高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换综合训练题

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人教A版（2019）必修第一册（下）5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知sin(α＋45°)＝，则sin2α等于（    ）A．－ B．－ C．  D． 2．已知，，，则（    ）A． B． C． D．3．最小值是 A．-1 B． C． D．14．关于函数，以下说法正确的是（    ）A．在区间上是增函数 B．在区间上存在最小值C．在区间上是增函数 D．在区间上存在最大值5．函数 的最小值和最大值分别为(　　)A．  B．  C．  D．6．将函数向左平移个单位后得函数，则在上的取值范围是A． B． C． D．7．的值为（    ）A． B． C． D．8．已知和是方程的两个根，则的关系是（    ）A． B．C． D．9．设，，，则有（    ）A． B． C． D． 二、填空题10．若，，且，，则的值是________.11．已知角的终边经过点，且，则的值为_________．12．函数的最小正周期是______13．______．14．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．15．设为锐角，若，则的值为____________.16．已知函数，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，是函数的一个极小值点.若把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________. 三、解答题17．已知函数是该函数图象的对称中心(1)求函数的解析式；(2)在中，角的对边分别为，若，，求的取值范围.18．函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.（1）求函数图象的对称中心.（2）当时，求 的值域.（3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围.19．在中，角，，所对边分别为，，，且，，.(1)求边及的值；(2)求的值.20．求的值.21．已知函数，．(1)求的值及的最小正周期；(2)当时，求函数的零点所构成的集合．
参考答案：1．B【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，∴sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键.2．A【分析】根据诱导公式求出，再根据对数函数的单调性比较的大小，即可得出答案.【详解】解：，，所以.故选：A.3．B【详解】试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题 4．C【分析】将原式化简为，再结合正弦函数的性质，即可求解．【详解】解：，令，，即函数的单调递增区间为，故选项错误，选项正确，当，即时，取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选项错误，当，即时，取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项错误．故选：．5．C【详解】2. ∴当时，，当 时， ，故选C.6．D【分析】按照图象的平移规律，写出的表达式，利用正弦函数的图象，求出在上的取值范围.【详解】因为函数向左平移个单位后得函数，所以，，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键.7．A【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得结果.【详解】.故选：A.8．C【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果.【详解】由题意可知，，，，，.故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题.9．B【分析】先利用两角和的正弦公式对化简，利用二倍角公式对化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小【详解】解：， ，，因为在上为增函数，且，所以，即可，故选：B【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题10．【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，即所以.因为，，所以，因为，所以.所以.因为，，所以，所以.故答案为：.11．【解析】先计算出，再点的坐标特征可得角的终边的位置，从而可求的值.【详解】因为，故，故角的终边在第二象限或第三象限，又的纵坐标为，故角的终边在第二象限，所以，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：（1）角的终边的位置可根据三角函数值的正负来确定，也可以根据终边上的点的坐标特征来确定；（2）三个三角函数值，往往是“知一求二”，这里利用方程的思想.12．【分析】逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为形式,利用即可求得函数最小正周期.【详解】 故答案为:.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用、余弦三角函数最小正周期公式,属于基础题.13．【分析】，化简计算即可得出结果.【详解】原式．故答案为：.14．－【详解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－15．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】为锐角，， ..故答案为：16．##【分析】对称轴与对称中心之间的最小距离为，可求得函数的周期，从而可求出，再由是一个极小值点，可求得，从而可得，进而可得，再由图象关于点对称，可得，从而可求出实数的最小值【详解】因为对称轴与对称中心之间的最小距离为，所以，所以，，因为是一个极小值点，所以，又因为，所以，.把函数的图象向右平移个单位长度后得函数，图象关于点对称，则，，因为，当时，实数的最小值为.故答案为：17．(1)(2) 【分析】（1）由题意得，则可求出，从而可求出函数的解析式；（2）由可求出，由正弦定理得，从而可表示出，化简后利用三角函数的性质可求得结果(1)由题知，因为，所以，所以函数，即为.(2)由题知，即，因为，所以，所以，即.所以由正弦定理得，所以,因为所以，所以，所以，所以取值范围为.18．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出 ，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心；（2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．【详解】（1）根据图象可知，，∴，∴， ，将代入得， ，即，解得 ，，∵，∴， ，∴.函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得令，解得 ∴此函数图象的对称中心为.（2）当时， ，，即 的值域为.（3），令，由（2）知， ，因此m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．19．(1)，(2) 【分析】（1）先由求得，结合三角形面积公式可得，根据条件可得，的值，再利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，则，，再结合二倍角公式和差角公式求解即可.(1)因为，，所以，因为，所以，又，所以，，所以，因为，即，所以.(2)在中，由（1）可知，则，所以，，则，，所以.20．【分析】先将题中正弦值利用诱导公式转化为余弦值，再用降次公式将式子中高次转化为次，再观察题中角度与特殊角的联系，再用两角和差公式展开化简求值.【详解】.【点睛】本题考查了三角恒等变换，运用降次公式，两角和与差公式进行化简求值，注意观察角度间的联系及与特殊角的联系，还考查了学生的分析观察能力，运算能力，难度较大.21．(1)，最小正周期为;(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的性质即可求解；（2）令，可得或或，即可求解的值.（1）解：因为，所以，最小正周期为 .（2）令，则，因为，所以，所以或或，即或或，所以函数的零点所构成的集合为.