2022-2023学年湖南省益阳市上学期期末质量检测高二数学（含解析）

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2022-2023学年湖南省益阳市上学期期末质量检测高二数学1.  直线的斜率为(    )A.  B. 1 C.  D. 2.  已知等比数列中，，则(    )A. 8 B. 14 C. 128 D. 2563.  过点且与直线平行的直线方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知抛物线C的方程为，则其焦点坐标为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知两个向量，，若，则m的值为(    )A.  B.  C. 2 D. 46.  在四面体中，，，，M，N分别为AB，OC的中点，则(    )A.  B.
C.  D. 7.  如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成角为，则P点坐标满足(    )
 A.  B.
C.  D. 8.  已知实数，，，满足，，，记，则w的最大值是(    )A. 3 B.  C. 6 D. 9.  已知直线，其中m为实常数，则(    )A. 直线l过一定点
B. 无论m取何值，直线l不经过原点
C. 当时，直线l与y轴交于它的负半轴
D. 当时，直线l与坐标轴围成的三角形的面积是10.  已知两个等差数列，的前n项和分别为和，且，则使得为整数的k的取值可以是(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 111.  已知正方体的边长为1，E是棱的中点，则(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知点P为双曲线的右支上一点，、为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为A、B，O为坐标原点，则(    )A. 为定值
B.
C. 若是直角三角形时，的周长是
D. 若是正三角形时，13.  已知两个向量，，则__________.14.  双曲线的离心率，则__________.15.  我们知道，平行于抛物线对称轴的光线不与对称轴重合经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行。如右图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，则此抛物线的标准方程为__________.16.  在长方体中，，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点含边界，且直线，EF与平面所成角的大小相等，则线段长度的取值范围为__________.17.  已知等差数列的前n项和为，且，求数列的通项公式;若数列满足，求数列的前n项和18.  已知点和直线若直线经过点P，且，求直线的方程;若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程.19.  如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线l与圆交于A，B两个不同的点，过原点且垂直于l的直线m与圆的一个交点为不与原点重合求直线l的斜率k的取值范围;若线段AB的中点为Q，且，求直线l的方程.20.  已知数列满足，且求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式;求数列的前n项和21.  如图甲，在矩形ABCD中，，E为线段DC的中点，将沿直线AE折起，使得平面平面ABCE，如图乙.求证：平面线段AB上是否存在一点H，使得二面角的余弦值为若存在，请确定H点的位置;若不存在，说明理由.22.  已知椭圆过点，离心率为，经过圆上一动点P作两条直线，它们分别与椭圆E恰有一个公共点，公共点分别记为A、求椭圆E的标准方程;求证：求面积的最大值.
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查直线的斜率，化方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题．
化方程为斜截式，由斜截式的特点可得．【解答】解：化直线的方程为斜截式可得：，
由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：  2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，属基础题.【解答】解：已知等比数列中，，则  3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查待定系数法求直线方程，属于基础题.【解答】解：所求直线与直线平行，
设所求直线的方程为，
直线经过点，
，解得：，
故所求直线的方程为  4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．【解答】解：抛物线方程为，
抛物线的焦点在y轴的负半轴，，
抛物线的焦点坐标为
故选：  5.【答案】D 【解析】【分析】本题考查空间向量共线的坐标表示，属基础题.【解答】解：，
存在实数k使得，
，
解得，，
故选  6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.【解答】解：，N分别为AB，OC的中点，
，
   7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标运算以及线面夹角问题，属于中档题.【解答】解：由题意可知P点纵坐标，过P作平面ABC的垂线交平面ABC于点D，易知四边形为矩形，，所以在直角三角形中，由，可知，又，所以，故选  8.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查圆的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属难题.【解答】解：由题意，，
设，，
则M，N在以原点为圆心，为半径的圆上，
由得
设点M，N到直线的距离之和为z，
则
则本题可转化为求z的最大值.
设点P为点M与点N的中点，则
故P点轨迹方程为圆
设P点到直线的距离为d，
则，圆上点到直线距离的最大值
所以w的最大值是  9.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，直线得一般式方程，截距等，属于基础题.【解答】解：直线，
令，得，即直线过定点，故A对；
若直线过原点，则有，显然不成立，所以无论m取何值，直线l不经过原点，故B对；
当时，直线方程为，令，则，即直线l与y轴交于它的正半轴，故C错；
当时，直线方程为，则直线与x轴、y轴的交点坐标分别是，，得直线l与坐标轴围成的三角形的面积是，故D对.  10.【答案】ACD 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用，属于中档题.【解答】解：由等差数列的前 n项和公式可得



要使得为整数，需为整数，需为整数，故k可能为1，2，4，不可能为3，
故选  11.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查空间向量的运算，属中档题.【解答】解：由，则不正确；
，故；
；
，，故选  12.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，双曲线的标准方程，点到直线的距离公式，圆的几何性质等，属于综合题.【解答】解：由，，则O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，
由双曲线，可设：，：，则，
设，满足，
则，
由点到直线的距离的公式可得，
同理可得，
所以
，故A对.
因为O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，设OP、AB的中点为H、M，连接HA，HB，则，在直角中，，
又，，
所以 ，即，故B对；
若是直角三角形，则点A或点B与原点O重合，
设点A与原点O重合，，，
在直角中，设，则，，
又，，得，
所以的周长是，当点B与原点O重合时结果相同，故C对；
当是正三角形时，，得，
在等腰中，边AB上的高，，
此时，点P 为双曲线的右顶点.故D错.
   13.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.【解答】解：，  14.【答案】12 【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属基础题.【解答】解：由题意得，故  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，属于综合题.【解答】解：设抛物线的方程为，入射光线、第二次反射光线与抛物线的交点分别为P、Q，
因为入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，且一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点.所以入射光线为，第二次反射光线为，第一次反射光线过焦点且垂直于抛物线的对称轴，
联立抛物线与直线方程可得到坐标，，得，得，
所以抛物线方程为  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，属于较难题.【解答】 解：如图1所示，连接，作交AD于G，连接因为平面，所以为与平面所成的角．因为平面，所以为EF与平面所成的角．因为，EF与平面所成角的大小相等，所以，则，又因为，所以，则点F在的中垂线上，即点F在线段上运动，如图
 因为，，E为棱BC上靠近C的三等分点，
所以，
则，
因为，所以，
又，可得，，，，
当点F在点I处时，线段的长度取到最大值，最大值为，
当点F在点K处，线段的长度取到最小值，最小值为，
所以线段的长度的取值范围为   17.【答案】解：设等差数列的公差为d，则
解得：，，所以，
所以，数列的通项公式为
由知，则，
所以， 【解析】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列前n项和公式，属基础题.
 18.【答案】解：由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为
又直线经过点，所以直线的方程为：，
即
点P到直线l的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾;
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得
所以直线的方程为： 【解析】本题考查点斜式方程，点到直线的距离，两直线垂直时的斜率关系，属于基础题.
 19.【答案】解：依题意可设直线l的方程为，
直线l与圆M两个不同的交点，，
解得，
直线l的斜率k的取值范围是
设M到直线l的距离为，N到直线m的距离为，
则，
所以，
解得：，直线l的方程为 【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系的综合应用，属于中档题
 20.【答案】解：证明：，，
即，又，数列是等差数列，
由上可知，公差，其首项，
，解得
，①
，②
①-②，得
，
 【解析】本题考查数列的递推公式，等差数列，利用错位相减法求和，属中档题.
 21.【答案】解：证明：取线段AE的中点O，连接DO，

在中，，，，
，又平面平面ABCE，
平面平面，
平面ABCE，又平面ABCE，
又，，则，，
又，平面

过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，平面AEH的法向量，
设，则，，
设平面DEH的法向量为，

令，则，，
由题意可知二面角为锐二面角，

所以，，解之得：，或舍，
所以，点 H是线段AB的靠近B点的三等分点. 【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于综合题.
 22.【答案】解：由椭圆E的离心率，，，又椭圆E过点，
，解得，则，故椭圆E的标准方程为
设P点坐标为依题意PA、PB的斜率不能同时不存在或同为
①若PA、PB中的斜率有一个不存在时的斜率有一个不存在时，另一个为0，若有一个
为0时，则另一个不存在，不妨设PB的斜率不存在，则直线PB的方程为，，
则另一条直线PA的方程为，此时
②若PA、PB斜率存在且不为0时，设过P点的方程为，代入方程
得：，，
整理得：且，又，
，方程的两个根即为PA、PB的斜率，
，即
综上：
同设及，，
①当或时，
②当时，PA，PB斜率存在且不为0，设PA方程为：，
联立椭圆E消去y并整理得：，
，
化简得：，解得：，又，
故，直线PA的方程为：，即，
同理可得PB的方程为：又在直线PA、PB上，
则直线AB的方程为：
由，消去y整理可得：，
又，所以，，
，

又点O到直线AB的距离，

，
，且，或，或，
故
综上可知，面积的最大值为 【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆与直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程与椭圆的方程，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．