人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用学案含答案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用学案含答案，共167页。
第六章 | 平面向量及其应用

6．1 平面向量的概念

明确目标
发展素养
1.了解平面向量的实际背景．
2.了解平面向量的意义．
3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素.
1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养.



知识点一　向量的实际背景与概念
(一)教材梳理填空
1．向量与数量：
(1)数量：只有大小没有方向的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零．
(2)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小．
[微思考]　物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向．
2．有向线段的概念：
(1)定义：具有方向的线段叫做有向线段．

(2)表示方法及长度：
以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.
(3)有向线段的三要素：起点、方向、长度．
3．向量的表示方法：
几何
表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
字母
表示
通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，…

4．向量的相关概念：
向量的长度(模)
向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的模是正实数． (×)
(2)单位向量的模相等． (√)
(3)有向线段就是向量． (×)
2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
答案：B
3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　)

A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：ABC

知识点二　相等向量与共线向量
(一)教材梳理填空
1．平行向量(共线向量)：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
2．相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作a＝b.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量一定是共线向量． (√)
(2)若向量a＝b，则|a|＝|b|. (√)
2.

如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
3.

如图所示，在▱ABCD中，与共线的向量有____________________________________．
答案：，，



题型一　向量的有关概念

【学透用活】

向量相关概念的注意点
(1)在用单个小写字母表示向量时，印刷用黑体a，b，c，书写用，，，注意区分．
(2)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向．
(3)当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0.
(4)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0.
[典例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
[解析]　A不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C正确，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一个点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定．
[答案]　BC

[方法技巧]
解决与向量概念有关问题的关键
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是1个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．　　

【对点练清】

下列说法中正确的个数为 (　　)
①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小．
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：选A　①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0；②正确；③错误，平行向量所在的直线可能不共线；④错误，平行向量的平行关系不具有传递性；⑤错误，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关；⑥正确，向量的模是一个数量，可以比较大小．

题型二　向量的表示及应用

【学透用活】
在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段.

[典例2]　

在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量：
(1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向．
[解]　(1)因为点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸中点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)因为点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)

由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
[方法技巧]
用有向线段表示向量的步骤
　　

【对点练清】

　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹．
解：(1)

根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量．(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心、为半径的圆．
题型三　相等向量与共线向量

[探究发现]
(1)两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
(2)若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
提示：分四种情况．
① 直线AB和直线CD重合，与同向；
② 直线AB和直线CD重合，与反向；
③直线AB∥直线CD，与同向；
④直线AB∥直线CD，与反向．
　　　
【学透用活】
[典例3]　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量)
[解]　如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，．
[方法技巧]
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．　　
【对点练清】

1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？
解：与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
2.

[变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？
解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 方向相同的向量与其相等，共有8个，图略．
3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状．
解：因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.

如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明：因为＝，所以||＝||，且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形．
所以||＝||，且DA∥CB.
又因为与的方向相同，所以＝.
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以＝
因为| |＝||，||＝||，
所以||＝||.又DN∥MB，所以与的模相等且方向相同，所以＝.

二、应用性——强调学以致用
2．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，.
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
[析题建模]　
解：(1)以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量，

，，，如图所示．

(2)由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1 000 km.

课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　
层级(一)　“四基”落实练
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 (　　)
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C　速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较
2.

(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 (　　)
A．＝
B．∥
C．||＝||
D． ＝
解析：选ABC　由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选A、B、C.
3．(多选)若a是任一非零向量，b是单位向量，则下列各式错误的是 (　　)
A．|a|>|b|　　　　　　 B．a∥b
C．|a|>0 D．|b|＝±1
解析：选ABD　对于A，因为a是任一非零向量，模长是任意的，所以|a|与|b|的大小不确定，故不正确；对于B，不一定有a∥b，故不正确；对于C，向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；对于D，|b|＝1，故D不正确．
4．下列说法正确的是 (　　)
A．若|a|＝|b|，则a∥b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：选B　当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a∥b未必成立，所以A错误；因为零向量的长度是0，所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误．故选B.
5．如图所示，C，D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量共有 (　　)

A．3个 B．6个
C．8个 D．12个
解析：选B　1个单位长度的向量有，，，，， 6个；2个单位长度的向量有，， 4个；3个单位长度的向量有， 2个．因此，共6＋4＋2＝12个，但其中＝＝，＝＝，＝，＝因此互不相等的向量最多只有6个．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.

解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解：(1)依据图形可知，，，与方向相同， ，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，.
(2)由四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.

层级(二)　能力提升练
1．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　　)
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
解析：选ACD　因为a与b为相等向量，所以a∥b，即A能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即C能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是A、C、D.
2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
解析：与平行且长度为的线段即为小正方形中与线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个．
答案：24
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||.
解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.
∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，
∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点．
∴∥，且||＝||.∵||＝2，
∴||＝||＝2.又∵||＝5，∴||＝3，
∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3.

5．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．


(2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点C1或C2时，|| 取得最小值 ＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，∴||的最大值为，最小值为.
层级(三)　素养培优练
一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变一个角度α，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变一个角度α，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零？
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
解：

(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零．
(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，
设n为操作次数，故有n(180°－α)＝(n－2)180°.
即α＝，n为不小于3的整数．
如：α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点．
α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．

6．2 平面向量的运算

6．2.1　向量的加法运算

明确目标
发展素养
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义．
2.掌握平面向量的加法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及加法运算律.
1.在学习向量加法运算的过程中，提升逻辑推理、数学运算素养．
2.通过对平面向量加法运算的几何意义的理解，提升数学抽象、直观想象素养.


知识点　向量的加法运算
(一)教材梳理填空
1．向量加法的定义及运算法则：
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形

向量加法的平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b
结论
对角线就是a与b的和
图形

规定
零向量与任意向量a的和都有a＋00a＝a
2.向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向时等号成立．
3．向量加法的运算律：
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． (√)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． (×)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． (×)
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
答案：D
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝ (　　)

A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B



题型一　向量的加法及其几何意义

【学透用活】

向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则的区别与联系
区别：(1)向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”．
(2)向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定．
[典例1]　

如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
[解]　法一(三角形法则)
可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.


如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．

法二

(平行四边形法则)　
如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求．

[深化探究]

(1)如图，已知四个非零向量a，b，c，d，求作和向量a＋b＋c＋d.

解：

如图，在平面上任选一点O，作向量＝a，＝b，＝c，＝d，则＝＋＋＋＝a＋b＋c＋d.
(2)典例1和上面第(1)题，都利用了向量加法的三角形法则，分别作出了三个、四个向量的和向量，你能据此写出求n个向量和向量的结果吗？

提示：向量求和的多边形法则．
已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则，即＋＋＋…＋＝.

[方法技巧]
1．应用向量加法的三角形法则求向量和的基本步骤
(1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
(2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和．
2．应用向量加法的平行四边形法则求向量和的基本步骤
(1)平移两个不共线的向量使之共起点．
(2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
(3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．　　

【对点练清】

如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.

解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.


题型二　向量加法及运算律的应用

【学透用活】

(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b；方案②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a.则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
(3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
[典例2]　

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)＋＝_________；
(2)＋＝_________；
(3)＋＋＝_________.
[解析]　如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知，
(1)＋＝＋＝.
(2)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
[答案]　(1)　(2)　(3)

[方法技巧]
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．　　
【对点练清】

1．[变设问]在本例条件下，求＋.
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.
2．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋.
解：(1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.

题型三　向量加法的实际应用

【学透用活】

[典例3]　一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离．
[解] 如图所示，

　
＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300 km，所以||＝300 km.
又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处．故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km.
[方法技巧]
应用向量解决实际应用问题的基本步骤
　　

【对点练清】

在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||，两次飞行的位移的和是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．因为∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在四边形ABCD中，＝，且|＋|＝|＋|，求证：四边形ABCD为矩形．
证明：因为四边形ABCD中，＝，所以四边形ABCD为平行四边形，如图．所以＋＝，＋＝＋＝.
因为|＋|＝|＋|，所以||＝||，
即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形．
二、应用性——强调学以致用

2.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°， ∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
[析题建模]


解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋ ＝ .因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知，当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，|a＋e|最大，最大值是3.

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形　　　　　　　　　 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.
2．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是 (　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
3.

如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝ (　　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
解析：选B　 ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示
(　　)
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km


解析：选B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.
5．(多选)下列命题是假命题的是 (　　)
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
解析：选ACD　A是假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；B是真命题；C是假命题，当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0；D是假命题，只有当a与b同向时，两式子相等，其他情况均为|a＋b|1)或反方向(λ－2，
故实数k的取值范围是(－2，＋∞)．
乙：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，
此时a，b方向相同，夹角为0°.
所以要使a与b的夹角为锐角，
则有a·b>0且a，b不同向．
由a·b＝2＋k>0，得k>－2，且k≠，
故实数k的取值范围是∪.
提示：比较两同学的解法可知甲同学的解答错误，乙同学的解答正确．甲同学的错误在于：a与b的夹角为锐角并不等价a·b>0，a·b>0等价于a与b的夹角为锐角或0°.事实上，由a与b的夹角为锐角应得出00，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.

6．4 平面向量的应用

6．4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例


明确目标
发展素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力.
通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养.



知识点一　平面几何中的向量方法
(一)教材梳理填空
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的应用：
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：
a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，用夹角公式：
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
(4)计算线段长度，常用模长公式：
||＝ .
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若△ABC为直角三角形，则有·＝0. (×)
(2)若向量∥，则AB∥CD. (×)
(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形． (√)
2．在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(－4, 7)，则BC边的中线AD的长是 (　　)
A．2　　　　　　　　　　 B.
C．3 D.
答案：B
3．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形　　　　　　　　　 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：C
知识点二　向量在物理中的应用
(一)教材梳理填空
1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与所产生的位移s的数量积．
(二)基本知能小试
1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 (　　)
A．7　　　 B．10　　　 C．14　　　 D．70
答案：D
2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 (　　)
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
答案：A
3. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝ (　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案：D


题型一　平面向量在几何证明中的应用

【学透用活】

[典例1]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.
[证明]　法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，
D(0,2)，E(1，0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
[方法技巧]
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题：
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线．
②利用向量的模证明线段相等．
③利用向量的数量积为0证明线段垂直．
(2)常用的两个方法：
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明．
②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　

【对点练清】
如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF.
证明：∵DG―→⊥，⊥，∴DG―→∥.
设＝λ (λ≠0)，则＝λDG―→.
同理＝λDH―→.于是＝－＝λ(DG―→－DH―→)＝λHG―→，∴HG―→∥，即HG∥EF.

题型二　平面几何中的求值问题

【学透用活】
[典例2]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.
∵||＝|a－b|＝
＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
[方法技巧]
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝.　　
【对点练清】

已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，
n表示)．
解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E.设F(x,0)，
则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，即AF＝.

题型三　平面向量在物理中的应用
[探究发现]
向量的数量积与功有什么联系？
提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
　　　
【学透用活】

[典例3]　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
[解]　设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
[方法技巧]
用向量方法解决物理问题的四个步骤

【对点练清】

1．[变设问]若本例条件不变，求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
2．[变条件]若本例条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴正方向同方向的单位向量)．求F1，F2分别对该质点做的功．
解：由题意知，＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)，故F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28.F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23.



【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船若要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
[错解]　渡船要垂直渡过长江，其航向应垂直于岸边，即直行即可．
[正解]　如图，
设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过
江的速度，因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠
CAD＝30°，即渡船要垂直过长江，其航向应为北偏西30°.
[易错矫正]　错解原因在于忽略了水流速度，因此用向量方法解决渡船在江河中的航向问题，不仅要考虑船的速度，还要考虑水流速度．
二、应用性——强调学以致用
2.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心 位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.
解： 设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.∵OQ―→＝＋，
∴OQ―→2＝(＋)2＝2＋2＋2·
＝2＋2－2||||cos(θ－45°)
＝3002＋(20t)2－2×300×20t×
＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得OQ―→2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 (　　)
A．v1－v2　　　　　　　　 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C　因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥，
所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．
3.如图所示，一力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为 (　　)
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
解析：选C　设小车的位移为s，则|s|＝10 m，
W＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝10×10×＝50(J)．
4．若O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O (　　)
A．在过点C且与AB垂直的直线上
B．在角A的平分线所在的直线上
C．在边AB的中线所在的直线上
D．以上都不对
解析：选A　设＝a，＝b，＝c，
则＝－ ＝c－b，＝－＝a－c.
又||2＋||2＝||2＋||2，
∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，
化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，
∴⊥，即AB⊥OC，故选A.
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 (　　)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC　设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c||cos α|＝| b||a||cos(90°±θ)|＝|b||a|sin θ，故选A、C.
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．
解析：设所用时间长短为t，则＝tv，
即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.
答案：3
7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.
答案：
8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．
解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际
行驶速度为v，
则|v0|＝5，|v|＝＝4.
∵v⊥v水，∴|v水|＝＝3，
即水流的速度为3 m/s.
层级(二)　能力提升练
1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的 (　　)
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C　
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，所以＋＝－.由向量加法的 平行四边形法则，知||＝2|ND―→|，故点N为△ABC的重心．
因为·＝·，所以(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，所以点P为△ABC的垂心．
2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，
则C(1, a)，＝(1, a)，＝(－1, a)．
因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．
答案：1
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．
解析：因为(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰三角形
4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.
证明：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
所以⊥，即AC⊥BD.
5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1
的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
层级(三)　素养培优练
1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为
5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0　98
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．

6．4.3　余弦定理、正弦定理

明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．
2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养.

第一课时　余弦定理



知识点　余弦定理
(一)教材梳理填空
1．余弦定理：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
语言
叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式
表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
推论
cos A＝，cos B＝，
cos C＝

[微思考]　勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (√)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． (√)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一． (×)
2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于 (　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．5
答案：C
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B．
C．2 D．3
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______.
答案：



题型一　已知两边和一角解三角形

【学透用活】

1．已知边a，b和角C.

2．已知边a，b和角A.

[典例1]　在△ABC中，
(1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A.
(2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
[解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，
所以b＝2. 由cos A＝，
得cos A＝＝.
因为0°