2023年广东省广州市越秀区重点中学中考数学二模试卷-普通用卷

这是一份2023年广东省广州市越秀区重点中学中考数学二模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市越秀区重点中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，南北朝时期的官员独孤信的印信是迄今发现的中国古代唯一一枚楷书印．它的表面均由正方形和等边三角形组成如图，可以看成图所示的几何体．从正面看该几何体得到的平面图形是(    )

 A.  B.  C.  D. 3.  年月日，世卫组织公布，全球累计新冠确诊病例接近例，将用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列各式计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为(    )A.  B.  C.  D. 6.  甲、乙两个学习小组各有名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如图所示，其中“”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是(    )
A.  B.  C.  D. 7.  由个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )A.
B.
C.
D. 8.  孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为尺，绳子长为尺，根据题意列方程组正确的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，以正六边形的顶点为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为(    )A.
B.
C.
D. 10.  观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  代数式有意义，则实数的取值范围是        ．12.  因式分解：             ．13.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接则的周长为        结果保留根号．
 14.  小刚身高，他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶______ 15.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为______ ．
 16.  如图，是的弦，点是上一点，与点关于对称，交于点，交于点，交于点，且连接给出下面四个结论：；平分；平分；点为的内心其中，所有正确结论的序号是        ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：18.  本小题分
如图，，相交于点，且，延长到，延长到，，连接，求证：．
19.  本小题分
先化简，再求值，其中的值是一元二次方程的解．20.  本小题分
为保障学生的生命安全和心理健康，市政府开展“安全知识进校园”宣传活动为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取名学生进行了相关知识测试，将成绩成绩取整数分为“：分；：分；：分；：分及以下”四个等级进行统计，得到如图尚不完整的统计图表：
等级成绩的具体情况是： 分数分人数人根据图表提供的信息，解答下列问题：
请补全条形统计图；
等级成绩的中位数是        分；
假设全市有名学生都参加此次测试，若成绩在分以上含分为优秀，求全市成绩优秀的学生人数约有多少人．
21.  本小题分
如图所示，某居民楼后有一个小山坡，其坡度为：注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，小区准备在小山坡上加装广告牌已知广告牌底端到坡底的距离为米，水平地面上居民楼到坡底的距离为米，当太阳光线与水平线成角时，测得广告牌落在居民楼上的影子长为米．
求点所在位置的铅直高度；
求广告牌的高参考数据：
22.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在函数和的图象上，且，：：．
求，的值；
若点，分别在和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得≌，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
23.  本小题分
过上一点，可以用尺规按以下方法作出的切线：
另取上一点，以为圆心，为半径作圆，将与的另一个交点记为点；
以为圆心，为半径作弧，将与的另一个交点记为点，作直线．
直线即为的切线．
如图，小明已经完成了作图步骤．
用尺规完成作图步骤；
连接，，，，求证：平分；
求证：直线为的切线．
24.  本小题分
抛物线过点，抛物线的顶点为点．

若，求抛物线的顶点的坐标；
在的条件下，抛物线与轴交于点，且轴上有点，轴上是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若，将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点求证：直线过定点，并求出定点坐标．25.  本小题分
如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．
求的长；
连接，若，求证：；
若，试求的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
根据有理数大小比较的法则进行比较即可．
本题考查了有理数的大小，熟记正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数是解题关键．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查从不同方向看简单几何体，掌握从不同方向看简单几何体的图的画法是正确解答的关键．
根据从不同方向看简单几何体的图形，画出从正面所得到的图形即可．
【解答】
解：这个组合体从正面看到的图形如下：

故选：．  3.【答案】 【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用单项式乘多项式的法则，完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：这两个学习小组数学成绩高于分的同学有人，甲组有人，
从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是．
故选：．
直接根据概率公式计算即可
本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连接，，

设菱形的边长为，由题意得，，
，，
，
，
，
、、共线，
在中，．
故选：．
如图，连接、，先证明，、、共线，再根据，求出、即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 8.【答案】 【解析】解：设木条长为尺，绳子长为尺，
根据题意可得，
，
故选：．
本题的等量关系是：木长绳长；绳长木长，据此可列方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
 9.【答案】 【解析】解：设正六边形的边长为，圆锥的底面半径为，
六边形为正六边形，
，
根据题意得，
所以，
即该圆锥的底面半径与母线长之比为．
故选：．
设正六边形的边长为，圆锥的底面半径为，由于，则利用弧长公式得到，然后求出的值即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正六边形的性质．
 10.【答案】 【解析】解：由题意得：在上，在直线上，
，，
；
同理：，，
；
，，
；
，
．





．
故选：．
利用解析式求得，，，，，进而求得线段，，，将所求结果代入算式，利用题干中的方法解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，数字变化的规律，利用题干中的规律解答是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 13.【答案】 【解析】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转，
，，，
，
，
的周长，
故答案为：
由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：设手臂竖直举起时总高度，列方程得：，
解得：，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为．
故答案为：．
根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度，即可列方程解出的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
此题主要考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
 15.【答案】 【解析】解：作轴于，
设点坐标为，则，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
设点坐标为，用含代数式表示长度，再由三角形面积得的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数的关系，解题关键是通过设参数表示出点坐标，然后通过已知条件求出点横纵坐标的积的关系．
 16.【答案】 【解析】解：连接、，
点与关于对称，
垂直平分，
故正确，错误；
，，
，
，，
，
平分，
同理，平分，
平分，
点为的内心，
故正确，
故答案为：．
连接、，根据轴对称的性质得垂直平分，可知正确，错误；再利用等腰三角形的性质和圆周角定理可知平分，同理，平分，进而判断正确．
本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内心的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】证明：，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
． 【解析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
 19.【答案】解：原式

，
解方程得，，
时，原分式没有意义，
，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着利用因式分解法解方程得到，，然后根据分式有意义的条件得到取，最后把代入计算即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的化简求值．
 20.【答案】 【解析】解：的人数为：，
补全条形统计图如右图所示：
等级共有名学生，按照从小到大的顺序排列是
、、、、、、、、、、、、，
这组数据为中位数是．
故答案为：．
人，
答：该校成绩优秀的学生人数约有人．
用总人数减去、、三组的人数和即可得出组的人数，然后补全条形统计图即可；
组共有人，把数据按照从小到大从大到小的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
用乘以分以上的人数所占的比例即可得出人数．
本题主要考查的是条形统计图，解题的关键是掌握中位数的概念以及掌握用样本估计总体的方法．
 21.【答案】解：如图，过点作于点，延长，交于点．

根据题意和作图可知四边形为矩形，，
米，．
：，即，
故设米，则米，
在中，，即，
解得：舍去负值，
米；
即点所在位置的铅直高度为米；
由可知米，米，
米．
，
，即，
解得：米，
米，
米．
答：广告牌的高为米． 【解析】过点作于点，延长，交于点根据题意和作图可知四边形为矩形，，则米，由：得到，可设米，则米，在中利用勾股定理解得，即可得到答案；
由可知米，米，得到米．根据得到，求得米，得米，利用即可得到广告牌的高．
本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
 22.【答案】解：将点的坐标代入得：；
过点作轴于点，过点作轴于点，

四边形为矩形，则，
，，
，
，
∽，
：：，则和得相似比为：：，
则，，
故点，
将点的坐标代入并解得：，

由知，两个反比例函数的表达式分别为：、，
假设存在点、符合题设条件，
设点，点，如图：

由知，
，即，
即不合题意值已舍去；
≌，
，，
即且，
解得：且不合题意值已舍去；
则，
故存在符合题设要求的点、，它们的坐标分别为、． 【解析】利用∽，得到，，即，进而求解；
假设存在点、符合题设条件，则需要满足，利用≌，得到且满足，进而求解．
本题考查了反比例函数综合应用，涉及到三角形全等、反比例函数的基本性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．
 23.【答案】解：如图，直线为所作；

证明：在和中，
，
≌，
，
平分；
证明：连接交于点，如图，
为和的公共弦，
垂直平分，
，
，
，
，
而，
，
即，
，
为的半径，
为的切线． 【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
证明≌得到，从而得到结论；
连接交于点，如图，先根据两圆相交的性质得到垂直平分，则，再利用等角代换得到，即，然后根据切线的判定定理得到为的切线．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质和相交两圆的性质．
 24.【答案】解：当时，，
代入，得：，
解得或，
，
，
当时，，
；

当时，，
，
，
由勾股定理得，
当点在轴的负半轴时，如图所示，

，，
∽，
，
，
即，
，
，
，
由对称性可得，
综上所述，存在点，使得；
，且平移后的抛物线顶点在原点，
，
设的坐标为，
则直线可表示为：，
和抛物线联立得：，
解得：或，
设，
则的坐标为；
直线可表示为：，
和抛物线联立得：，
解得：或，
则的坐标为；
直线可表示为：，
当，，
直线过定点． 【解析】将和代入抛物线解析式求解即可；
先求出点坐标，再由勾股定理求出的长，当点在轴的负半轴时，证出∽，从而得到，得出的长，进而即可得出点的坐标；
根据题意求得，设的坐标为，分别用含的代数式表示出直线和直线的解析式，再联立抛物线解析式求出，两点坐标，设，最后列出直线含参数的解析式，即可求得定点坐标．
本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，二次函数平移的性质是解题的关键．
 25.【答案】解：菱形中，，
，
，
是等边三角形，
又，
；
解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，，

在与中，
，
≌，
，，
，是等边三角形，
，，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
一，
在中，，
，
，
；
如图所示，连接，，过点作于点，

将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，
当，，三点共线时，，此时取得最小值，
是等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
为的中点，当为的中点时，
，，则，
，，
，
，

，
又，，
，
，
当是的中点时，，，三点共线，
过点作于点，
，，．
，
在中，，
，
，
即的最小值为． 【解析】证明是等边三角形，即可求解；
延长至，使得，在上取，连接，，证明≌，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；
将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当，三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时或者设其他点为中点，再证明为中点，过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．