高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案

第二章　直线和圆的方程

2.3.3　点到直线的距离公式　

2.3.4　两条平行直线间的距离

基础过关练

题组一　点到直线的距离

1.(2023广东广州期中)点(3,7)到直线2x-y-3=0的距离为 (　　)

A.1　　B.

2.(2023河北邢台会宁中学期中)设点M(x,y)是直线x+y-2=0上的动点,O为原点,则|OM|的最小值是              (　　)

A.1　　B.

3.(2022黑龙江哈尔滨德强高中期末)已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(3-2λ)y-(8+2λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为              (　　)

A.2

4.(2023河南郑州四校联考)已知直线l过原点O,且点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为              (　　)

A.x-y=0　　　　B.x-2y=0

C.x+y=0或x+2y=0　　　　D.x-y=0或x-2y=0

5.(2022湖北武汉武钢三中月考)点P在曲线y=x2+1上,当点P到直线y=2x-5的距离最小时,点P的坐标是　　　　. 

6.(2023山西太原期中)在△ABC中,已知A(0,1),B(5,-2),C(3,5).

(1)求边BC所在的直线方程;

(2)求△ABC的面积.

题组二　两条平行直线间的距离

7.直线l1:3x+4y=7与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为 (　　)

A.8　　B.4　　C.

8.(2022山东济宁期中)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+1=0上的动点,则|PQ|的最小值为              (　　)

A.　　D.6

9.(2023江苏省运河中学期中)若平面内两条平行直线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=              (　　)

A.-2　　　　B.-2或1

C.-1　　　　D.-1或2

10.(2023四川宜宾一中期中)直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,则l1,l2间的距离的取值范围是              (　　)

A.(0,1)　　　　B.(0,]

C.(0,]　　　　D.(0,)

11.写出一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程:　　　　　　. 

12.(2022北京首师大附中期中)已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.

能力提升练

题组　距离公式的应用

1.(2022江西南昌模拟,)若直线l:y=k(x+2)上存在两个不同点到原点的距离等于1,则k的取值范围是              (　　)

A.(-2,2)　　　　B.(-)

C.(-1,1)　　　　D.

2.(2023河北石家庄十八中月考)若动点M(x1,y1),N(x2,y2)分别在直线x+y+7=0与直线x+y+5=0上移动,则MN的中点P到原点距离的最小值为              (　　)

A.2

3.在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为              (　　)

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

4.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　              (　　)

A.

C.

5.(2023河北保定月考)点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　. 

6.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为　　　　. 

7.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学期中)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,则l2的方程为　　　　. 

8.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

9.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.

答案与分层梯度式解析

第二章　直线和圆的方程

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

基础过关练

1.D　点到直线的距离d=.

2.B　|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,

即|OM|min=.故选B.

3.D　由(1+3λ)x+(3-2λ)y-(8+2λ)=0(λ∈R),得(x+3y-8)+λ(3x-2y-2)=0,此方程是过两直线x+3y-8=0和3x-2y-2=0交点的直线系方程,

设此交点为Q,联立即Q(2,2),故直线l恒过定点Q(2,2).

如图所示,可知d=|PH|≤|PQ|=,故选D.

方法技巧　解决方程中含参数的直线过定点类问题有两种方法:①任给直线方程中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,求出这两条直线的交点就是原直线所过的定点;②分离参数,将方程变形可得到一个直线系方程,提取出两条直线,并将其方程联立求解即得交点.一般使用第二种方法.

4.D　由题知直线l的斜率存在.

∵直线l过原点O,

∴可设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,

∵A(1,0),B(3,2)两点到直线l的距离相等,

∴,解得k=1或k=,

故直线l的方程为x-y=0或x-2y=0.

故选D.

5.答案　(1,2)

解析　设P(x0,+1),所以点P到直线y=2x-5的距离d=,所以当x0=1时,d取最小值,且dmin=,此时点P的坐标为(1,2).

6.解析　(1)∵B(5,-2),C(3,5),

∴边BC所在的直线方程为,

即7x+2y-31=0.

(2)设点A到直线BC的距离为d,

则d=.

又|BC|=,

∴S△ABC=××.

7.D　3x+4y-7=0可化为6x+8y-14=0.易知l1∥l2,

所以直线l1与直线l2之间的距离d=.

故选D.

解后反思　使用平行线间的距离公式前,需将两直线的方程都化成一般式,并且保证x,y的系数对应相等.

8.C　∵≠,

∴两直线平行,

∴|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离.

方程3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,

由两条平行直线间的距离公式,得d=,即|PQ|的最小值为.

9.C　∵l1∥l2,∴a·(a-1)=2,解得a=2或a=-1.

当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0即x+y+=0,l1与l2间的距离d=≠,故舍去;

当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0即x-2y-1=0,l1与l2间的距离d=.

故选C.

10.C　易知两直线之间的最大距离为A,B两点间的距离.由两点间的距离公式得|AB|=.故l1,l2之间的距离的取值范围为(0,].

11.答案　x-2y+9=0(答案不唯一)

解析　由题可设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).

因为所求直线与直线x-2y+3=0的距离大于,

所以,解得c<-2或c>8.

故与直线x-2y+3=0平行且距离大于的一条直线的方程为x-2y+9=0(答案不唯一).

12.解析　①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0.

直线l1,l2间的距离d==5,解得k=,

所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.

②若直线l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,满足条件.

综上所述,l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.

能力提升练

1.D　∵直线l:y=k(x+2)上存在两个不同点到原点的距离等于1,∴原点到直线l的距离小于1,即<1,∴-.故选D.

2.B　由题意知,P点的轨迹为平行于直线x+y+7=0与直线x+y+5=0且到两直线距离相等的直线,易得其方程为x+y+6=0,∴P到原点的距离的最小值即原点到直线x+y+6=0的距离,为.故选B.

3.C　直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.

作出点P满足的图形如图所示.

旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.

所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.

4.B　如图,由两平行直线间的距离公式得|PQ|=.

过点A作垂直于l1的直线,并在该直线上截取|AA'|=|PQ|.

设A'(x0,y0),

则.

连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,所以|AP|=|A'Q|,又|A'B|=,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥.

5.答案　

解析　由点到直线的距离公式可得,点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离d=,其中tan φ=,由正弦函数的性质可得,当sin(θ+φ)=-1时,d有最大值,且dmax=,当sin(θ+φ)=1时,d有最小值,且dmin=.

故点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为.

6.答案　2

解析　由即Q(1,2).

易知当PQ⊥l时,点P到直线l的距离最大,因为|PQ|=>2,所以满足条件的直线l有2条.

7.答案　x+y-3=0

解析　因为直线l2平行于直线l1,所以可设直线l2的方程为x+y-b=0,由题可知b>1,则B(b,0),C(0,b),A(1,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=S△OBC-S△OAD==4,解得b=±3,又b>1,故b=3,故直线l2的方程为x+y-3=0.

8.解析　能.理由如下:

设P(x0,y0).

若点P满足条件②,则,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.

若点P满足条件③,则,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,舍去.

由不合题意,舍去.

由

∴满足题意的点P的坐标为.

9.解析　解法一:因为点M在直线x+y-3=0上,

所以设点M的坐标为(t,3-t),因为点M到直线l1,l2的距离相等,即,解得t=,

所以M.又直线l经过点A(2,4),

所以直线l的方程为5x-y-6=0.

解法二:设与l1,l2平行且距离相等的直线为l3:x-y+c=0(c≠1,c≠-1),由两平行直线间的距离公式得,解得c=0,即l3:x-y=0.由题意得中点M在直线l3上,又点M在直线x+y-3=0上,所以由.

又l过点A(2,4),所以直线l的方程为5x-y-6=0.