2023年新疆喀什地区叶城重点中学高考数学最后一诊试卷（含解析）

2023年新疆喀什地区叶城重点中学高考数学最后一诊试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，若与模相等，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于年发明的机械益智玩具魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一已知经典三阶魔方如图自由转动之后的色块组合约有种，现将下图已还原的魔方按步打乱，且每一步互相独立，则共有种打乱方式．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆：，直线：，则圆与直线(    )

A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交且直线过圆的圆心

7.  已知一立方体刚好可以装下一颗半径为的球，则此立方体外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则以下说法正确的是(    )

A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 有无数零点 D.

9.  在中，，且，已知为边的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知双曲线其中一条渐近线与直线垂直，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是(    )

A.  B. 的周期为
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图是一个半径为且内接一个正三角形的圆，现随机向圆内内扔一粒米，则米粒落入三角形区域的概率为______ ．

14.  已知向量，，且，，则的最小值为______ ．

15.  已知：如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列；：如果数列是等差数列，那么数列也是等差数列以下哪些为真命题______ ．



 

16.  函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

18.  本小题分
离高考还有最后一周，我校进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三个班级每个班随机抽名同学进行问卷，统计数据如图，

附：参考公式：，其中．

求；
依据上表，判断是否有的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关．

19.  本小题分
如图，在正四棱柱中，，、分别为、的中点．
求证：平面；
求与平面夹角的余弦值．

20.  本小题分
已知抛物线：上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大．
求的标准方程；
若倾斜角为的直线经过的焦点并与相交于，两点，求以为直径的圆的标准方程．

21.  本小题分
已知函数．
求出函数的单调区间；
若，求的最小值．

22.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
写出的普通方程；
写出直线的直角坐标方程并判断与有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．

23.  本小题分
已知．
若，求的解集；
若恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
所以．
故选：．
先求出集合，，再根据补集的定义即可得解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
所以．
故选：．
根据即可得到的值，进而可以用复数的四则运算法则进行计算．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
故，而又已知，且，
所以，
解得．
故选：．
利用坐标求出的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于的方程，问题即可得到解决．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若以红色的一面为正面，分成三行三列，每一行可以左右旋转，每一列可以上下旋转，此时有种旋转方式；
接着侧面以绿色一面为例，每一列都可以上下旋转，此时有种旋转方式，
故每一次旋转魔方，共有种旋转方式，
所以按步打乱，且每一步互相独立，则共有种打乱方式．
故选：．
按魔方的正面和侧面进行分析，得到每一次的旋转方式共有种，即可得到答案
本题主要考查简单计数问题，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，则，
且，则，，
可得，即，
解得或舍去．
故选：．
利用倍角公式结合同角三角关系运算求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由可得，
故圆心，半径，
则圆心到直线：的距离，
故直线与圆相切．
故选：．
根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，立方体的棱长为，
所以立方体外接球的半径，
所以外接球的表面积．
故选：．
由题意求得立方体的棱长，以及外接球的半径，即可求表面积．
本题主要考查了立方体的内切球和外接球问题，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：易知的定义域为，因为，
所以为偶函数，故选项A错误；
因为不是周期函数，所以不是周期函数，故选项B错误；
令，即，解得，故选项C正确；
因为，所以，故选项D错误．
故选：．
根据定义判断函数的奇偶性和周期性；通过解方程获得函数的零点；导数的计算要准确．
本题主要考查了函数奇偶性，周期性及函数零点的判断，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，且，为边的中点，
所以，
所以
，
所以．
故选：．
利用三角形边与中线之间的向量关系可以求中线的长．
本题考查解三角形问题，向量数量积的运算，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的通项公式，属于基础题．
写出二项式展开式的通项并整理，令的次数为，求出，代入系数运算即可．

【解答】

解：二项式展开式的通项为，
令，得，
所以的系数为，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由于双曲线的一条渐近线和直线垂直，
故该渐近线的斜率，
所以双曲线的离心率为，
故选：．
根据直线垂直关系，可以找到，关系，将其转化为离心率即可．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为函数是上的奇函数，
所以，且，故A正确；
因为，所以的周期为，故B正确；
由，
令，则，所以，
所以，故C错误；
，，
所以，故D正确．
故选：．
由函数是上的奇函数，可得，且，即可判断，根据即可判断，根据，令，求出，再结合函数的周期性即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正三角形的边长为，
由正弦定理可得，解得，
所以正三角形的面积为，
所以米粒落入三角形区域的概率为．
故答案为：．
设正三角形的边长为，通过正弦定理算出，然后算出正三角形的面积和圆的面积即可求出答案．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由得，因为，，
故，
当且仅当时等号成立．
故答案为：．
求出，用基本不等式“”的代换求最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列，正确，
，为常数，故命题是真命题，
如果数列是等差数列，那么数列也是等差数列，是假命题，
比如是等差数列，，不是等差数列，故是假命题．
则是假命题，是真命题，是假命题，是真命题．
故答案为：．
根据等差数列和等比数列的性质，分别判断命题，的真假，根据复合命题真假关系进行判断即可．
本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题，的真假是解决本题的关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：向左平移个单位长度后，得，
因为函数关于对称，
所以，，
，，
所以的最小值为．
故答案为：．
先求平移后的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
，
，
又当时，适合上式，
；
由得，则，
，
则，
由得，
． 

【解析】根据题干已知条件并结合公式即可得出答案；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得高三个班级共抽取名，
所以，
解得；
利用列联表可得，
所以有的把握认为高三学生可与学习时间超过两小时跟学生成绩有关． 

【解析】由题意可得抽取的学生为名，列等式即可；
利用，求得，与临界表对照下结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

19.【答案】证明：由为交点，连接，交于点，连接，由为中点，
则，
由平面，平面，
所以平面；
解：连接，交于点，连接，
由平面，则，
又，且，
所以平面，
所以平面，
又平面平面，
作于，则平面且为中点，
则为与平面所成角，
由，不妨设，
则，，
所以． 

【解析】利用线面平行的判定，只要证明平行于平面内一条直线即可；
如图，利用面面垂直确定线面角为，解三角形即可．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了求直线与平面所成的角，属于中档题．
 

20.【答案】解：由抛物线：可得，
故点到直线的距离比到焦点的距离大，
即点到直线的距离等于到焦点的距离，
所以，即，
所以的标准方程；
抛物线：的焦点为，设点、，

直线的方程为，联立，可得，
，
所以，
所以，，
所以线段的中点为，
所以以为直径的圆的标准方程为． 

【解析】根据题意可得点到直线的距离等于到焦点的距离，然后利用抛物线的定义进行求解即可；
将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式和中点坐标公式可求得结果．
本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，
，
令，则或，令，则，
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；
，，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以． 

【解析】先求出函数的定义域，求导，再根据导数的符号即可求得函数的单调区间；
求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：由平方可得，
又因为，
所以，
因为，当且仅当即时，取等号，
所以的普通方程为；
由直线的极坐标方程为可得直线的直角坐标方程为，
代入的普通方程可得，解得，
因为，所以舍去，无解，
所以与没有交点． 

【解析】对参数方程进行消元，且利用基本不等式得到限制条件即可；
将直线转化成直角坐标方程，代入的方程，结合限制条件即可求解．
本题主要考查参数方程化成普通方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：由题意可得，即或，
解得或，
所以的解集为或；
由题意可得恒成立，整理可得恒成立，
故求出的最小值即可，
因为，
所以当时，单调递增，此时；
当时，单调递减，此时，
综上所述，的最小值为，
所以的取值范围为． 

【解析】去掉绝对值，然后求不等式即可；
题意可转化成恒成立，故求出的最小值即可．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．