高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练，共5页。试卷主要包含了下列命题中错误的是，给出以下四个命题，其中真命题是等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测 （三十三） 平面与平面垂直的性质层级(一)　“四基”落实练1．下列命题中错误的是          (　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．故选D.2．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是    (　　)A．垂直　　　　　　　　　 B．平行C．l⊂β  D．平行或l⊂β解析：选D　如图l∥β或l⊂β.故选D.3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是                                                                                                                                             (　　)A．异面  B．相交但不垂直C．平行  D．相交且垂直解析：选C　∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.故选C.4.如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则                                             (　　)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析：选B　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.5．(多选)给出以下四个命题，其中真命题是        (　　)A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直解析：选ABD  A.线面平行的性质定理知A正确；B.由线面垂直的判定定理知B正确；C.由这两条直线可能相交或平行或异面知C错误；D.由面面垂直的判定定理知D正确.故选A，B，D.6．如图，在三棱锥P­ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.∴PB＝＝＝.答案：7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：38.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD.因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.层级(二)　能力提升练1.如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在                                                                                    (　　)A．直线AB上  B．直线BC上C．直线AC上  D．△ABC内部解析：选A　连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB.又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.2.如图所示，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG.因为四边形ABCD，四边形DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF.又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG.所以MN＝＝.答案：3．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．解析：设P在平面ABC上的射影为O.∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心，且是AB的中点．∴△ABC是直角三角形．答案：直角4.如图，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.(1)判断DC与BE的关系；(2)求证：DC⊥BC.解：(1)DC⊥BE.理由如下：∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，   BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面ACD.又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.(2)证明：∵AB⊥平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AB⊥DC.∵BE⊥DC，AB∩BE＝B，∴DC⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.5.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P­ABCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∴PO为四棱锥P­ABCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝×2＝.∵在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD是梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，∴四边形ABCD的面积为S＝×＝6.故VP­ABCD＝×6×＝2.层级(三)　素养培优练如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又＝＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，总有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF⊥BE.又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，∴BD＝，AB＝tan 60°＝.∴AC＝ ＝.由AB2＝AE·AC得AE＝，∴λ＝＝，故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.