人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课后作业题

课时跟踪检测 （四十三） 事件的相互独立性

层级(一)　“四基”落实练

1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B                                                                                                                                            (　　)

A．相互独立但不互斥

B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥

D．既不相互独立也不互斥

解析：选A　对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．

2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是                                                                        (　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

3．有一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为                                                                                                                                            (　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　设仅有一人解出的事件为D，

则P(D)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.

4．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是                                                                                                      (　　)

A．0.56  B．0.92

C．0.94  D．0.96

解析：选C　∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.

5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是                                                                                                                                              (　　)

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为

D．2个球中恰有1个红球的概率为

解析：选ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，

则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立．

2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；

“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；

2个球中至少有1个红球的概率为

1－P()P()＝1－×＝，C正确；

2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选A、C、D.

6．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P( )＝________.

解析：∵P(A)＝，P(B)＝，

∴P()＝，P()＝.

∴P(A )＝P(A)P()＝×＝，

P( )＝P()P()＝×＝.

答案：　

7．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则P＝________.

解析：由题意，得(1－0.01)(1－P)＝0.960 3，解得P＝0.03.

答案：0.03

8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：

(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；

(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．

解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；

记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；

记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；

记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．

(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.

(2)易知D＝(A )∪(B)，

则P(D)＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)

＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.

层级(二)　能力提升练

1.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为                                                                      (　　)

A．0.504  B．0.994

C．0.496  D．0.064

解析：选B　由题意知，所求概率为1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.

2．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________．

解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件  为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件  为“取得红球”．

∵事件A与B相互独立，

∴事件  与  也相互独立．

∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为

P(AB∪　)＝P(AB)＋P(　)

＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.

答案：

3．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________．

解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，

P()＝，P(B)＝p，P()＝1－p，

依题意×(1－p)＋×p＝，解得p＝.

答案：

4．(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．

求甲学校获得冠军的概率．

解：设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为

P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)

＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)

＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)

＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04

＝0.6.

5．已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中至少有一个工作，C工作，D与E中至少有一个工作时能听到声音，且若D和E同时工作则有立体声效果．

(1)求能听到立体声效果的概率；

(2)求听不到声音的概率．

解：(1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.

(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，故听不到声音的概率为1－P2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9.

层级(三)　素养培优练

　在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立．

(1)求乙答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．

解：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件．由题意可知，P(A)＝，P( )＝P()P()＝×(1－x)＝，解得x＝，所以乙答对这道题的概率为P(B)＝.

(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y，由题可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝×y＝，解得y＝.

甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( )＝P()P()·P()＝××＝.

因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对”，所以P(M)＝1－＝.