2023年陕西省中考数学学业水平试卷(含答案)

2023年陕西省中考数学学业水平试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，“天宫课堂”第二课在中国空间站成功开讲，本次太空授课活动激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情下列相关卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年通信业统计公报中显示：截至年底，我国累计建成并开通基站约个，建成全球最大网．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，点为边上一点，平分，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的直径，，是的弦，连接，，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知抛物线：的顶点为点，与轴分别交于点，点在点左侧，抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

8.  计算：______．

9.  一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为______ ．

10.  我国南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中用三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”请观察图中的数字排列规律，则的值为______ ．

11.  如图，在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，交于点，且，则的长为______ ．

12.  已知，是反比例函数图象上的两点，且，，请写出一个符合要求的的整数值为______ ．

13.  如图，在菱形中，，，是平面内一点，且，则点到的最大距离为______ ．

三、解答题（本大题共14小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

18.  本小题分
如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽不写作法，保留作图痕迹
 

19.  本小题分
如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，求证：．

20.  本小题分
甲车从地开往地，乙车从地开往地，两车同时出发，沿着，两地间的同一条笔直的公路匀速行驶，出发小时后两车相距千米，又过小时，两车又相距千米，且此时两车均未到达终点，求，两地间的距离．

21.  本小题分
陕西省第十七届运动会将于年月在榆林市举办，本届运动会主题口号为“精彩省运，美好生活”现将一个可以自由转动的转盘分成四等份，分别标注“精彩”、“省运”、“美好”、“生活”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的文字即为转出的字样．
随机转动转盘次，其中次转出“美好”，则这次中转出“美好”精彩省运的频率是______ ；
随机转动该转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的字样可以组成“精彩省运”或“美好生活”的概率．

22.  本小题分
某运动主题公园的广场上安装了一块屏幕，让群众在健身的同时，还能观看公益健身指导视频如图，矩形屏幕固定在立柱，上立柱的直径忽略不计，在地面上的处测得屏幕底部的仰角为，沿方向前进到达处，测得屏幕顶部的仰角为，图中所有点在同一平面内，且，，，，在同一条直线上，，，，在同一条直线上已知立柱的高为，求屏幕的高度结果精确到，参考数据：，，，
 

23.  本小题分
某兴趣小组分别从甲、乙两班各随机抽取名学生并调查了他们一周平均每天的体育活动时间单位：，将收集到的数据进行了整理和分析，部分信息如下：
【数据收集】
甲、乙两班调查的名学生平均每天的体育活动时间分别如下：
甲班：
乙班：
【数据整理】
将平均每天的体育活动时间单位：分为四个等级：：，：，：，：，整理数据得到如下条形统计图和扇形统计图．

【数据分析】根据以上数据，得到以下统计量：

根据以上信息，回答下列问题：
______ ， ______ ；
求扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；
根据以上统计量信息，请从任意一个方面评价哪个班级的学生更热衷于参加体育活动．

24.  本小题分
秦腔是国家非物质文化遗产之一，某中学戏剧社团组织团员去观看热闹喜庆的秦腔老戏龙风呈样，感受秦腔魅力经了解，该戏剧的，，类门票票价如下表：

该社团购买，，三类门票每类票至少购买张共张观看龙风呈祥，其中类门票比类门票的倍少张设购买类门票张，购票总费用为元．
求与之间的函数表达式；
若该社团有元的预算，则最多能购买类门票多少张？并求出此时购票的总费用．

25.  本小题分
如图，为的直径，点为延长线上一点，与相切于点，且．
求证：是的切线；
连接，若的半径是，，求的长．

26.  本小题分
已知抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线．
求抛物线的表达式；
若点为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点，使得与位似，且位似中心为点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

27.  本小题分
问题提出
如图，在四边形中，，，为边上一点，，且，求的面积；
问题解决
某公园的一块四边形空地如图所示，其中，，米，米，米，现准备在四边形空地中围出一块五边形区域建造”儿童探险乐园”，其余区域进行绿化，要求点，，分别在，，边上，且，为了满足公园绿化用地的需要，要使五边形的面积尽可能小，那么是否存在符合要求的面积最小的儿童探险乐园？若存在，请求出儿童探险乐园面积的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
先将减法转化为加法，然后再按照加法法则计算即可．
本题主要考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，和选项中的图形是轴对称图形，选项中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，选项中的图形是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
的外角的平分线于点．
，
，
，
，
．
故选：．
根据，得，再根据三角形内角和定理，得，由此解答即可．
本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象过点，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
解得，
故选：．
由正比例函数求得的坐标，然后代，求得的值．
本题两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
的长．
故选：．
根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握相关的定理和公式是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线：的顶点为点，
，
抛物线：与轴分别交于点，点在点左侧，
，抛物线开口向上，
当时，，
整理得：，
解得，
点在点左侧，
，，
，
抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为，
，
，
若，
则，
，
经检验，是方程的解，也符合题意，
故选：．
根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据列出关于的方程，解方程求出的值．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，关键是解方程求出，，，坐标．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为，
这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数是，则
，
故答案为：．
根据多边形的外角和为及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察可知，每一行数字中第一个和最后一个数字都是，中间的数字等于其上面一行数字中左右两边两个数字的和，
所以，，
所以．
故答案为：．
观察杨辉三角的数字变化规律，得到下面一行数字与上面一行数字之间的关系后，先求出和的值，再求出的值即可．
本题主要考查数字的变化规律，认真观察每一行数字的变化规律是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
四边形是矩形，
，，，
由旋转得：，
，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
设，根据已知易得，，然后利用矩形的性质可得，，，再利用旋转的性质可得：，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及矩形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，
即当，，
也就是在第二象限，随的增大而增大，由反比例函数的增减性可知，，
所以符合要求的的整数值可以为答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据随的变化关系以及反比例函数的增减性，确定的取值范围，进而得出答案即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例滑雪的增减性是正确判断的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：是平面内一点，且，
点的轨迹是以为直径的圆，设点的轨迹为圆，圆与交于点，
延长交圆于点，设的中点为，连接，，与交于点，如图，

当点与的中点重合时，点到的距离最大．
四边形为菱形，，，
，，
，
为等边三角形，
．
是的中点，
，．
，
．
为圆的直径，
，
，
延长交于点，则四边形为矩形，
，
．
点到的最大距离为．
故答案为：．
利用点的轨迹的特征求得点的位置，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，利用已知条件求得点的轨迹是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先根据绝对值，二次根式的性质和负整数指数幂进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算和负整数指数幂，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

15.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：



． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
即且，解得且，
的取值范围为且． 

【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】证明：在正方形中，，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由正方形的性质可得，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：设，两地间的距离为千米，
根据题意得：，
解得：．
答：，两地间的距离为千米． 

【解析】设，两地间的距离为千米，利用速度路程时间，结合甲、乙两车的速度之和不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：随机转动转盘次，其中次转出“美好”，则这次中转出“美好”精彩省运的频率是，
故答案为：；
将“精彩”、“省运”、“美好”、“生活”分别记作、、、，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次转出的字样可以组成“精彩省运”或“美好生活”有种结果，
所以两次转出的字样可以组成“精彩省运”或“美好生活”概率为．
直接根据概率公式求解即可；
将“精彩”、“省运”、“美好”、“生活”分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：，
，
在中，，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
屏幕的高度约为米． 

【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：甲班的平均数为，
乙班的活动时间从小到大排列为：，，，，，，，，，，
乙班的中位数为，
故答案为：，；
组所对应的扇形圆心角的度数为；
对比甲、乙两班的统计结果，乙班的平均数比较高，说明乙班级的学生更热衷于参加体育活动．
根据平均数公式和众数的定义即可求出；
用乘以组的百分比即可；
对比甲、乙两名学生的统计结果判断即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数的计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：类门票比类门票的倍少张，
类门票张，
类门票张，
；
与之间的函数表达式为；
根据题意得：，
解得，
为正整数，
最大值为，
此时元，
答：最多能购买类门票张，此时购票的总费用为元． 

【解析】根据，，三种门票的价格以及张数得出总费用即可；
根据社团有元的预算，得出不等式组，求出的取值范围，进而可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式解决问题．
 

25.【答案】证明：连接，，
与相切于点，
，
在与中，
，
≌，
，
为的直径，
是的切线；
解：，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
由知，≌，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，，根据切线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：对称轴为直线，
，
解得：，
抛物线与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
存在，
抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线，
点的坐标为，
，，
与位似，且位似中心为点，
与相似比为：，
点在抛物线对称轴上，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
点的坐标为． 

【解析】根据抛物线的对称轴求出，根据抛物线与轴的交点求出；
根据题意求出相似比，根据位似变换的性质求出点的横坐标，进而求出纵坐标．
本题考查的是位似变换的概念、二次函数的性质，熟记位似变换的概念是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，
，
的面积；
如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，，，
设，则，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，，


，
在中，，
可设，则，
由可得，
≌，
，，


，
，
当米时，五边形的面积最小，最小值为：平方米，
答：存在符合要求的面积最小的儿童探险乐园，儿童探险乐园面积的最小值为平方米． 

【解析】根据全等三角形的判定和性质，求出，再根据勾股定理求出，求出即可；
求出四边形的面积，再设，得出，由得出，，用二次函数表示五边形的面积，由二次函数的最值进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，二次函数的应用以及勾股定理、全等三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及二次函数的最值的计算方法是正确解答的前提．