人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时导学案，共23页。
第三章　圆锥曲线的方程
第2课时　直线与双曲线的位置关系
基础过关练
题组一　直线与双曲线的位置关系
1.(2023福建厦门双十中学期中)过P(1,2)作直线,使其与双曲线x24-y2=1有且仅有一个公共点,这样的直线有(　　)
A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条
2.(2023吉林期中联考)已知直线l:y=kx与双曲线C:x29−y24=1有两个不同的交点,则k的取值可以是(　　)
A.-23　　B.33　　C.1　　D.3
3.(2022河南郑州四中期末)已知两点A(-5,0),B(5,0),若某直线上存在点P,使|PA|-|PB|=6,同时该直线上存在点Q,使|QB|-|QA|=6,则称该直线为“一箭双雕线”,给出下列直线,其中为“一箭双雕线”的是(　　)
A.y=43x　　　　B.x=2
C.y=x+1　　　　D.y=2x
4.(2023浙东北联盟期中)直线mx-y-2m=0与曲线x2+y|y|=1恰有两个交点,则实数m的取值范围为　　　　. 
5.(2023湖北部分高中期中联考)已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线斜率的取值范围.




题组二　直线与双曲线的相交弦问题
6.(2023江苏无锡期中)过双曲线x2-y22=1的右焦点F作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有(　　)
A.1条　　　　B.2条
C.3条　　　　D.4条
7.(多选题)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)的左焦点为F,过点F的直线交C的左支于M,N两点,直线l:x-2y=0为C的一条渐近线,则下列说法正确的有(　　)
A.a=2
B.存在点M,使得|MF|=5-3
C.|MN|的最小值为1
D.点M到直线l':x-2y-2 022=0的距离的最小值为2 022
8.(多选题)(2022福建泉州六中期中)在平面直角坐标系Oxy中,动点P与两个定点F1(-3,0)和F2(3,0)连线的斜率之积等于13,记点P的轨迹为曲线E,直线l:y=k(x-2)与E交于A,B两点,则(　　)
A.E的方程为x23-y2=1
B.E的离心率为3
C.E的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切
D.满足|AB|=23的直线l有2条
9.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,且|PF1|-|PF2|=4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点D(4,0)的直线l交双曲线C于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O,求弦AB的长.



题组三　直线与双曲线的位置关系的综合应用
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线x22−y23=1有相同的焦点,且C的一条渐近线与直线x-2y+2=0平行.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于A,B两点,O为坐标原点,试判断△AOB的面积是不是定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.


11.(2023广东东莞外国语学校期中)某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过O点的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠的运动轨迹始终满足:接收到A点的信号比接收到B点的信号晚8v0秒(注:信号每秒传播v0米),在t0时刻,测得机器鼠距离O点4米.
(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,求t0时刻机器鼠所在位置的坐标;
(2)游戏设定:当机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险,如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,那么它是否有“被抓”的风险?

能力提升练
题组一　“点差法”在双曲线中的应用
1.(2023四川成都嘉祥教育集团期中)已知倾斜角为π4的直线与双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,M(1,3)是弦AB的中点,则双曲线的渐近线的斜率是(　　)
A.±3　　B.±33　　C.±2　　D.±22
2.(2023吉林长春外国语学校月考)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-3,0)的直线与双曲线交于M,N两点,且线段MN的中点坐标为(3,6),则双曲线的方程为　　　　　　. 
3.(2023浙东北联盟期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(22,3),焦点F到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,求弦AB的长度.









4.(2023河南南阳淅川月考)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线的方程为y=±2x,且过点P62,1.
(1)求双曲线的方程;
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.



题组二　双曲线中的面积问题
5.(2023江西临川一中期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程与离心率;
(2)已知斜率为-12的直线l与双曲线C交于A,B两点,且A,B两点均在x轴上方,O为坐标原点,直线OA,OB的斜率之积为-18,求△OAB的面积.



6.(2023湖南长沙期中联考)已知椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为22.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若曲线C1与C2在第一象限的交点为P,求证:∠F1PF2=90°;
(3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点.记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求S1S2的最小值.



题组三　双曲线的综合应用
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,斜率为-3的直线l与双曲线C交于A,B两点,点M(4,-22)在双曲线C上,且|MF1|·|MF2|=24.
(1)求△MF1F2的面积;
(2)若OB+OB'=0(O为坐标原点),点N(3,1),记直线NA,NB'的斜率分别为k1,k2,问k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.



8.(2023河北衡水重点中学期中联考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为3.
(1)求m的值;
(2)不与坐标轴垂直的直线l与C交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为M',F为C的右焦点,若M',F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点.



9.如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与一等轴双曲线相交,并且双曲线的左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F1(-2,0),F2(2,0),双曲线的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,且直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)分别求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)证明:k1k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
第2课时　直线与双曲线的位置关系
基础过关练
1.D
2.B
3.C
6.C
7.AC
8.CD


1.D　易得双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,点P(1,2)的位置如图,

则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线,包括两条和渐近线平行的直线l1,l4,还有两条和双曲线相切的直线l2,l3,因此过点P且与双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条.故选D.
2.B　双曲线C:x29−y24=1的渐近线方程为y=±23x,因为直线l:y=kx与双曲线C:x29−y24=1有两个不同的交点,且直线l过原点,所以-230,得|m|>8.
由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=3m4,x1x2=m2+88,
所以y1y2=(-3x1+m)(-3x2+m)=9x1x2-3m(x1+x2)+m2=-m28+9.
则k1·k2=y1−1x1−3·−y2−1−x2−3=y1y2+y1−y2−1x1x2+3x1−3x2−9=−m28+8−3(x1−x2)m28−8+3(x1−x2)=-1,故k1·k2为定值,该定值为-1.
8.解析　(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x,
不妨设点A在x轴上方,则A,B两点的坐标分别为(m,3m)和(m,-3m),
所以S△OAB=12m×23m=3,所以m=1.
(2)证明:由(1)知双曲线C:x2-y23=1,则F的坐标为(2,0),
设l与x轴交于点(p,0),l的斜率为k(k≠0),则l的方程为y=k(x-p)(k≠0),
设M(x1,y1),N(x2,y2),则M'(x1,-y1).
联立y=k(x−p),x2−y23=1,消去y,得(3-k2)x2+2pk2x-(k2p2+3)=0,
由题可知3-k2≠0,所以x1+x2=2pk2k2−3,x1x2=k2p2+3k2−3.
因为M',F,N三点共线,所以kM'F=kFN,
即−y1x1−2=y2x2−2,即-y1(x2-2)=y2(x1-2),
所以-k(x1-p)(x2-2)=k(x2-p)(x1-2).
因为k≠0,所以(x1-p)(x2-2)+(x2-p)(x1-2)=0,
所以2x1x2-(p+2)(x1+x2)+4p=0,
所以2·k2p2+3k2−3-(p+2)·2pk2k2−3+4p=0,
所以2k2p2+6-2p2k2-4pk2+4pk2-12p=0,
解得p=12,所以直线l经过x轴上的定点12,0.
9.解析　(1)设双曲线的标准方程为x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0).由题意知,a1=b1=2,故双曲线的标准方程为x24−y24=1.在椭圆中,c=2,a=22,故b=a2−c2=2,
故椭圆的标准方程为x28+y24=1.
(2)证明:设点P(x0,y0),则k1=y0x0+2,k2=y0x0−2,则k1k2=y0x0+2·y0x0−2=y02x02−4.
由点P在双曲线上,可知x024−y024=1,即有x02−4=y02,从而y02x02−4=1,故k1k2=1.
(3)假设存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
由(2)知k1k2=1,所以可设直线AB的方程为y=k(x+2),直线CD的方程为y=1k(x-2).
将直线AB的方程y=k(x+2)与椭圆方程联立,消去y,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-8k21+2k2,x1x2=8(k2−1)1+2k2,
因此|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=42(1+k2)1+2k2.
同理可得|CD|=42(k2+1)2+k2.
因此由|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|知λ=1|AB|+1|CD|=1+2k242(1+k2)+2+k242(k2+1)=3+3k242(k2+1)=328.
所以存在常数λ=328,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.