2023年四川省乐山市沙湾区中考数学调研试卷（含解析）

这是一份2023年四川省乐山市沙湾区中考数学调研试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省乐山市沙湾区中考数学调研试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数，最小的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算中，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

 A.  B.  C.  D. 4.  若关于的分式方程无解，则的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 以上都不是5.  九章算术中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为尺，则下列符合题意的方程是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如图，在中，，以为直径作交于点，连接，，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，则添加；；；中任意一个条件能够使≌，共有几种方法(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是(    )


 A.  B.  C.  D. 9.  经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，在菱形中，点为中点，点在上，，，则的最小值等于(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  分解因式：______．12.  如图，在中，，，，则 ______ ．
 13.  如图，在中，，若剪去得到四边形，则的度数为______ ．
 14.  已知，则的值是______．15.  如图，将矩形沿、折叠，点落在处，点恰好落在上的点处，若，，，则的长为______ ．
 16.  二次函数、、为常数，的图象如图所示，下列结论：；；当时，；顶点坐标为请将正确结论的序号都写出来______ ．
 三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
化简求值：，其中．19.  本小题分
若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围．20.  本小题分
某地湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥，小明在小道上测得如下数据：米，，请帮助小明求出小桥的长，并确定小桥在小道上的位置的长结果精确到米
参考数据：，，，，，．
21.  本小题分
小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间分钟，将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图：，：，：，：根据图中信息，解答下列问题．
小明本次一共调查了______ 人；
表示组扇形统计图圆心角的度数为______ ，并补全条形统计图；
如果小明想从组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车的情况，试用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．
22.  本小题分
某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买，两种花木共棵绿化操场，其中花木每棵元，花木每棵元．
若购进，两种花木刚好用去元，则购买了，两种花木各多少棵？
如果购买花木的数量不少于花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．23.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，是的延长线上一点，过、作直线，过作于，交的延长线于，且．
求证：是的切线．
若，求的半径及的度数．
24.  本小题分
如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，与反比例函数交于点、，且点坐标为．
求反比例函数的解析式；
若点在轴正半轴上，且与点，构成以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
点在第二象限的反比例函数图象上，若，求点的坐标．
25.  本小题分
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
如图，连结、，的延长线交于点，交于点，求证：
≌；
；
如图，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连结、，的延长线交于点，若，
求证：∽；
求的面积．

 26.  本小题分在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，点，与轴交于点．求抛物线的解析式；如图，连接，点是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点，若，求点的坐标；直线与抛物线交于，两点，取点，连接，，求面积的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
题中各数，最小的是，
故选：．
运用实数大小比较的方法进行求解．
此题考查了实数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 2.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算以及完全平方公式、积的乘方运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．
根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【解答】
解：如图，作，

，
，
，，
，
，
故选B．  4.【答案】 【解析】解：去分母，得：，
整理，得：，
当时，，不成立，
即当时原分式方程无解；
当时，，
分式无解，
，
，
，
解得，
或．
故选：．
解分式方程，分和两种情况分别计算，根据分式无解得出的值即可．
本题考查了分式方程的解，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
 5.【答案】 【解析】解：假设绳长为尺，则可列方程为．
故选：．
设绳长为尺，根据水井的深度不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
为的直径，
，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，求出，求出，再根据直角三角形的性质求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
 7.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
当时，由“”可证≌；
当时，可得，即，由“”可证≌；
当时，不能判定≌；
当时，由“”可证≌；
故选：．
由平行四边形的性质可得，，由全等三角形的判定方法可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 8.【答案】 【解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为，
故表面积，
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的结果数，其中恰好两人都直行的结果数为，
所以恰好两人都直行的概率是．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好两人都直行的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 10.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，，，

四边形是菱形，
对角线是其一条对称轴，
点为中点，
，
，
即的最小值为的长，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
的最小值等于，
故选：．
取的中点，连接，将转化为，从而确定其最小值为的长，再证明是直角三角形，利用三角函数即可求出，从而求出的最小值．
本题考查轴对称最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形的性质，三角函数定义，利用轴对称将转化为是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式来分解因式．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
设，则，
，
根据勾股定理，得，
解得或舍去，
，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了含度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：中，，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形内角和为度可得的度数，然后再根据四边形内角和为可得的度数．
此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为．
 14.【答案】 【解析】解：，
设，
，，，





，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：四边形为矩形，，，
，，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
在中，．
故答案为：．
根据题意可得，由折叠可知，，于是可得，由三角形内角和定理可得，由同角的余角相等得到，以此可证明∽，利用相似三角形的性质算出，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，利用折叠的性质和平角的定义得到，进而证明∽是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解：根据图象可得：，，，
则，故正确；
根据图示知，该抛物线的对称轴直线是，即，
则，
当时，，故正确；
根据图示知，该抛物线与轴的一个交点是，对称轴直线是，
则抛物线与轴的另一个交点为，
当时图象在轴的上方，即，故错误；
当时，，
则，故，
当时，，
故顶点坐标为，故正确．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用立方根的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，
，
解得：，
故的取值范围为． 【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，难度适中．
 20.【答案】解：在中，，
；
在中，，
．
，即，
，
．
答：小桥的长约为米，小桥在小道上的位置的长约为米． 【解析】在中，可找出，在中，可找出，结合，可得出关于的长的一元一次方程，解之可求出的长，再将其代入中，即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用，根据各边之间的关系，用的长表示出及的长是解题的关键．
 21.【答案】   【解析】解：小明本次一共调查了人，
故答案为：；
表示组扇形统计图圆心角的度数为，
组人数为人，
补全图形如下：
列表如下： 甲乙丙丁甲 乙，甲丙，甲丁，甲乙甲，乙 丙，乙丁，乙丙甲，丙乙，丙 丁，丙丁甲，丁乙，丁丙，丁 由表格知共有种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两人的结果有种，
恰好选中甲、乙两人的概率为．
由组人数及其所占百分比可得总人数；
用乘以组人数所占比例即可，根据四个分组人数之和等于总人数求出组人数即可得出答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 22.【答案】解：设购买种花木棵，种花木棵，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买种花木棵，种花木棵；

设购买种花木棵，则购买种花木棵，
根据题意，得：，
解得：，
设购买总费用为，
则，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为元，
答：当购买种花木棵、种花木棵时，所需总费用最低，最低费用为元． 【解析】设购买种花木棵，种花木棵，根据“，两种花木共棵、购进，两种花木刚好用去元”列方程组求解可得；
设购买种花木棵，则购买种花木棵，根据“花木的数量不少于花木的数量”求得的范围，再设购买总费用为，列出关于的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的性质，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程和函数解析式，熟练掌握一次函数性质是解题的关键．
 23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
的半径为，
，，
． 【解析】连接，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 24.【答案】解：点在一次函数的图象上，
，
解得：，
，
将代入，得，
反比例函数为；
如图，过点作轴于，
在直线中，当时，则，
，
由知，，
，
当时，，
，
当时，点在的垂直平分线，
，
综上所述，点的坐标为或
作于，过作轴于，轴，交于，

则∽，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，，
点与不重合，
． 【解析】先确定点的坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
分两种情况，利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
作于，过作轴于，轴，交于，利用∽，且，得，设，则，，可得方程，求出点的坐标，求出的解析式，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，待定系数法求函数解析式等知识，构造相似三角形求出点的坐标是解题的关键．
 25.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，即；
证明：在和中，
，
≌，
，
，
∽；
解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
由勾股定理得：，
由可知，，
，
，
∽，
，即，
解得：，，
，
． 【解析】利用定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可；
根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
 26.【答案】解：将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
如图，过点作轴的平行线，交于点，

设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线解析式：，
设点，
，
，
．
，，
∽，
，
，
，
或，
或；
直线，
直线过定点，记为点，

又，
轴且，
，
，
，
由韦达定理得：，
，
当时，有最小值，
面积的最小值为． 【解析】把，代入抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
根据的解析式，求出点坐标，求出，再根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于点，设点，则，然后根据得出∽，得出，从而得出结论；
直线过定点，记为点，联立方程组，由韦达定理得出，然后由函数性质求出的最大值，由三角形的面积公式求出面积的最小值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值、三角形相似的判定和性质、求三角形面积等知识，关键是对二次函数性质的应用．