2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  正数的平方根可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 青
B. 春
C. 梦
D. 想

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为亿人，亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于，的方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图不完整如图．由图中信息可知，下列结论错误的是(    )

 

A. 选“责任”的有人
B. 本次调查的样本容量是
C. 选“感恩”的人数最多
D. 扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为

9.  如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是(    )

A.
B. 垂直平分线段
C.
D.

12.  如图，在中，，，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线其中点为切点，则线段长度的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．

15.  若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______

16.  若关于的不等式组无解，则的取值范围为______．

17.  如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

18.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
某校举办以年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
数据分成组，，，，，

：七年级抽取成绩在这一组的是：
，，，，，，，，
，，，，，，，．
：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：

请结合以上信息完成下列问题：
七年级抽取成绩在的人数是______，并补全频数分布直方图；
表中的值为______；
七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是，则______填“甲”或“乙”的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
七年级的学生共有人，请你估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数．

20.  本小题分
如图，在▱中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．

求证：≌；
当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

21.  本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

22.  本小题分
某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为米，与地面垂直的路灯的高度是米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是试求大楼的高度．
参考数据：，，，，，

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
过、两点的直线与反比例函数图象交于另一点，连接，求的面积．

24.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的切线与的延长线交于点．
求证：；
求证：∽；
当，时，求线段的长．

 

25.  本小题分
已知：如图，在中，，，，将对折，使点的对应点恰好落在直线上，折痕交于点，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
求过，，三点的抛物线解析式；
若在线段上有一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于，连接，，求的面积的最大值；
若点在抛物线上，点在对称轴上，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根为，
故选：．
利用平方根的定义即可求解．
本题考查平方根的定义，解题的关键是熟悉平方根的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“”字两端是对面，判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，此选项计算错误；
B.，此选项计算错误；
C.，此选项计算错误；
D.，此选项计算正确；
故选：．
根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积

．
故选：．
根据矩形的性质得出，，求出，再分别求出扇形和矩形、的面积，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，得，
，
，
，
．
故选：．
用整体思想，得，等式两边都除以，得，再根据，从而计算出的值．
本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
系数化，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
；
故选：．
利用系数化，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得解．
本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：本次调查的样本容量为：，选“责任”的有人，故选项A中的说法正确，不符合题意；选项正确，不符合题意；
选“感恩”的人数为：，故选“感恩”的人数最多，故选项C中的说法正确，不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为，故选项D中的说法错误，符合题意；
故选：．
根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平移和旋转的性质，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：如图，即为所求，

则点的对应点的坐标是．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，为的平分线，
，，
，
为等边三角形，
为的垂直平分线，
，故A的结论正确；
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
垂直平分线段，故B的结论正确；
，，
∽，
，
，
，
，
故C的结论错误；
，，
∽，
，
，
，
故D的结论正确．
 故选：．
利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断的正确；利用等边三角形的性质结合的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断的正确．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接、，作于，
是的切线，
，
，
当最小时，线段的长度最小，
当时，最小，
在中，，
，
在中，，
，
线段长度的最小值，
故选：．
连接、，作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据垂线段最短得到当时，最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

则共有种等可能的结果，
反比例函数中，图象在二、四象限，
，
有种符合条件的结果，
图象在二、四象限，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数的图象与性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是度，
则，
解得：．
故答案为．
根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开扇形图的弧长与原来的圆锥底面周长之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，属于基础题．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，可得，即可得答案．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：，是的等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为，
依此类推：的坐标为：，
的横坐标为，
故答案为：．
根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
本题考查了一次函数图象上的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
 

18.【答案】解：原式


，


，
当时，原式． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的运算求出的值，代入进行计算即可；
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
详解：原式


，


，
当时，原式．
 

19.【答案】解：．
频数直方图如图所示：

 ；
 甲；
人，
即估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数为． 

【解析】

【分析】
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
根据各组人数求出的人数，并补全频数分布直方图；
根据中位数的定义求解即可；
根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
用乘样本中竞赛成绩分及以上人数所占比例可得．
【解答】
解：成绩在的人数为人
成绩在的人数为人，
故答案为：，补全频数分布直方图见答案；
第，名学生的成绩分别为，，所以，
故答案为：；
大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
见答案．  

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
由得，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形． 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．
由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
 

21.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：延长交延长线于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
米，米，
米，
在中，，
，
米，
米，
答：大楼的高度约为米． 

【解析】延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出、的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：将，两点代入中，得，
解得，，，
反比例函数的表达式为；
将和代入中得，
解得，
一次函数的表达式为：；
如图，设与轴交于点，连接，
由题意可知，点与点关于原点对称，
．
在中，当时，，
，
垂直轴于点，

． 

【解析】把，两点的坐标代入中可计算和的值，确定点的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
如图，设与轴交于点，证明轴于，根据即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接，

是的直径，
，
是的平分线，
，
，
，
是的切线，
，
；
，
，
，
，
是的直径，
，
是的平分线，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
，
，，
∽；
在中，，，，
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
由知，∽，
，
，
即，
． 

【解析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，等腰直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
连接，由是直径所对的圆周角，可知，再由是的平分线，可得，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得，则，再由切线的性质得，从而可证；
利用圆周角定理和平行线的性质证得，利用圆周角定理和角平分线的性质得，证明是等腰直角三角形，得出，利用平行线的性质得，从而得出，即可证得结论；
由已知可求，在等腰直角三角形中可得，再由∽，可得，即可求得结果．
 

25.【答案】解：在中，，
由翻折知，≌，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
，，
抛物线经过原点，
可设抛物线的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，，
过，，三点的抛物线解析式为；

设直线的解析式为，
将点，代入，
得，
解得
直线的解析式为，
可设，则，
，



，
当时，的面积取最大值；

在中，
对称轴为，
如图，当为平行四边形的一边时，平行且等于，
，
，
，
或，
当或，时，
点的坐标为或；

如图，当为平行四边形的对角线时，与互相平分，
则点在抛物线顶点处，
当时，，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或 

【解析】先通过勾股定理求出的长，再通过证∽，分别求出点，的坐标，将其代入即可；
求出线直的解析式，可设，则，用含的代数式表示出的面积，通过二次函数的图象及性质可求出其最大值；
先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：如图，当为平行四边形的一边时，平行且等于，利用平行四边形的性质可求出点的横坐标，即可写出点坐标；如图，当为平行四边形的对角线时，与互相平分，则点在抛物线顶点处，直接求出抛物线顶点坐标即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质等，解题关键是能够结合抛物线与平行四边形的性质求点的存在性．