2023年河南中考数学模拟试卷分类汇编：圆

这是一份2023年河南中考数学模拟试卷分类汇编：圆，共37页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南中考数学模拟试卷分类汇编：圆
一、填空题
1．（2023年河南省郑州外国语中考一模数学试题）如图所示，将扇形沿方向平移得对应扇形，线段交于点F，当时平移停止．若，，则阴影部分的面积为___________．

2．（河南省驻马店市第二初级中学2023年九年级数学模考试题）如图，中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点.则阴影部分面积为 （结果保留）.

3．（2023年河南省实验中学中考三模数学试题）如图，在矩形中，，，以为圆心，以长为半径画弧，以为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点处，则阴影部分的面积为______．

4．（河南省南阳市第二中学校等两校2023年中考数学一模试卷）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点为点D．若，则图中阴影部分的面积为 ．

5．（2023年河南省洛阳市东方第二中学中考二模数学试题）矩形中,,以A为圆心,为半径作圆弧交于点M,且M为边的中点,以为直径的圆交弧于点E,则阴影部分面积____________．

6．（2023年河南省开封市河南大学附属中学中考二模数学试题）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，弧交于点C．若，则阴影部分的面积为_______．

7．（2023年河南省郑州市第八中学中考二模数学试题）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 __________．

8．（河南省新乡市2023年中考二模数学试题）如图，是边长为1的等边三角形，曲线…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为A，半径为……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是________．（结果保留）

9．（2023年河南省郑州外国语中学中考二模数学试题）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中弧的长度为________．

10．（2023年河南省三门峡市中考一模数学试题）如图，为半圆的直径，，将半圆沿直线向右平移使圆心与点重合得到半圆B，与相交于点，则图中阴影部分的面积是__________________________．

11．（2023年河南省安阳市中考二模数学试题）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是______cm2．
  
12．（2023年河南省许昌市中考二模数学试题）如图，在扇形中，，点C为的中点，点D为的中点，连接，交于点E，若，则阴影部分的面积是______．
  
二、解答题
13．（河南省南阳市第二中学校等两校2023年中考数学一模试卷）如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在中，，以为直径的交BC于点D，过点D作于点E，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段的长．
14．（2023年河南省许昌市中考二模数学试题）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线，交的延长线于点P，点F在上，连接．易证命题：“若是的切线，则”是真命题．
  
(1)请写出该命题的逆命题是______；
(2)判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为4，，且，求AC的长．
15．（2023年河南省郑州外国语中考一模数学试题）如图所示，在平面直角坐标系中，P是轴x正半轴上一点，半圆（⊙P的一部分）与x轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程的两根．

(1)求⊙P的半径；
(2)过点O作半圆的切线，并证明所作直线为⊙P切线；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
(3)直接写出切点Q的坐标．
16．（河南省驻马店市第二初级中学2023年九年级数学模考试题）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．

请解答下列问题，
(1)求证：．
(2)请求出水槽AP的长度．
17．（2023年河南省实验中学中考三模数学试题）水车又称孔明车，是中国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，已有1700余年历史．小明对水车进行了研究，如图，水渠与水车相切于点，连接，已知的半径为米，支柱、与水面垂直，支柱的高度为米，点与点之间的距离为米，点，，，，在同一平面内．

(1)求证：．
(2)实践中发现，水渠与支柱的夹角大小为时，水车装置较为牢固稳定，请计算支柱的高度．（结果要求精确到0．1，参考数据：，，）
18．（2023年河南省开封市河南大学附属中学中考二模数学试题）中国5A级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，且，若点P到点C的距离为32m，立式水轮的最低点到水面的距离为2m．连接．

(1)求证：是的切线；
(2)请求出水槽的长度．
19．（2023年河南省安阳市中考二模数学试题）某学校的教学楼选用一些简单大方的几何图案，对楼道拐角处墙壁进行了装饰，如图1就是一个简单案例．
张老师对同学们说：图1中有一些有趣的几何关系．并在图1的基础上设计了如下的数学问题，请你完成作答：
如图2，在中，，点D在边上（不与点C重合），以为直径作，交于点E，连接．
  
(1)尺规作图：作边的垂直平分线l，交于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔）
(2)连接是的切线吗？请说明理由．
20．（河南省驻马店市2023年中考二模数学试题）《义务教育数学课程标准（2022年版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）：
作法一（如图1）：
作法二（如图2）：
1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A；2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B；
3．作直线，则直线是的切线．
1．连接，交于点M，过点M作的垂线；2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；
3．连接，交于点B；
4．作直线，则直线是的切线．


证明：如图1，为直径，，（       ）

是的半径，
∴直线PB是的切线．
证明：……
请仔细阅读，并完成相应的任务．
(1)“作法一”中的“依据”是指_______________．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
21．（2023年河南省洛阳市东方第二中学中考二模数学试题）如图，为的两条半径，直线l与相切于点B．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D．
①求证：；
②若的半径为4，，求的长．
22．（2023年河南省郑州市第八中学中考二模数学试题）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线，使与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）；
②作直线，交于点C；
③以点C为圆心，为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线的上侧）；
④连接，交于点D，则直线即为所求．

(1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形，说明是⊙O切线的理由；
(3)若⊙O半径为2，．依据作图痕迹求的长．
23．（河南省新乡市2023年中考二模数学试题）对心曲柄滑块机构广泛应用于蒸汽机、内燃机、空压机以及各种冲压机器中．如图1是对心曲柄滑块机构的模型示意图，滑块B和曲柄的O端在一条直线上，曲柄绕回转中心O整周转动的过程中，通过连杆使滑块B在直线上往复运动．记直线与交于C，D两点（点D在点C的左侧）．


(1)若曲柄的长度为，连杆的长度为，则滑块B到回转中心O的最小距离为 ，最大距离为 ．（用含a，b的式子表示）
(2)当连杆与相交于点E时，连接，如图2所示．若平分，求证：．
(3)当连杆与相切时，连接，如图3所示．若曲柄的长度为，，求连杆的长．
24．（2023年河南省郑州外国语中学中考二模数学试题）如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，．

(1)求证：为的切线；
(2)作的角平分线，交于点，交于点．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，，求的长．
25．（2023年河南省三门峡市中考一模数学试题）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴过圆外一点作圆的切线
我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是外的一点）：

作法一（如图1）：
1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A；
2．以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B；
3．作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，连接．
由作图可知，
∴，．（依据）
在中，∵，
∴．
∴．
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线．
作法二（如图2）：
1．连接，交于点A，过点A作的垂线；
2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B；
3．连接，交于点C；
4．作直线，则直线是的切线．
证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．










参考答案
1．【答案】
【分析】连接，过点C作，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据求出结果即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点C作，

由平移性质知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出，．
2．【答案】
【分析】根据，可得.
【详解】连接OD,作0F⊥AC

因为，，，
所以,BC=
所以OC=OB=
所以OF=,CF=3
所以CD=6
所以

.
故答案为
3．【答案】
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，即可．
【详解】连接，如下图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．

4．【答案】
【分析】根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半，即可得到扇形圆心角，结合旋转得到等腰三角形即可得到答案；
【详解】解：如图，作于点M，

∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
5．【答案】
【分析】连接、根据即可求值．
【详解】解：如图，连接、，
由题意可得：，，
是等边三角形，
∵，其中，，
，,




，
故答案为：．

6．【答案】
【分析】连接 ，过点C作 ，设 ,则 ，在 中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到 长，利用 计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点C作，

设，
在 中， ，则，
根据平移的性质得： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
故答案为：．
7．【答案】
【分析】如图，连接，，由折叠知，，是等边三角形，解直角三角形求得，进一步求得，通过组合图形和差关系求得阴影部分面积．
【详解】如图，连接，，由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，

∴图中空白部分面积=，
∴阴影部分面积=，
故答案为：.
8．【答案】
【分析】根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，圆心角总是为，可得弧的半径为，再根据弧长公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵是边长为1的等边三角形，
∴，，；
∴，，，
∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，
∴的半径为n，所对的圆心角为120°，
∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，
∴的长为．
故答案为：．
9．【答案】
【分析】连接、，根据90度的圆周角所对的弦是直径，推出是直径，再利用勾股定理，推出，是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，推出，再求出，即可利用弧长公式求出弧的长度．
【详解】解：连接、，
是直角，
是直径，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

10．【答案】
【分析】连接，作于点D，先证明是等边三角形，根据勾股定理求出的长，然后根据求解即可．
【详解】连接，作于点D，
由题意可知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴

．
故答案为：．

11．【答案】/
【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：过点C作于E，
  
∵，
∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，
连接，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴最小值，
故答案为：．
12．【答案】
【分析】如图，过点E作点F，利用有两个角对应相等的两个三角形相似可得得出，然后利用条件求出EF的长，再利用扇形面积减去的面积即可解答．
【详解】解：如图，过点E作点F
  
∴，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵.点C为的中点，，
∴，
∴，解得：,
∴．
故答案为．
13．【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由及等腰三角形的性质可得，再由即可证得结论；
（2）连接，由等腰三角形的性质及为直径，可得的长，由正切函数即可求得的长，进而由勾股定理求得直径及半径的长；由面积相等可求得的长，再由已知易得，由勾股定理即可求得斜边的长．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，
∵为的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接．
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得．
∴，，
∵，
∴．
解得，
由（1）知，，，
则，
在中，根据勾股定理，得
．

14．【答案】(1)若，则AF是⊙O的切线
(2)是真命题，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据逆命题的概念，交换题设和结论即可解答；
（2）如图：连接OC， 根据平行线的性质可得、，进而得到，然后再证可得，再根据PC是的切线可得，进而说明即可说明；
（3）先根据勾股定理可得，然后再说明、，由三角形的面积公式可得，即可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵原命题为：若是的切线，则
∴逆命题为：若，则AF是⊙O的切线；
故答案为：若，则AF是⊙O的切线．
（2）解：是真命题，理由如下：
如图：连接OC，
  
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵PC是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）解：∵的半径为4，，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴的面积，
∴，解得：，
∴．
15．【答案】(1)2
(2)见解析，见解析
(3)

【分析】（1）先解方程得，，从而可得，，最后求得结果；
（2）作线段的中垂线，交于点C，交圆周于点Q，直线即为所求，再利用相似三角形的判定及性质、勾股定理进行证明即可．
（3）由（2）可得，，即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解方程，
得，．
∵在A的B左侧，
∴，．
∴．
∴⊙P的半径为2．
（2）尺规作图如图所示，直线即为所求，

理由：∵为线段的垂直平分线，
∴，．
在中，由勾股定理易得：．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即．
又∵为半径，
∴直线为切线．
（3）由（2）知，，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及到尺规作图、切线的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，解决本题的关键是熟练掌握切线的判定及性质．
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)米；

【分析】（1）连接AO并延长交圆于点E，根据切线的性质，圆周角定理，由角的等量代换即可证明；
（2）过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，Rt△OFC中，由勾股定理求得CF的长；再由△PAC∽△PBA，PA2=PB•PC，即可解答.
【详解】（1）证明：如图连接AO并延长交圆于点E，

PA是圆的切线，则∠EAP=90°，
∴∠EAC+∠PAC=90°，
AE是圆的直径，则∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠PAC，即；
（2）解：如图，过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，

BC为水平面，则D为圆的最低点，DF=2米，由垂径定理可得BC=2CF，
Rt△OFC中，OF=OD-DF=5-2=3米，OC=5米，则CF=米，
∴BC=2CF=8米，PB=32+8=40米，
∵∠P=∠P，∠PAC=∠PBA，∴△PAC∽△PBA，
∴PA∶PB=PC∶PA，即PA2=PB•PC，
∴PA=米.
17．【答案】(1)见解析
(2)支柱的高度为米．

【分析】（1）作于点E，则，由切线的性质得到，由四边形内角和定理得到，再根据周角为计算即可证明结论成立；
（2）延长交于点F，作于点G，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：作于点E，则，

∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点F，作于点G，则，
同理得四边形为矩形，则，，，

∵大小为，
∴，
∴，
∵，，
在中，
∴，
在中，，
∴(米)．
答：支柱的高度为米．
18．【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，并延长交于D，连接，则，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
（2）由勾股定理求出米，证明，得出，可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，并延长交于D，连接，

是直径，
，
，
， ，
，
，
即，
是的切线；
（2）过点O作，交于点E，交于点F， 连接，，

，，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
．
19．【答案】(1)见解析
(2)是，理由见解析


【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作法求解即可；
（2）首先根据直径的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用直角的性质得到，即可证明．
【详解】（1）如图所示，
  
（2）如图所示，连接，
    
∵为的直径，
∴，
∴，
∵l是的垂直平分线，
∴点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E在上，
∴是的切线．
20．【答案】(1)直径所对的圆周角为
(2)见解析

【分析】（1）由为直径，可证，进而可证直线是的切线；
（2）根据证明，得，进而可证直线是的切线．
【详解】（1）∵为直径，
，（直径所对的圆周角为）
．
是的半径，
∴直线是的切线．
故答案为：直径所对的圆周角为；
（2）由作法可得，，，
，
在和中，
，
，
，
．
∵是的半径，
直线是的切线．
【点睛】本题考查了尺柜作图-作垂线，切线的判定，圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线是解答本题的关键．
21．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②

【分析】（1）利用基本作图，先作直径，然后过O点作的垂线即可；
（2）①先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后利用得到；②先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由①的结论得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出x，最后计算即可．
【详解】（1）如图，为所作；

（2）①证明：∵直线l与相切于点B，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴；
②在中，
∵，
∴，
∴，
∵；
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
22．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据题意连接，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，作图即可．
（2）由题意得：为⊙C的直径，（直径所对的圆周角为），证明即可说明是切线．
（3）连接，在中，，由图知为的垂直平分线，设，则，在中，，即可解得．
【详解】（1）按照步骤完成作图如下．

（2）由题意得：为⊙C的直径，
∴（直径所对的圆周角为），
∴，
∵为⊙O的半径，
∴直线为⊙O的切线．
（3）连接，
∵，
，
在中，
，
由图知为的垂直平分线，
∴，
设，
则，
在中，
，
∴，
解得，
故QD的长为．
23．【答案】(1)，
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据题意得：点A与点D重合时，滑块B到回转中心O的距离最小，最小值为；点A与点C重合时，滑块B到回转中心O的距离最大，最大值为，即可求解；
（2）根据平分和，可得，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可；
（3）连接，根据切线的性质以及圆周角定理可得，，从而得到，可证明，从而得到，从而得到，再由，可得．设，则，．可求出x的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点A与点D重合时，滑块B到回转中心O的距离最小，最小值为；
点A与点C重合时，滑块B到回转中心O的距离最大，最大值为，
∵曲柄的长度为，连杆的长度为，
∴滑块B到回转中心O的最小距离为，最大距离为；
故答案为：，
（2）解：证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图，

∵是的切线，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
设，则，．
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴连杆的长为．
24．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②

【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可；
（2）①按照尺规作图方法画图即可；
②证明，得出为等腰直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是半圆的直径，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
为的切线；

（2）解：①如图，为所作；

②平分，
，
，，
而，
，
，

为等腰直角三角形，
．
25．【答案】(1)同一个三角形中，等边对等角
(2)见解析

【分析】（1）根据题意和等边对等角的性质求解即可；
（2）由作法可得到，，然后证明，得到，从而得到，由切线的判定定理得出结论．
【详解】（1）根据题意可得，“作法一”中的“依据”是指，同一个三角形中，等边对等角，
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
（2）由作法可得，，，
∴
在和中

∴
∴
∴
而是的半径
∴直线是的切线．