人教A版高中数学必修第二册第十章概率学案含答案

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第十章 | 概率

10．1　随机事件与概率

10．1.1　有限样本空间与随机事件

明确目标
发展素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．理解随机事件与样本点的关系.
通过对随机事件、必然事件、不可能事件的概念及样本空间的学习，培养数学抽象、数学建模素养.



知识点一　随机试验、样本点与样本空间
(一)教材梳理填空
1．随机试验的概念和特点：
(1)随机试验的概念
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)随机试验的特点
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间：

定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
用表示样本点
样本
空间
全体样本点的集合称为试验E的样本空间
用表示样本空间
有限样
本空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的． (×)
(2)“下周六是晴天”是下周六天气状况的一个样本点． (√)
(3)抛掷两枚骰子，向上的点数之和构成的样本空间为{1,2,3，…，11,12}． (×)
2．(多选)下列现象中，是随机现象的是 (　　)
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一颗炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品
答案：ACD
3．同时掷两枚大小相同的硬币，用(x，y)表示结果，则该实验包含的样本点数是 (　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
答案：B

知识点二　三种事件的定义
(一)教材梳理填空
随机

事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)在一次掷骰子试验中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，集合{1,3,5}一定会出现． (×)
(2)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形是必然事件． (√)
(3)“明天会下雨”是不可能事件． (×)
2．下列事件不是随机事件的是 (　　)
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
答案：B
3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为 (　　)
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
答案：C


题型一　样本空间
[探究发现]
(1)如何确定试验的样本空间？
提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
(2)写试验的样本空间要注意些什么？
提示：要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．
　　　
【学透用活】

[典例1]　一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是 (　　)
A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．Ω＝{(男，女)，(女，男)}
C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．Ω＝{(男，男)，(女，女)}
[解析]　用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
[答案]　C

[方法技巧]
样本空间中样本点的求法
(1)在写样本空间时，一般采用列举法写出，必须先明确事件发生的条件，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
(2)试验的样本空间最终结果应该写成集合的形式．　　
【对点练清】

已知袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下试验的样本空间．
(1)从中一次任取1球，观察球的颜色；
(2)从中一次任取2球，观察球的颜色．
解：(1)样本空间为Ω＝{红，白，黄，黑}．
(2)若记(x，y)表示一次试验中，取出的是x球与y球，样本空间为Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
题型二　三种事件的判断

【学透用活】

[典例2]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解]　(1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和都为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张，所以是随机事件．(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

[方法技巧]
对事件分类的两个关键点
条件
事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生
结果发生与否
有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况
　

【对点练清】

下列事件：
①任取一个整数，被2整除；
②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；
③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；
④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．
其中随机事件的个数是 (　　)
A．1　　　　　　　　　 B．3
C．0 D．4
解析：选B　①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的 事件，为必然事件．故选B.
题型三　随机事件与样本空间

【学透用活】

[典例3]　将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数．
(1)求样本空间中的样本点个数；
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”．
[解]　(1)法一：列举法　试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
法二：树状图法　一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图①所示．由图可知，共36个样本点．


法三：坐标系法如图②所示，坐标平面内的数表示相应两 次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．
由图可知，样本点个数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
[方法技巧]
(1)样本空间是指所有样本点构成的集合，而不是部分，写样本空间时，要做到不重不漏．
(2)随机事件可理解为样本空间的子集．　

【对点练清】

把一套分上、中、下三册的选集随机地放在书架上．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的个数；
(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点．
解：(1)将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间Ω＝{(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)}．(2)这个试验的样本点共有6个．(3)“上册在三册中的最左边”这一事件包含2个样本点：(上，中，下)，(上，下，中)．




【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，求事件“log2xy＝1”包含的样本点．
解：先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．Ω＝{(1,1), (1,2), (1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6),
(2,1), (2,2), (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6),
(3,1), (3,2), (3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6),
(4,1), (4,2), (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6),
(5,1), (5,2), (5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6),
(6,1), (6,2), (6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)},
解方程log2xy＝1，得y＝2x，
则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．
二、应用性——强调学以致用
2．“沉鱼”“落雁”“闭月”“羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，要求甲、乙抽签决定扮演的对象．
(1)写出这个试验的样本空间．
(2)写出事件A“甲不扮演貂蝉、乙不扮演杨贵妃”包含的样本点个数．
解：(1)甲选取的扮演对象用x表示，乙选取的扮演对象用y表示，那么试验的样本点用(x，y)表示．由题意得样本空间Ω＝{(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(西施，杨贵妃)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(昭君，杨贵妃)，(貂蝉，西施)，(貂蝉，昭君)，(貂蝉，杨贵妃)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)}．(2)事件A 包含的样本点为(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)，共7个．

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练
1．下列事件中，是必然事件的是 (　　)
A．13个人中至少有两个人生肖相同
B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
解析：选A　A为必然事件，B、C为不可能事件，D为随机事件．
2．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点个数是 (　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：选D　因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.
3．(多选)下列四个命题中正确的是 (　　)
A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B．“当x为某一实数时，可使x2