广东省部分学校2023届高三下学期联合考试模拟预测数学试卷(含答案)

广东省部分学校2023届高三下学期联合考试模拟预测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知，则复数z在复平面内对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12.这组数据的第80百分位数是(   )

A.12 B.13 C.13.5 D.14

4、在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=(   )

A. B. C. D.

5、如图，在正三棱柱中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(   )

A. B. C. D.

6、已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则(   )

A. B.-1 C. D.1

7、2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型.准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示.，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形的边长为(   )

A. B. C. D.

8、已知是定义域为R的单调递增的函数，，，且，则(   )

A.54 B.55 C.56 D.57

二、多项选择题

9、已知圆，直线，则下列说法正确的是(   )

A.直线l过定点

B.当时，直线l与圆C相切

C.当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为

D.若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则

10、袋子中装有红球、黄球各个，现从中随机抽取3个，记事件A为“三个球都是红球”，事件B为“三个球都是黄球”，事件C为“三个球至少有一个是黄球”，事件D为“三个球不都是红球”，则(   )

A.事件A与事件B互斥且对立

B.

C.

D.事件B与事件D可能同时发生

11、若函数的定义域为R，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则下列说法正确的是(   )

A.

B.函数的值域为

C.直线与函数的图象在区间上有4个交点

D.

12、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(   )

A.若，且，则椭圆C的离心率为

B.若，目，则C的离心率为

C.若对任意的直线l总有，则椭圆C的离心率的取值范围为

D.若存在直线l，使得，的等比中项为，则椭圆C的离心率的取值范围为

三、填空题

13、若，则______.

14、若的展开式中的系数为80，则_____.

15、已知抛物线，直线与拋物线C交于M，N两点，O为坐标原点，记直线OM，ON的斜率分别为，，若，则_____.

16、已知在边长为2的荾形ABCD中，，沿对角线BD将折起，使平面平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为______；若P为AB的中点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为_______.

四、解答题

17、已知函数的图象的一条对称轴为.

（1）求a

（2）在上的值域.

18、设数列的前n项和为，已知，且，，，成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值.

19、如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点

（1）在直线PD上找一点F，使得直线平面PAB并说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

20、为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日继续在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.某机构为了了解游客对全省实施景区门票减免活动的满意度，从游客中按年龄40周岁及以下和40周岁以上随机抽取100人，其中年龄在40周岁及以下的有40人，且有的游客表示满意，年龄在40周岁以上的游客中表示满意的人数与年龄在40周岁及以下的游客中表示满意的人数相同.
（1）根据统计数据完成以下2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联?

（2)按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取10名，进一步了解游客对本次活动的看法，再从这10名游客中随机选取3名作为代表对本次活动提出改进措施，记选取的3名代表中“40周岁及以下表示满意”与“40周岁以上表示满意”的人数差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.

21、设双曲线的左、右焦点分别为，且焦距为6，点在双曲线C上

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点.

22、已知函数，

（1）判断和的单调性；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，，所以.

2、答案：A

解析：因为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

3、答案：D

解析：将14个数据从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17.因为，所以第80百分位数是第12个数据，即14.

4、答案：B

解析：因为，所以.因为，所以，所以，所以，.

5、答案：D

解析：

取BC的中点E，连接DE，AE因为D是的中点，所以.因为.平面ABC，所以DE平面ABC.因为AE是斜线AD在底面上的射影，所以即直线AD与底面ABC所成的角.在正三角形ABC中，，所以直线AD与底面ABC所成角的正切值为.

6、答案：D

解析：

7、答案：D

解析：连接，交于点H，则.

设，则，.

因为，所以.

六棱锥的高.

正六边形的面积，

则六棱锥的体积.

令函数，，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，正六棱锥的体积最大，

此时正六边形的底面边长为.

8、答案：B

解析：因为，所以.因为，，且单调递增，所以，所以.因为，所以，于是，，因为，所以，因为，所以，，因为，，所以，，所以，.

9、答案：BC

解析：由，得，即l恒过点，故A错误.

由，得或，故B正确.

若，则圆心C到直线l的距离.

因为，所以，故C正确.

若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则圆心C到直线l的距离.

由，得，故D错误.

10、答案：BCD解析：因为事件A，B不可能同时发生，所以A，B为互斥事件，但不对立，故A不正确；事件C为“三个球都是红球”，与事件A相同，所以B正确；事件D包含三个球都是黄球、一个红球两个黄球、两个红球一个黄球，与事件A对立，所以满足，故C正确；因为，所以事件B与事件D可能同时发生，故正确.

11、答案：ABD

解析：因为为偶函数，所以，

所以，所以的图象的对称轴为.因为的图象关于点成中心对称，所以，所以，所以，所以的图象关于对称.因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数的周期为4，故.因为，所以，故A正确.当时，；当时，.结合对称轴为，可得当时，，结合周期性可知函数的值域为，故B正确.根据函数的对称性大致作出函数的图象(图略)，可知直线与函数的图象在区间上有5个交点，故C错误.因为，，所以，所以，故D正确.

12、答案：AD

解析：

对于A，因为，，所以.连接，令，则，，，因为，所以，即，得.因为，所以，将代人，得，故A正确.对于，设，则，因为，所以，所以.因为，所以，所以，，所以，，因为，所以，所以，则，故B错误.对于，r因为对任意的直线l总有，所以只需，所以，得，故C错误.对于D，设，，则，，所以.

因为，所以，所以，即，则，所以，故D正确.

13、答案：

解析：由，解得.

14、答案：-2

解析：展开式的通项为，所以展开式中含项的系数为.由，得.

15、答案：2

解析：设，，联立方程组整理得，则，，因为.所以.因为，所以，解得.

16、答案：，

解析：如图所示，易知和是等边三角形.设空间四边形ABCD外接球的球心为O，所以球心O在平面ABD和平面BCD上的射影分别是和的中心F，G.记E为BD的中点，则四边形EFOG为正方形.因为和是边长为2的等边三角形，所以，所以正方形EFOG的边长.连接OE，OB，则，所以空间四边形ABCD外接球的半径，所以空间四边形ABCD外接球的表面积为.设过点P的平面为，当时，所得截面的面积最小，该截面为圆形.连接FP.因为，，所以，所以截面圆P的半径为，故截面圆的面积为.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为的图象的一条对称轴为，所以，解得.

（2）由(1)知.因为，所以.令，则，所以，故.

18、答案：（1）

（2）7

解析：（1）因为，所以，即.因为成等差数列，所以.

因为，，所以，解得，

所以是首项为3公比为3的等比数列，故.

（2）由（1）得，所以，由，得，即.因为，所以，故使得成立的n的最小值为7.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：(1)F为PD的中点.理由如下：连接EF，CF.因为E，F分别为棱AD，PD的中点，所以.因为，，所以，，所以四边形ABCE为平行四边形，所以.因为，，所以平面平面PAB.

因为平面CEF，所以CF平面PAB.

（2）因为，所以以D为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，.

设平面PBE的法向量为，

因为，

所以令，得.

设平面PCE的法向量为，因为，，所以令，得.设二面角为，则为锐角，所以，故二面角的余弦值为.

20、答案：（1）认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

（2）数学期望为，分布列见解析

解析：（1）由题意，抽取的100人年龄在40周岁及以下的有40人，表示满意的有30人，年龄在40周岁以上的有60人，表示满意的有30人，所以2×2列联表如下：

零假设为：

：对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联.根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取的10名游客中，40周岁及以下表示满意的人数与40周岁以上表示满意的人数均为3，所以随机变量X可能取0，1，2，3.
，，，，所以随机变量X的分布列为

所以.

21、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）因为焦距为6，所以.将点代人C的方程，得.因为，解得，，所以双曲线C的方程为.

（2）证明：由(1)知，M的横坐标为2，设直线的方程为，则.联立方程组得.

设，，则，，，因为，所以直线l的方程为，直线OB的方程为，联立方程组得，由，，两式相除，得，则，所以.因为，所以，故P为线段MQ的中点.

22、答案：（1）在上単调递减，在上单调递增，在上单调递减

（2）

解析：（1）因为，所以.当时，恒成立，所以在R上单调递减；当时，由，得，所以在上単调递减，在上单调递增，因为，所以.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减.

（2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，等价于对任意恒成立.令，则.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，，所以存在，，使得.当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.所以存在两个极小值，，因为，，分别为的两根，所以，，所以，所以.同理可得，所以，故实数a的取值范围是.