高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题，共6页。
课时跟踪检测 （三十二） 平面与平面垂直的判定层级(一)　“四基”落实练1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有     (　　)A．0个　　　　　　　　　 B．1个C．无数个  D．1个或无数个解析：选D　当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF   ＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是                                                                                                                              (　　)A．60°  B．120°C．60°或120°  D．不确定解析：选C　 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.故选C.3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是    (　　)A．α⊥γ，β⊥γ  B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥α  D．a∥α，a⊥β解析：选D　 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.故选D.4．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B­AD­C后，BC＝AB，这时二面角B­AD­C的大小为                                                                                                                                            (　　)A．60°  B．90°C．45°  D．120°解析：选A　 ∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.故选A.5.(多选)如图，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是                                                                                       (　　)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选ABD　由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确． 6．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)7.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.答案：45°8.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证：平面PQC⊥平面DCQ.证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD.又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥AD.又∵PD∩AD＝D，∴CD⊥平面AQPD.∴CD⊥PQ.如图，取PD的中点E，连接QE.∵PD∥QA，且QA＝PD，∴DE∥AQ，且DE＝AQ.∴四边形AQED是平行四边形．∴QE∥AD.∴QE⊥PD.∴DQ＝QP.设QA＝1，则在△DQP中，DQ＝QP＝，PD＝2.∴DQ2＋QP2＝PD2.∴∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.∵PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.层级(二)　能力提升练1．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于                                                                                                                                            (　　)A．90°  B．45°C．60°  D．30°解析：选A　如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意  可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.2．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D解析：选A　如图，对于选项A，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又因为AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误．故选A. 3.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在 AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1­EF­C等于45°，则BF＝________.解析：由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF.又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F.∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°.∵CC1＝AA1＝1，∴CF＝1.又BC＝2，∴BF＝1.答案：14．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D.求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又∵MN∩A′M＝M，MN⊂平面A′MN，A′M⊂平面A′MN，∴CD⊥平面A′MN.∵A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.5.如图所示，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE ＝  45°.若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的大小．解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角α­EF­β的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，sin∠GBH＝＝.所以∠GBH ＝ 45°，二面角α­EF­β的大小为45°.层级(三)　素养培优练1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B­AD­C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.连接BC(图略)，则BC＝＝ ＝1.答案：12.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P­CD­A的余弦值．解：(1)证明：连接AE.因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD 所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥AD.又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA，所以BA⊥PD.因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD.(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝.因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD.又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD.所以∠PCA为二面角P­CD­A的平面角．在Rt△PCA中，PC＝＝＝.所以cos∠PCA＝＝＝.所以所求二面角P­CD­A的余弦值为.