2023年江苏省重点学校高考数学三模试卷（含解析）

2023年江苏省重点学校高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数这个函数的图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知非零向量，满足，，，若，则向量在向量方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知集合，若，均为的非空子集且，则满足条件的有序集合对的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  约翰开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比：恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  有一直角转弯的走廊两侧与顶部部封闭，已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊设可通过的最大极限长度为米不计硬管粗细为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的导函数满足：，且若函数有且只有一个零点，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，，为空间中三条不同的直线，，，，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有(    )

A. 若，，则
B. 已知，，，若，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

10.  记为随机事件，下列说法正确的是(    )

A. 若事件，互斥，，，则
B. 若事件，相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

11.  已知双曲线，直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点当点变化时，点之变化则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C. 点坐标可以是 D. 有最大值

12.  三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作天文学大成中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设随机变量，则 ______ ．

14.  展开式中的常数项为______ ．

15.  已知抛物线：，圆：，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______ ．

16.  已知数列满足，，当时， ______ ；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数的值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，其中，函数的最小正周期为
求函数的单调递增区间：
在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且满足，求的取值范围．

18.  本小题分
已知正项数列满足，．
求的通项公式；
记，求数列的前项的和．

19.  本小题分
如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，四锥的高，点为线段上一个动点．
当时，证明：平面；
当点在什么位置时，直线和平面所成角的正弦值最大．

20.  本小题分
一只不透朋的袋中装有个相同的小球，分别标有数字，先后从袋中随机取两只小球用事件表示“第二次取出小球的标号是”，事件表示“两次取出小球的标号之和是”．
若用不放回的方式取球，求；
若用有放回的方式取球，求证：事件与事件相互独立的充要条件是．

21.  本小题分
已知椭圆：，椭圆上有四个动点，，，，，与相交于点如图所示．
当，恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值：否则，请说明理由；
若点的坐标为，求直线的斜率．

22.  本小题分
已知函数，．
若与的图象恰好相切，求实数的值；
设函数的两个不同极值点分别为，
求实数的取值范围：
若不等式恒成立，求正数的取值范围为自然对数的底数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故复数在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：观察可知阴影部分的面积变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求．
故选：．
由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项．
本题考查直线与圆相交的性质，函数思想、识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
又，，即，
，得．
向量在向量方向上的投影向量为．
故选：．
由已知求得，进一步得到，再由投影向量的定义得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查投影向量的概念，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，或或或或或或，共构成的有序集合对对，同理或或时，分别都构成对；
时，或或共对，同理或或或或时，分别都构成对；
时，共对，同理或或时，分别都构成对，
满足条件的有序集合对的个数为．
故选：．
可求出时构成的的对数为，从而得出或或时，分别都构成对；时构成对，从而得出或或或或时，分别构成对；时构成对，从而得出或或时，分别都构成对，最后即可得出满足条件的有序集合对的个数．
本题考查了交集的定义及运算，集合的列举法的定义，考查了计算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个数字是，则平均数为，众数是，
若，则中位数为，此时，
，
若，则中位数为，此时，
，
若，则中位数为，，
，
所有可能值为，，，其和为．
故选：．
设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出等式关系，因为所写出的结果对于的值不同所得的结果不同，所以要讨论的三种不同情况，从而求出所求．
本题主要考查了众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设土星轨道所在球面半径为，内接正六面体边长为，则，，
正六面体内切球半径，正四面体边长，，，
，
正四面体内切球半径，．
故选：．
设土星轨道所在球面半径为，内接正六面体边长为，由已知可得，正四面体边长，可得，进而可求土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值．
本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，铁管不倾斜时，令，，

，，，
，，
在上单调递减，在上单调递增，
，此时通过最大长度，，
倾斜后能通过的最大长度，．
故选：．
设，将表示出来，利用导数求最值即可．
本题利用三角函数的性质，利用导数求最值，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，
则，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
令，则有，
由题意可得有且仅有一个解，
又因为，当且仅当，即时，取等号，
又因为，
所以当，即时，当时，取等号，
此时，有且仅有一个解．
故选：．
令，求导得，从而得，由，可得，则有，所以有有且仅有一个解，由基本不等式可得，由三角函数的性质可得，从而可得，求解即可得答案．
本题考查了导数的综合运用、基本不等式的运用、三角函数的性质及函数的零点，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，与可以平行、相交或异面，A错误；
对于，由平面的基本性质，、、三条直线交于一点或互相平行，若，必有，B正确；
对于，若，，则，又由，则，C正确；
对于，若，，，则与可能平行，D错误．
故选：．
根据题意，由直线与平面的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面与平面平行、垂直的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，事件，互斥，则，
故，A错误；
对于，，B正确；
对于，设，由于，则，
则，即，解可得，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
根据题意，由互斥事件、相互独立事件的概率性质以及条件概率公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及相互独立事件和互斥事件的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：消可得，直线与双曲线只有一个公共点，则，
，，对；
，
，令，
令错；
，则，
对；

对．
故选：．
直线与双曲线联立消可得，利用韦达定理和基本不等式即可一一判断．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，
，
，故A错误．
对于，，，
，，，故B正确；
对于，令，，，
，，
，，故C正确；
对于，令，若，则，
令，则，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，但，
，，故D错误．
故选：．
利用正弦函数的单调性判断；利用正弦函数和余弦函数的性质判断；利用余弦函数和对数的性质判断；利用导数性质、函数的单调性判断．
本题考查正弦函数、余弦函数、对数的性质、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于符合超几何分布，
所以．
故答案为：．
根据超几何分布分布列计算公式，计算出．
本小题主要考查超几何分布的概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：展开式，
二项式的展开式，
故得到的展开式为，
当满足为常数项，
所以，
故．
故答案为：．
直接利用二项展开式和组合数的求法计算出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由抛物线：，可得焦点，准线方程为，
由圆：，可得圆心即为抛物线的焦点，
，
，
，，
，
，
解得，
点的横坐标的取值范围是
故答案为：
由已知可得，进而可得，求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
，
则 
，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即
当时，．
因为，所以，
要使的所有项仅取有限个不同的值，则，
此时，，
否则时，的取值有无穷多个．
故答案为：；．
由题设递推式出发，抓住奇数项与偶数项的关系进行推理，结合可化为等比数列的递推关系求出的表达式．再根据表达式对第二问进行判断．
本题以分段函数为载体，考查了数列的递推关系，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，，
所以函数




，
因为的最小正周期为，所以；
所以
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
在锐角中，，
因为，所以，所以，解得，
所以，
因为，所以，解得，
所以，所以，
即的取值范围是 

【解析】利用平面向量的数量积求出函数的解析式，再求的单调递增区间．
根据求出的值，由正弦定理化，再根据题意求出的取值范围，即可求出的取值范围．
本题考查了平面向量的坐标运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用问题，也考查了函数思想和转化思想，是中档题．
 

18.【答案】解：，
当时，

，
，．
当时，适合上式，
；
，
数列的前项的和． 

【解析】由已知利用累加法求，开方可得的通项公式；
把的通项公式代入，整理后即可求数列的前项的和．
本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：，，
是正三角形，则，
又底面圆，底面圆，
，
在中，，
，
是正三角形，．
，，
，即，
同理可证，
又，，平面，
平面．
如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
故
设直线和平面所成的角为，
则，

，
当且仅当，即时，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，
故点在距离点处． 

【解析】根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法和基本不等式进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的应用，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法和基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：；
证明：若事件与事件相互独立，则，
事件表示第一次取出小球的标号是，第二次取出小球的标号是，
则，，
，即事件有种取法，
若为偶数，则第一次的取法为，，，，，
则共有种，，与为偶数矛盾，
若为奇数，则第一次的取法为，，，，，
则共有种，，符合题意，
所以若事件与事件相互独立，则成立，
若，则第一次取出小球的标号是，
，，，
，
所以若，则事件与事件相互独立，
综上，事件与事件相互独立的充要条件是． 

【解析】利用古典概型的概率公式，求解即可；
利用相互独立事件的概率乘法公式，充要条件的定义证明即可．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，充要条件的证明，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，，所以，，所以，
设直线的方程为，设，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，，
所以
，
故直线与的斜率之积是定值，且定值为．
设，，记，
得，所以，
又，均在椭圆上，所以化简得，
化简得，
因为，所以，同理可得，
即直线：，所以的斜率为． 

【解析】由题意可昨，的坐标，进而的斜率，进而可设直线的方程为，设，联立方程组可得，，可得．
设，，记，可得，利用，均在椭圆上，可得直线：，可得直线的斜率．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为函数，，求导数得，
设与图象的切点为，
所以，解得，；
因为函数，定义域为，则．
由题意知有两个不等实根，，
设函数，则，所以，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减．
所以的极大值也是最大值为．
因为有两个不同的零点，所以，即，解得；
当时，若时，则恒成立，所以至多一个零点，不符合题意，
所以．
现证明：当时，有两个不同的零点．
因为，，所以在区间内有唯一零点；
所以，令，设函数，则，
所以，所以，在区间内有唯一的零点．
综上，实数的取值范围是
由题设条件和知，，，，所以；
若不等式恒成立，两边取对数，得，
所以；
设，则，恒成立；
所以在时恒成立；
设，，则；
若，即，则当时，，
所以在上单调递增，所以，满足题意；
若，则当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，不满足题意；
综上，正数的取值范围是． 

【解析】求函数的导数，设与图象的切点为，由此列方程组求出的值；
由题意知有两个不等正实根，，由此构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，由此求出实数的取值范围．
由题意知不等式恒成立，两边取对数得，转化为，利用换元法设，，化为恒成立；由此求正数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值问题，也考查了转化法与构造函数法，以及运算求解能力和逻辑推理能力，是难题．