2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 或2.  若的概率分布列为： 则等于(    )A.  B.  C.  D. 3.  若函数，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某试验每次成功的概率为，现重复进行次该试验，则恰好有次试验未成功的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则(    )
附：，．A.  B.  C.  D. 7.  的展开式中的系数是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则下列结论正确的有(    )A. 抽出的件产品中恰好有件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的件产品中至少有件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的件产品中至多有件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的件产品中至少有件是不合格品的抽法有种10.  下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 11.  如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有(    )
A. 在区间上是增函数
B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
C. 是的极大值点
D. 是的极小值点12.  在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是(    )A. 函数有个不动点
B. 函数有个不动点
C. 若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D. 若函数在区间上存在不动点，则实数满足为自然对数的底数三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  一袋中有大小相同的个红球和个白球，从中任取球，恰有两个白球的概率是______ ．14.  若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______ ．15.  有______ 个不同的正因数用数字作答
 16.  如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供种颜色给“弦图”的个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______ 种用数字作答
 
 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为．
求；
求展开式中的常数项．18.  本小题分
求函数．
求在处的切线方程；
求在区间内的值域．19.  本小题分
有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数算出具体数字
排成前后两排，前排人，后排人；
全体排成一排，女生必须站在一起；
全体排成一排，男生互不相邻；
全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．20.  本小题分
甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题．答对一题加分，答错一题不答视为答错得分．
Ⅰ求乙得分的分布列和数学期望；
Ⅱ规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．21.  本小题分
一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形如图所示，其中为圆心，，在半圆上，设，木梁的体积为单位：，表面积为单位：
求关于的函数表达式；
求的值，使体积最大．
22.  本小题分
已知函数
讨论的单调性
当时，证明

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由，得或，
即或．
故选：．
由已知直接利用组合数的性质求解．
本题考查组合数的性质，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
求出的值，再由期望的公式计算即可．
本题考查了对离散型随机变量的期望的计算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
故，
．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，以及导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，
则，，
则．
故选：．
根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及古典概率的计算，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，某试验每次成功的概率为，现重复进行次该试验，
则其中恰好有次试验未成功，即有次成功的概率．
故选：．
根据题意，由二项分布的性质计算可得答案．
本题考查二项分布的性质，涉及独立重复试验，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：其概率分布密度函数在处取得最大值为，
则，，解得，
故，
．
故选：．
根据已知条件，结合概率分布密度函数，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：的展开式中的系数是：
．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：已知，
不妨令，，
则等价于，
整理得，
即，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
又，，
所以在区间上存在唯一，使得，
即，
整理得，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递减，
所以，
易知在上为减函数，
所以，
则，
所以的取值范围为．
故选：．
由题意，利用换元法，令，，将所给不等式转化成，构造函数，对进行求导，根据零点存在性定理可得在区间上存在唯一，使得，利用导数的几何意义得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意，若抽出的件产品中恰好有件是不合格品，即抽出的件产品中有件合格品，件不合格品，
则合格品的取法有种，不合格品的取法有种，
则恰好有件是不合格品的取法有种取法，则A正确；
若抽出的件中至少有件是不合格品，有种情况，
抽出的件产品中有件合格品，件不合格品，有种取法，
抽出的件产品中有件合格品，件不合格品，有种取法，
则抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种，则B正确；
若抽出的件产品中至多有件是不合格品，用间接法分析：在件产品中任选件，有种取法，
其中有件为不合格品的抽法有种，
则至多有件是不合格品的抽法有有种，则C错误；
也可以使用间接法：在件产品中任选件，有种取法，
其中全部为合格品的取法有种，
则抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种取法，则D正确；
故选：．
根据题意，由排列组合公式依次分析选项，即可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
由题意利用排列数公式、组合数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意利用排列、组合数公式，可得，故A正确；
，，
，故B成立；
，，，故C错误；
，故D成立，
故选：．  11.【答案】 【解析】解：由的导数的图象，可得，
当时，，当时，，
在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，A错误，B正确；
是的极小值点，是的极大值点，CD正确．
故选：．
利用的导数的图象，对四个选项逐一判断即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，要求能理解函数性质的基础上，利用基础知识探究新的问题，属于中档题解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于较难题．
利用“不动点”的定义，研究的零点个数，构造新函数，结合导数研究函数的单调性即可判断选项A，同样构造新函数结合导数研究函数的单调性判断选项B，利用奇函数的性质结合是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，即可判断选项C，将函数在区间上存在不动点，转化为在上有解，然后构造新函数，利用导数研究函数的性质进行分析，即可判断选项D．【解答】解：对于，令，则，
当时，，当时，，
所以，所以函数有个不动点，故A正确．
对于，令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使成立，所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项B错误；
对于，因为是上的奇函数，则为定义在上的奇函数，所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以一定有奇数个“不动点”，故C正确；
对于，因为函数在区间上存在不动点，则在上有解，则在上有解，令，则，再令，则，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，，所以实数满足为自然对数的底数，故D正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：一袋中有大小相同的个红球和个白球，从中任取球，恰有两个白球的概率是．
故答案为：．
利用古典概型概率公式列式计算即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：；
在上是单调函数；
对于恒成立；
；
，
实数的取值范围为，
故答案为：．
先求，而在上是单调函数，则二次函数在上恒成立，，即可求出实数的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：，
设的正因数为，其中，，，，
则共有个．
故答案为：．
先将分解成，然后根据正因数的特点，利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：区域，可以颜色相同，，可以颜色相同，
若颜色都不相同，则有种，
若只有，颜色相同，则有种，
若只有，颜色相同，则有种，
若，同时颜色相同，则有种，
则共有种．
故答案为：．
区域，可以颜色相同，，可以颜色相同，然后利用分类讨论思想进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想进行计数是解决本题的关键，是基础题．
 17.【答案】解：由题意得，二项式的展开式中第三项的二项式系数为，
化简可得，
化简得，
解得或负值舍去．
故有．
由通项公式得，
结合，且，
令，求得，
可得常数项为． 【解析】由题意，利用组合数的计算公式，求得正整数的值．
由题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，可得展开式中常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，组合数公式的计算，属于基础题．
 18.【答案】解：由得：
，，，
所以求在处的切线方程为：，
即；
令，得或，
在递增，在递减，在递增，
而，，，，
在区间上的值域为：． 【解析】求出函数的导数，计算，即切线的斜率，计算，代入切线方程整理即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值即可．
本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．
 19.【答案】解：根据题意，先在人中选出人，排在前排，有种排法，剩下人，排在后排，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分步进行分析：
将名女生看成一个整体，有种排法，
将这个整体与名男生全排列，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分步进行分析：
先将名女生全排列，有种排法，
排好后有个空位，在个空位中任选个，安排名男生，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分种情况讨论：
甲不排在最右边，则乙有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其他个位置，
此时有种排法；
甲排在最右边，则乙有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其他个位置，
此时有种排法；
则一共有种不同的排法． 【解析】根据题意，分步分析前排、后排的排法，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，先将名女生看成一个整体，再将这个整体与名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，按甲是否在最右边分种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 20.【答案】解：Ⅰ设乙的得分为，的可能值有，，，，
，，
，，
乙得分的分布列为：所以，
所以乙得分的数学期望为；
Ⅱ由题意，每个人至少得分才能通过测试，
所以乙通过测试的概率为，
甲通过测试的概率为，
甲、乙都没通过测试的概率为，
因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为． 【解析】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查数据处理能力，属于中档题．
Ⅰ确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；
Ⅱ利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
 21.【答案】解：木梁的侧面积
，，
梯形的面积，，
体积，；

令，得，或舍，，．
当时，，，是增函数；
当时，，，是减函数．
当时，体积最大． 【解析】列出梯形的面积，，
求解体积，
，，求解导数得出，根据导数与单调性的关系求解．
本题考查了三角函数在解决实际问题中的运用，导数在解决复杂函数最值中的运用，关键准确求解导数．
 22.【答案】解：，
，，
当时，恒成立，此时函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可知，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
从而要证，只要证，
令，则，问题转化为证明，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，即成立，
当时，成立． 【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
由求出函数的最大值，令，则，问题转化为证明，令，根据函数的单调性证明即可．