2022-2023学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C.  D.

2.  已知集合，则(    )

A.  B.
C.  D. ，

3.  已知函数，角终边经过与图象的交点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “”是“”的(    )

A. 充分必要条件 B. 充分条件
C. 必要条件 D. 既不充分又不必要条件

5.  设，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱、等边哥特拱、弓形拱、马蹄拱、二心内心拱、四心拱、土耳其拱、波斯拱等如图，分别以点和为圆心，以线段为半径作圆弧，交于点，等边哥特拱是由线段，，所围成的图形若，则该拱券的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若函数在区间内仅有个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，，，都是正数，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若函数在一个周期内的图象如图所示，则(    )

A. 的最小正周期为
B. 的增区间是
C.
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的图象

11.  已知函数，则下列命题正确的是(    )

A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上存在零点
C. 当时，
D. 若，则

12.  悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形在工程中有广泛的应用，例如县索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理当微积分尚末出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线直到年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数这样，数学上又多了一对与有关的著名函数双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数则(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数的定义域为        ．

14.  已知，则的值为        ．

15.  已知正数，满足，则的最小值为        ．

16.  已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知，且求下列各式的值：
：
．

19.  本小题分
已知函数，．
求函数的值域；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

20.  本小题分
“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为台．
求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．

21.  本小题分
已知函数的图象与轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴．
求函数的解析式；
若函数在区间上恰有个零点，，，请直接写出的取值范围，并求的值．

22.  本小题分
对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，，使，则称函数是由“基函数和”生成的．
若是由“基函数和”生成的，求实数的值；
试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且．
求函数的解析式；
已知，，，，对于区间上的任意值，，，，若恒成立，求实数的最小值注：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是：，．
故选：．
利用全称命题的否定是特称命题进行否定即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
 

2.【答案】 

【解析】解：集合，
集合，
则，由并集的运算可知：．
故选：．
利用一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合，，然后利用集合的运算即可求解．
本题主要考查并集的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为幂函数和图象的交点为，
所以角的终边经过交点，
所以．
故选：．
根据幂函数的性质求出两函数图象的交点坐标，结合任意角的三角函数的定义即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据，可得或，所以充分性不成立；
因为可以推出成立，所以必要性成立，
可得“”是“”的必要条件，
故选：．
根据可得到或，进而利用充分条件和必要条件的判断即可求解．
本题考查充要条件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
所以，，
所以．
故选：．
根据指数函数的单调性可得，根据对数运算性质和对数函数的单调性可得，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设的长为，
，
，
扇形的面积为，的面积为，
该拱券的面积为．
故选：．
求出扇形的面积和三角形的面积即得解．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
首先根据不等式的解集，利用韦达定理得到，，的关系，再代入求解不等式的解集．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，解得，
得函数的个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，解得，，
当时，，解得．
故选：．
求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可．
本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，因为，，
所以，，则，所以，故选项A正确；
对于，，因为，，所以，，
的符号不确定，故选项B错误；
对于，因为，，，都是正数，且，，所以，故选项C正确；
对于，，
因为，，，都是正数，且，，所以，，则
所以，则，故选项D正确，
故选：．
根据不等式的性质判断选项C，利用作差法判断选项A，，．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：函数的最大值为，
则，
，解得，
则由三角函数的周期公式可知，，
又函数图象过点，
，则，
，
又，
，
函数解析式为，
对于，函数的最小正周期，故A正确；
对于，，令，解得，
函数的增区间是，故B正确；
对于，函数的最小正周期，
，，
，故C错误；
对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到，故D正确．
故选：．
结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：：函数的定义域为，关于原点对称，，，，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误；
：，
有，又函数是连续的，
由零点的存在性定理，得函数在上存在零点，故B正确；
：如图，

当时，，
函数，且在上单调递减，且，
当时，，即，故C正确；
：，
当时，，故D错误．
故选：．
根据函数的奇偶性判断；根据零点的存在性定理判断；结合图形，根据函数的单调性判断；根据赋值法判断．
本题主要考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：：，故A错误；
：，故B正确；
：，，即，故C正确；
：，
由得，即，故D正确．
故选：．
根据新定义，直接运算即可判断，根据即可判断，结合同底数幂的乘法法则，利用作差法即可判断．
本题考查了双曲函数的定义，考查转化思想，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
根据对数函数与分式、根式的性质求解即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
则，
又因为，
所以，
所以．
故答案为：．
根据角与互补，角与的关系，再结合诱导公式即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，，
所以，
当，即，即，时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
首先将条件变形为，再利用“”的妙用，结合基本不等式求的最小值．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为．
故答案为：．
利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解．
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为当时，，，
所以．
因为，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以，；
综上，实数的取值范围为． 

【解析】先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；
先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解．
本题主要考查集合的交集和并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为且，
所以，
则，
所以；
． 

【解析】根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出，进一步得到，将式子弦化切即可求解；
利用诱导公式将式子化简为，结合即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：令，因为，所以，
从而，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
所以函数的值域为．
因为函数的定义域为，所以，解得．
因为，
所以当时，恒成立等价于在上恒成立，即，即可．
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为，即，
故实数的取值范围为． 

【解析】利用换元法注意新元的范围及二次函数的性质即可求解；
根据对数的运算性质及对数不等式的解法，将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题，结合基本不等式即可求解．
本题考查函数值域以及不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
当时，，
当时，，
综上所述，；
由得，
当时，，
当时，万元．
当时，万元，当且仅当，即时等号成立，
又，
故当年产量为百台时，公司获利最大，且最大利润为万元． 

【解析】根据利润、成本、收入之间的关系，分类讨论，即可得出答案；
当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，比较大小，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为得函数周期为，
，直线是函数图象的一条对称轴，
，，，
，；
由得，，令，，
函数在区间上恰有个零点，，，
转化为函数与在上恰有个不同的交点，
作出函数与的图象，如图所示：

由图象可知当时，函数与在上恰有个不同的交点，
故实数的取值范围为；
设函数与在上恰有个不同的交点的横坐标分别为，，，
由图象可得，，则
，
则． 

【解析】由函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，可得函数的周期，求得进而根据直线是函数图象的一条对称轴，求得函数的表达式；得，令，，题意转化为函数与在上恰有个不同的交点的问题，数形结合即可得．
本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想和整体思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：由已知，可得，
则，则，解得，
所以实数的值为．
设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为．
由知．
在内任取，，且，
则，
因为，，
所以，，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数．
设，，，，，，，
则，，
所以，
当且仅当或时，有最大值，
故的最小值为． 

【解析】根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；
设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出，的值，进而求出函数的解析式；
利用定义证明函数的单调性，将式子化简为，然后根据条件求解即可．
本题以新定义为载体，考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．