数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题

课时跟踪检测 （二） 向量的加法运算

层级(一)　“四基”落实练

1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是       (　　)

A．梯形　　　　　　　　　 B．矩形

C．正方形   D．平行四边形

解析：选D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.

2．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是     (　　)

A．＋＋    B．＋＋

C．＋＋    D．＋＋

解析：选ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.

3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝                                             (　　)

A．　　　           B．　　　   

C．　　　 D．

解析：选B　 ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示

            (　　)

A．向东北方向航行2 km

B．向北偏东30°方向航行2 km

C．向北偏东60°方向航行2 km

D．向东北方向航行(1＋)km

解析：选B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是   北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.

5．(多选)下列命题是假命题的是      (　　)

A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同

B．△ABC中，必有＋＋＝0

C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点

D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等

解析：选ACD　A是假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；B是真命题；C是假命题，当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0；D是假命题，只有当a与b同向时，两式子相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|.

6．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.

解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解．

答案：　　 (或)

7．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为________．

解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍．又||＝＝2，

所以向量＋＋的长度为4.

答案：4

8．已知向量a，b，c

（1）如图①，求作向量a＋b；

（2）如图②,求作向量a＋b＋c；

解：(1)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.

(2)在平面内任意取一点O，作＝a，

＝b，＝c，则＝a＋b＋c.

层级(二)　能力提升练 

1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是                                                                                                                 (　　)

A．P在△ABC的内部

B．P在△ABC的边AB上

C．P在AB边所在的直线上

D．P在△ABC的外部

解析：选D　＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.

2．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的是

         (　　)

A．a∥b   B．a＋b＝a

C．a＋b＝b   D．|a＋b|＜|a|＋|b|

解析：选AC　∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0b＝b，即B错，C对；D中|0b|＝|b|＝|0||b|，即D错．

3．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________．

解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4.

答案：4

4.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝     24

   N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力大小．

解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.

 在△OCA中，| |＝24，||＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°，   ∴||＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90° 角竖直向上．

5.如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：

(1)＋；(2)＋.

解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．

(2)在AB上取点G，使AG＝AB，

则向量 即为所求．

层级(三)　素养培优练

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1， ＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．

解：∵ ＋＝＋＝0，∴＝，＝.

∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||＝1，

∴四边形ABCD为菱形．

又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，

∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．

∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，

|＋|＝||＝||＝1.