2022-2023学年江苏省南通市如东县高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如东县高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市如东县高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，则复数的实部与虚部的和为(    )A.  B.  C.  D. 3.  使命题“，”成立的一个充分不必要条件可以是(    )A.  B.  C.  D. 4.  为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行，若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中分及以上为及格，分及以上为优秀，则下列说法正确的是(    )
附：若，则，．A. 该校学生体育成绩的方差为 B. 该校学生体育成绩的期望为
C. 该校学生体育成绩的及格率小于 D. 该校学生体育成绩的优秀率大于6.  “碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某“碳中和”研究中心计划派名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻名专家，则分派方法的种数为(    )A.  B.  C.  D. 7.  某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为，，若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(    )A.  B.  C.  D. 8.  在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知函数，则下列关于的展开式的命题中，正确的是(    )A. 当时，的展开式共有项
B. 当时，的展开式第项与第项的二项式系数之比为：
C. 当时，的展开式中，各项系数之和为
D. 若第项和第项的二项式系数同时最大，则10.  教育部关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了名男生的体重情况根据所得数据绘制样本的频率直分图如图所示，则下列结论中正确的是(    )
A. 样本的众数为
B. 样本的百分位数为
C. 样本的平均值为
D. 该校男生中低于的学生大约为人11.  甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字，，，，乙四个面上分别标有数字，，，，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是(    )
 A. 当，时，到的距离为
B. 当时，点到平面的距离的最大值为
C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  展开式中的常数项为______．14.  甲、乙、丙、丁人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有______ 种不同的坐法．15.  某工厂为研究某种产品的产量吨与所需某种原材料的质量吨的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如表所示．残差观测值预测值根据表中数据，得出关于的经验回归方程为据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______．16.  已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内不含表面的一点，则的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划明确提出建立“百十万干”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业，如表是某地各年新增企业数量的有关数据： 年份年年份代码新增企业数量：请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归方程，并预测年此地新增企业的数量；
若在此地进行考察，考察企业中有个为“专精特新”企业，个为普通企业，现从这个企业中随机抽取个，用表示抽取的个为“专精特新”企业个数，求随机变量的分布列与期望．
参考公式：
回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．18.  本小题分
新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年月份购买本车企生产的汽车的位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：
单位：人 购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性女性总计根据表中数据，在犯错误的概率不超过的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年月份售出的汽车中，随机抽取辆汽车，设被抽取的辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为，求的分布列及数学期望．
附：，． 19.  本小题分
如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，．
证明：平面；
在棱上有一点不包括端点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离．
20.  本小题分
如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得平面平面，如图．
证明：平面平面；
为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
 21.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与它到直线：的距离之比为．
求动点的轨迹方程；
点为直线上的动点，过点的动直线与动点的轨迹相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，，求证：点总在一条动直线上且该动直线恒过定点．22.  本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
证明：当时，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，．
故选：．
求解一元二次不等式化简，求解函数定义域可得，再由并集运算的定义得答案．
本题考查并集及其运算，考查不等式的解法及函数定义域的求法，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
复数的实部与虚部的和为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，，
即在上恒成立，只需，
又，所以，则，
又，，，
所以使命题“，”成立的一个充分不必要条件可以是．
故选：．
求出已知命题恒成立的的范围，然后根据充分不必要条件的定义以及集合的包含关系对各个选项逐个分析即可判断求解．
本题考查了充分必要条件的定义以及恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：．
故选：．
由题意可得，求出的范围，即可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了概率的计算，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：因为，
所以该校学生体育成绩的期望为，方差为，所以，B错误；
因为分及以上为及格，
所以，C正确；
因为分及以上为优秀，
所以，D错误．
故选：．
根据正态分布的特征可求，选项的正误，根据优秀和及格的标准可得，选项的正误．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，有一个地方去个专家，另二个地方各去个专家，
共有，
所以分派方法的种数为．
故选：．
根据题意，结合排列和组合的性质进行求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：一个被保险人在一年内出事故的概率为．
故选：．
由已知，一个被保险人在一年内发生事故分成三种情况，再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式即可得．
本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，，由余弦定理得，
，，是以为直角顶点的直角三角形，
中点为外接圆的圆心，三棱锥的外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，
设外接球的球心为，连接，，
当平面时，外接球半径最小，
又三棱锥的体积为，
，，
，即，解得，
又，
过作于，连接，可得为侧面与底面所成二面角的平面角，
易求，

．
故选：．
由已知可得是以为直角顶点的直角三角形，三棱锥的外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，当球心在此直线线时，外接球半径最小，据此计算可求的值．
本题考查空间几何体的性质，考查外接的半径的求法，考查二面角的求法，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，易知当时，展开式共有项，故A错误；
对于，时，展开式第项与第项的二项式系数之比为，故B正确；
对于，时，设，
令，得，故C错误；
对于，若第项和第项的二项式系数同时最大，则，故D正确．
故选：．
利用二项式定理对选项逐一分析即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，样本的众数为，故A正确；
对于，由频率分布直方图可知样本的分位数为，故B正确；
对于，由直方图估计样本平均值为：
，故C错误；
对于，名男生体重低于的人数大约为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，利用频率分布直方图计算众数，判断；求出样本的分位数，判断；求出平均值，判断；再计算出该校男生中低于公斤的学生人数，判断．
本题考查样本的众数、频率分布直方图、样本平均值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，
甲四个面上分别标有数字，，，，乙四个面上分别标有数字，，，，
同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，
事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，
则，，，
，故A正确；
，，，
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
利用古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式以及条件概率公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：．，，
点在上，，到的距离为，故A错误．
B.当时，，、，即，即，、，
点在平面上，
则当位于上，到平面的距离的最大，此时的最大值为，故B错误．

C.当，时，，
即，
则位于线段上，当位于时，直线与平面所成角的正切值最大，
此时，即正切值最大为，故C正确，

D.当，时，，即是中点，

则，
则四棱锥外接球的球心在与中点的连线上，且过长方形的对角线的交点，
，则，，
设球心为，球半径为，
则，即，
得，则外接球的表面积，故D正确．
故选：．
根据向量共线关系，确定点的位置，根据点到直线的距离，点到平面的距离以及线面角，球的表面积公式分别进行判断即可．
本题主要考查空间点线面位置关系的判断，根据条件确定的位置关系，利用距离公式，线面角的定义以及球半径的求法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解： 的展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式中的常数项为，
故答案为：．
由于，在它的二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：先排甲乙，共有种方法，产生个空，要求甲、乙两人位于丙的同侧，故丙有种选择，
三人排好后，产生个空，故丁有种选择，
故共有种不同的坐法．
故答案为：．
先排甲乙，共有种方法，产生个空，要求甲、乙两人位于丙的同侧，故丙有种选择，三人排好后，产生个空，故丁有种选择，再结合分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：在样本处的残差为，
，解得，
经验回归方程为，
，，
则，解得．
故答案为：．
由在样本处的残差求，可得线性回归方程，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：建立空间直角坐标系，如图所示：
正六棱柱的底面边长为，
所以，，，，
设，则，
所以，，
所以，且，
即的取值范围是
故答案为：
建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出的取值范围．
本题考查了空间向量的数量积计算问题，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，是基础题．
 17.【答案】解：，，
，
，
所以，，
所以，
年，即当时，由线性回归方程可得，
所以估计年此地新增企业的数量的为家；
由题意可知，的可能取值为，，，，
因为，，
，，
所以的分布列为： 所以． 【解析】求得，的平均值，根据最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即可求得答案，将代入回归直线方程，即可预测年此地新增企业的数量；
由题意可得可能取值为，，，，根据超几何分布的概率计算求得的分布列，进而求得期望．
本题考查了线性回归方程和离散型随机变量的分布列与期望，属中档题．
 18.【答案】解：设零假设为：购车种类与性别无关，
根据数表可得，
所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为购车种类与性别有关．
随机抽取辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，
被抽取的辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为，的可能值为：，，，，
依题意，，
，，，，
所以的分布列为：         的数学期望． 【解析】根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答．
求出抽取传统燃油汽车的概率、的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答．
本题主要考查了独立性检验的实际应用，考查了二项分布的分布列和期望，属于中档题．
 19.【答案】证明：取的中点，连接，，

因为，且，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为是菱形，所以，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面；
解：连接交于，取中点，
，平面，平面，且，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设在棱上存在点使得平面与平面的夹角余弦值为，

则设，，
所以
设平面的一个法向量为，
则，即，令，，，
得，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
得，
，
解得或，又，
，此时，，
点到平面的距离． 【解析】取的中点，证明是平行四边形即可证明结论；
连接交于，取中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合平面的向量夹角公式求出点坐标，再利用向量距离公式即可求出点到平面的距离．
本题考查了线面平行的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 20.【答案】证明：在矩形中，，，是的中点，
所以，所以，
在折叠后的图形中，也有，
因为平面平面，平面平面，
平面且，所以平面，
因为平面，所以，
因为，且，
所以平面．
又因为平面，
平面平面．
解：取的中点，的中点，连，，
因为，所以，因为，，所以，
因为平面，所以，所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：

则，
则，
设平面的法向量，
则，令，得，，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】由平面平面平面；
先说明，，两两垂直，再以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果．
本题考查面面垂直及空间角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：设动点，由动点到定点的距离与它到直线：的距离之比为．
得，
化简得，即点的轨迹方程为；
证明：设，，，，
直线的斜率显然存在设为，则的方程为，
因为，，，四点共线，不妨设，
由，可得，，
即，
，
所以，，
，，
可得，化简可得，
联立直线和椭圆的方程：
，消去得：，
由韦达定理，代入
化简得，即，
又代入上式：，化简：，
所以点总在一条动直线上，且该直线过定点． 【解析】设动点，根据条件列出方程，整理即可求解．
设直线的方程为，将条件翻译成代数式，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理消元即可．
本题考查了动点的轨迹方程以及椭圆中的直线过定点问题，属于中档题．
 22.【答案】解：函数的定义域为，，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立． 【解析】求导，再根据导函数的符号即可得出答案；
当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证．
本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度．