角”中的数的特点从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行上方（两肩上）的两个数字的和，从而可得答案.【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为12. 从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，即 所以 故选：D变式8-3．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第与第个数的比值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，由此可求得结果.【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，因此，第行中从左至右第与第个数的比值为.故选：A.变式8-4．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则（    ）A．40 B．50 C．34 D．32【答案】C【分析】第行的第14个和第15个的二项式系数分别为与，利用条件列出方程，即可求得结论.【详解】∵二项式展开式第项的系数为，∴第行的第14个和第15个的二项式系数分别为与，∴，整理得，解得，故选：C.