高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直综合训练题，共5页。
课时跟踪检测  （三十）  直线与平面垂直的判定层级(一)　“四基”落实练1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)A．垂直　　　　　　　 B．相交但不垂直C．平行   D．不确定解析：选A　因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．故选A.2．正方体ABCD­A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(　　)A．平面DD1C1C   B．平面A1DBC．平面A1B1C1D1   D．平面A1DB1解析：选D　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.3.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60°   B．45°C．30°   D．120°解析：选A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)A．异面        B．平行C．垂直        D．不确定解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又∵BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．无法确定解析：选B　易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故选B.6.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形．答案：47．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，则∠BD1B1＝30°.答案：30°8.如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB⊂平面A1B1BA，A1A⊂平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，所以AB1⊥平面CED. 层级(二)　能力提升练1．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面(　　)A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B　当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD.所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.答案：43．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.答案：线段B1C4.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．因为F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝ ＝2＝BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PC⊥平面BEF.5.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：如图，连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1.又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥平面A1BCD1.又D1E⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.要使D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F. 层级(三)　素养培优练1.(多选)如图，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角解析：选ABD　A项，∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵SD∩DB＝D，∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB；B项，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD；C项，∵AB∥DC，∴∠SCD(为锐角)是AB与SC所成的角，∠SAB(为直角)是DC与SA所成的角，而∠SCD≠∠SAB，∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；D项，由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠CSO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角，由SA＝SC，OA＝OC，可得∠ASO＝∠CSO，因此正确．综上可知，只有C不正确，故选A、B、D.2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.求证：(1)GH∥平面EAD；(2)FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG.所以四边形EMGH为平行四边形．所以GH∥EM.又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，又FB∩BC＝B，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，又AB∩BC＝B，所以FG⊥平面ABCD.