2023年广东省深圳市南山实验教育集团中考二模数学试题

深圳市南山实验教育集团2023年九年级第二次学业质量监测

数 学

说明：

1. 答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。

2. 全卷共3页，共22题。考试时间90分钟，满分100分。

3. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。

4. 考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分 选择题

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1. 的倒数是（　　）

A．   B．   C． -2023    D． 2023

2. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）

A． 三叶玫瑰线   B． 四叶玫瑰线   C． 心形线 D．   笛卡尔叶形线

3. 2022年深圳市GDP3.24万亿元，增长3.3%，增速在北上广深中排第一，将数据3.24万亿用科学记数法表示为（　　）：

A．  B．  C．   D．

4. 某同学对数据32，23，32，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）

A． 平均数    B 中位数    C． 众数    D． 方差

5. 如图，在△ABC中，。为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等。下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（　　）

A． 角平分线AD，全等依据HL    B． 中线AD，全等依据SSS

C． 角平分线AD，全等依据SAS    D． 高线AD，全等依据HL

6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元。某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形。若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　）

A． π    B． 2π    C．    D． 2

7.《义务教育课程方案》发布并实施以来，某校构建德智体美劳全面培养的教育体系，开展“爱劳动，劳动美”活动。甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家8km和12km的实践基地参加劳动。若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前15min到达基地，求甲、乙的速度。设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（　　）

A．  B．   C．   D．

8.如图，点I为△ABC的内心，，，，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．9    B． 8     C． 6      D． 4

9、二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：

①；②；③有两个不相等的实数根：④。其中正确的是（　　）

A． ①②   B． ①③    C． ①③④    D． ①②③④

10. 如图，菱形ABCD顶点A在函数的图象上，函数的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若，则k的值为（　　）

A． 18   B．   C．   D

第二部分 非选择题

二、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 分解因式：=___________。

12. 不等式组的解集为___________，

13. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择的不是同一个主题的概率是        。

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为（-6，2），若直线沿y轴平移m个单位后与△AOB仍有公共点，则m的取值范围是___________。

15. 如图，在△ABC中，，，，CE关于DE对称的直线恰好交AB于点F，则AF的长为___________。

三、 解答题（共7小题，16题5分，17题7分，18题6分，19-20题8分，21题10分，22题11分，共55分）

16.（5分）计算：。

17.（7分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）。

（1）将△ABC绕着点O逆时针方向旋转90度，得到，并画出旋转后的；

（2）请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）。

18.（6分）为落实国家“双减”政策，南实初中在素养课程时间里开展了A（篮球社团）、B（航模社团）、C（阿卡贝拉社团）、D（剪纸社团）活动。该校从全校2000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。根据图中信息，解答下列问题：

（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，抽查的总人数是___________，条形统计图中m的值为___________；

（2）求扇形统计图中α的度数：

（3）根据调查结果，可估计该校2000名学生中最喜欢“航模社团”的约有多少人？

19.（8分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多10元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件。

（1）该商品的售价和进价分别是多少元？

（2） 设每天的销售利润为w元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当告价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

20.（8分）如图，△ABC内接于⊙O，，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且。

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若，求⊙O的半径。

21.（10分）【定义】在平面内的三个点A，B，P，满足。若，则将点P称为[A，B]的三倍直角点：若，则将点P称为[A，B]的三倍锐角点。

（1）如图1，已知△ABC中，，，若点C是[A，B]的三倍直角点，则AB的长度为___________；若点B是点[A，C]的三倍锐角点，则AC的长度为___________；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，点P是直线上的一点，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（4，0），以B为圆心BC长为半径作⊙B，点D在⊙B上。

①若点A是[P，O]的三倍锐角点，求点P的坐标

②若点C是[P，D]的三倍直角点，直接写出点P的坐标。

22、（11分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB=2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB。

（1）试证明，并求=___________。

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问

（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由。

（3）如图，已知菱形ABDE~菱形BCFG，且，菱形BCFG绕点B旋转过程中，取EF的中点M，作△DGM，求证：△DGM是直角三角形并求出的值。

数学参考答案与解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11、    12、    13、    14、   15、

三、解答题（共55分）

16.解： 原式=

=1

17.解：（1）如图：△A1B1C1即为所求：

（2）如图所示，PQ即为所求。

∵

∴

∴△ABC是直角∠角形，

∴

作AB所在格的另外一条对角线交AB于点P，

然后作AC所在格的另外一条对角线交AC于点Q，连接PQ，

根据网格可知：PQ是△ABC的中位线，

∴

∴

∴PQ是线段AC的垂直平分线。

18.解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，

抽查的总人数是：

故。

故答案为：60人，11：

（2） 由题意得，：

（3）

答：估计该校2000名学生中最喜欢“航模社团”的约有800人。

19.解：（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得：

解得

∴该商品每件的售价为40元，进价为每件30元：

（2） 设售价上涨a元/件

由题意得：

∵售价不得高于进价的1.8倍

∴

解得a=14

∵当a=20时，w是随a的增大而增大

∴当时，w有最大值，最大值为3456，此时售价为（元）

∴当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元

20.解：（1）证明：连接OA，

∵

∴，

又∵

∴°，

又∵

∴°

∴°

∴

∴PA是⊙O的切线：

（2）解：过点C作于点E。

在Rt△BCE中，

∴，

∵

∴

在Rt△ACE中，，

∴

在Rt△PAO中，

∴⊙O的半径为

21.解：（1）∵点C是[A，B]的∠倍直角点，

∴，

由勾股定理得，

，

故答案是，

∵点B是点[A，C]的∠倍锐角点，

∴且，

由勾股定理得，

故答案是：

（2） ①当时，

∴

∴，A（2，0），

∵点A是[P，O]的∠倍锐角点，

∴,

设P（x，）

∴

∴，

当，

∴

当，

∴，-3）

当P（2+3，3）时，，应舍去。

综上所述：）

（②如图4，

延长⊙B于E，连接DE，

∵点C是[P，D]的∠倍直角点，

∴，

∴DE是⊙B的直径，

∴

作于Q。

设，

∴

∴

=

∵

∴

∵，

∴，

∴

∴

∵，

∴，

当，

当，

∴）或）

22.解：（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H。

∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，

∴//AC//GF，

∴

∵，

∴），

∴,

∵，

∴

∵，

∴

连接EB，BF，设，则，

∵，

∴。

∴a，

∵，

∴a，

∵，

∴，

∴

（2）解：（1）中的值有变化。

理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于。

∵，

∴

∵

∴O，G，F共线，

∵

∴

∵，

∴

∴四边形EOFD是平行四边形，

∴OD与EF互相平分，

∵

∴点M在直线AD上，

∵，

∴四边形OBFD是矩形。

∴，

∵，

∴，设，则

易知

∵

∴

3）延长GM至点H，使，连接EH、DH，再延长EH、GB交于点K，

∵，

∴

∴，

∴，

∵，

∴

∵菱形ABDE~菱形BCFG

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵，

∴

∴，

∴，

∵

∴

∵且，

∴且

∴△DGM是直角∠角形且