人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共31页。
第三章　圆锥曲线的方程
3.3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练
题组一　抛物线的简单几何性质
1.若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是(　　)
A.p1
C.p2
2.(2023四川成都月考)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,则p=(　　)
A.2　　　　B.2或4
C.1或2　　　　D.1
3.等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)
A.8p2　　　　B.4p2
C.2p2　　　　D.p2
4.(2022江苏镇江中学期中)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径的圆交y轴于C,D两点,且|CD|=3,则抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=2x　　　　B.y2=23x
C.y2=43x　　　　D.y2=6x
5.(2023安徽巢湖第一中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,Q为C上一点,M为C的准线l上一点且QM∥x轴.若O为坐标原点,P在对称轴上,且在点F的右侧,|OP|=4,|QF|=|QP|,∠MQP=120°,则准线l的方程为(　　)
A.x=-165　　　　B.x=−25
C.x=-45　　　　D.x=−85
6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1),则其准线与对称轴的交点坐标是　　　　. 
题组二　直线与抛物线位置关系的简单应用
7.已知过点P(0,1)的直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点,k为直线l的斜率,则k的取值范围为(　　)
A.(-∞,0)∪(0,1)　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,0)　　　　D.(0,1)
8.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　)
A.1条　　　　B.2条
C.3条　　　　D.4条
9.(2023江苏扬州中学月考)已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为(　　)
A.4　　　　B.2
C.1　　　　D.12
10.(2022浙江宁波镇海中学期中)已知斜率为3的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,并与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,则p=(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
11.已知抛物线y2=4x的焦点为点F,过焦点F的直线l交该抛物线于A、B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为22,则直线l的斜率为(　　)
A.±12　　　　B.±1　　
C.±2　　　　D.±2
12.(2023河南郑州外国语学校期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点,且|AF|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.




13.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,过点M的直线l与抛物线交于A、B两点,设A(x1,y1)到准线的距离为d.
(1)若y1=d=3,求抛物线的标准方程;
(2)若2MA=AB,求直线l的斜率.



14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线y=x+2相切.
(1)求C的方程;
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,AB的中垂线与C的准线交于点P,若|PA|=32|AB|,求l的方程.



题组三　抛物线的综合应用
15.双曲线C1:x24−y2b2=1(b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)相交于点O,A,B(O为坐标原点),若△OAB的垂心为C2的焦点F,求b的值.



16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与曲线x2+2y2=1的右顶点重合,过点P(0,-4)的直线l与抛物线交于A,B两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若PB=4PA,且A在x轴的下方,B在x轴的上方,求△OAB的面积.



17.(2023黑龙江哈三中月考)以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与准线切于点(-2,-3).
(1)求这个圆的方程;
(2)求△AOB的面积.
能力提升练
题组一　抛物线的几何性质
1.(2023重庆部分学校联考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,且点P在第一象限,M是线段PF上的点,若|PM|=3|MF|,则直线OM的斜率的最大值为　(　　)
A.22　　　　B.33
C.12　　　　D.55
2.(多选题)(2023浙江Z20联盟期中联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-1,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,P为线段AB的中点,O为坐标原点,则(　　)
A.线段AB长度的最小值为4
B.∠A1FB1为锐角
C.A,O,B1三点共线
D.P的坐标可能为(3,-2)
3.(多选题)(2023辽宁大连第二十四中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0),C的准线与x轴交于K,过焦点F的直线l与C交于A、B两点,A在第一象限,连接AK、BK,设AB的中点为P,过P作AB的垂线交x轴于Q,下列结论正确的是(　　)
A.|AF|·|BK|=|AK|·|BF|　　　　
B.tan∠AKF=cos∠PQF
C.△AKB面积的最小值为p22　　　　
D.|AB|=2|FQ|
4.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为　　　　　. 
题组二　抛物线的焦点弦、相交弦
5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16　　　　B.14
C.12　　　　D.10
6.(2023河南平顶山月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为π6的直线,交抛物线于A,B两点,若1|AF|+1|BF|=2,则实数p的值为(　　)
A.12　　　　B.1
C.32　　　　D.3
7.(2023辽宁省实验中学段考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,且AF=2FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为52,则准线l的方程为(　　)
A.x=-2　　　　B.x=−22
C.x=-2　　　　D.x=-1
8.(2023河南郑州四中期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B两点,以线段AB为直径的圆E上存在两点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),则实数t的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)　　　　
B.[-1,3]
C.(-∞,2-7]∪[2+7,+∞)　　　　
D.[2-7,2+7]
9.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点.若过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于点M,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,则λ1+λ2=(　　)
A.2　　　　B.1
C.0　　　　D.-12
10.(2023河南郑州回民高级中学期中)已知直线l:2kx-2y-kp=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A、B两点,点M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论错误的是(　　)
A.p=2　　　　
B.k=-2
C.△MAB的面积为55　　　　
D.|AB|=5
11.(多选题)(2023江苏南京一中期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点,设线段AB的中点为P,则(　　)
A.OA·OB=−3p24
B.若|AF|·|BF|=4p2,则直线AB的斜率为3
C.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为y2=8x
D.若点F到抛物线准线的距离为2,则sin∠PMN的最小值为12
题组三　直线与抛物线位置关系的应用
12.(多选题)已知点M(1,0),直线l:x=-2,若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比其到直线l的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论正确的是(　　)
A.点P的轨迹是一条线段
B.点P的轨迹与直线x=-1没有交点
C.y=2x+6不是“最远距离直线”
D.y=12x+1是“最远距离直线”
13.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线的顶点是原点,对称轴为x轴,且经过点A(1,2).过点A作直线l1,l2分别交抛物线于点C,D(异于点A),直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且满足k1+k2=-4.
(1)求该抛物线的方程;
(2)试判断直线CD是否过定点.若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.



14.如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).
(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.



15.(2023辽宁省实验中学期中)已知抛物线C:y2=4x,点P(4,4).
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,若△PAB的面积为22,求直线l的方程;
(2)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点A,B时,总有直线AB也与圆M相切?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
3.3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
7.A
8.C
9.B
10.C
11.B






1.D　取抛物线上任意一点P,则P到焦点的距离等于其到准线:x=-p2的距离,
显然当P为抛物线的顶点时,P到准线的距离取得最小值p2,∴p2>1,即p>2.故选D.
2.B　因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,
所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3−p2,代入抛物线方程可得8=2p3−p2,
整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B.
3.B　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=12×2p×4p=4p2.
4.B　不妨设M、C在x轴上方,如图,连接CF,由题意可知|MN|=2p(p>0),所以圆的半径为p,由对称性知|OC|=12|CD|=32,在Rt△COF中,p22+322=p2,解得p=3(负值舍去),所以抛物线的标准方程为y2=23x.故选B.

5.C　根据抛物线的对称性,不妨设点Q在第一象限,如图,

由题知P(4,0),QM⊥l,
由抛物线的定义知|QF|=|QM|,∵|QF|=|QP|,
∴|QP|=|QM|,
又∠MQP=120°,QM∥x轴,∴∠QPF=60°,∴△PFQ为等边三角形,
∴点Q的横坐标xQ=p2+4−p22=2+p4,
∴|QM|=2+p4+p2=2+3p4,
又|QM|=|QP|=|FP|=4-p2,∴2+3p4=4−p2,解得p=85,∴准线l的方程为x=-45,故选C.
6.答案　(0,-4)
解析　依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则42=2p×1,即p=8,所以抛物线的方程为x2=16y,其准线为直线y=-4,则准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).
7.A　直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,y2=4x,化简得k2x2+(2k-4)x+1=0,
∵直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点,
∴k≠0,Δ>0,即k≠0,−16k+16>0,∴k0)过点A(2,y0),|AF|=4,得2+p2=4,∴p=4,
所以抛物线方程为y2=8x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=x+m,y2=8x,得x2+(2m-8)x+m2=0,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由题意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m0,即k20,y1+y2=8m,
则M(4m2+2,4m),N(-2,4m),AB的中垂线的方程为mx+y-4m3-6m=0,
∴P(-2,4m3+8m),则|PN|=|4m3+4m|,|MN|=4m2+4,
即|4m3+4m|=4m2+4,解得m=±1,
故l的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.
15.解析　如图,不妨设A在第二象限.

易得双曲线的渐近线方程为y=±b2x.由x2=2py,y=−b2x,得x=−pb,y=b2p2,故A−pb,b2p2,同理,Bpb,b2p2.
易得抛物线的焦点为F0,p2,
所以AF=pb,p2−b2p2,OB=pb,b2p2.
因为点F为△OAB的垂心,所以AF⊥OB,
所以pb,p2−b2p2·pb,b2p2=0,所以b=5.
16.解析　(1)曲线x2+2y2=1为焦点在x轴上的椭圆,其右顶点为(1,0),则由题意可得抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),∴p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)设AyA24,yA,ByB24,yB,
由PB=4PA,得yB24,yB+4=4yA24,yA+4,
即yB2=4yA2,yB+4=4(yA+4),
结合A,B的位置,解得yA=-2,yB=4,故A(1,-2),B(4,4),
直线l的斜率k=−2−41−4=2,则直线l的方程为y=2x-4,直线l与x轴相交于点(2,0),
所以△OAB的面积S△OAB=12×2×(yB-yA)=12×2×6=6.
17.解析　(1)由抛物线的方程知其准线方程为x=-p2,设焦点弦AB的中点为M(x0,y0),由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(-2,-3),可知−p2=−2,y0=−3,∴p=4,y0=−3,所以焦点为(2,0),抛物线方程为y2=8x,记F(2,0).
设弦AB所在直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB:y=k(x-2),
与抛物线方程联立,得y=k(x−2),y2=8x⇒ky2-8y-16k=0,所以y1+y2=8k=2y0=-6,y1y2=-16,
∴k=-43,∴直线AB:y=-43x+83.将y0=-3代入,得x0=174,则这个圆的圆心为174,−3,半径为254,
故所求圆的方程为x−1742+(y+3)2=62516.
(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=12|OF|×|y1-y2|=12×2(y1+y2)2−4y1y2=10.

能力提升练
1.B
2.ACD
3.BD
5.A
6.B
7.D
8.D
9.C
10.C
11.AD
12.BCD





1.B　由题可知Fp2,0,设P点坐标为y022p,y0(y0>0),则OM=OF+FM=OF+14FP=OF+14(OP−OF)=14OP+34OF=y028p+3p8,y04,kOM=y04y028p+3p8=2y0p+3py0≤223=33,当且仅当y02=3p2,即y0=3p时,等号成立.故选B.
2.ACD　由题意知,抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为2p=4,A正确;
易知|AA1|=|AF|,AA1∥x轴,∴∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,∴∠A1FB1=90°,B错误;
设直线AB:x=my+1,与抛物线方程联立并整理,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,
∵B1(-1,y2),∴kOB1=-y2=kOA,故A,O,B1三点共线,C正确;
设P(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,当m=-1时,P(3,-2),D正确.
故选ACD.
3.BD　设直线AB的倾斜角为α,即∠AFx=α,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
若|AF|·|BK|=|AK|·|BF|,则|AF||BF|=|AK||BK|,则根据角平分线的性质可知,x轴应平分∠AKB,但x轴不一定平分∠AKB,故|AF|·|BK|=|AK|·|BF|不一定成立,故A错误;
过A作AD⊥x轴,垂足为D,则tan∠AKF=|AD||KD|=y1x1+p2,cos∠PQF=cosπ2−α=sin α=|AD||AF|=y1x1+p2,∴tan∠AKF=cos∠PQF,故B正确;
S△AKB=S△AKF+S△BKF=12·|KF|·(y1-y2)=p2·(y1-y2)≥p2·2p=p2,当且仅当y1-y2=|AB|=2p,即AB⊥x轴时,取等号,故△AKB面积的最小值为p2,但此时Q不存在,不符合题意,故C错误;
对于D:y12=2px1,y22=2px2⇒(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),则tan α=y1−y2x1−x2=2py1+y2=py0,
∴直线PQ的方程为y-y0=-y0p(x-x0),令y=0,得-y0=-y0p(x-x0)⇒x=p+x0,∴Q(p+x0,0),∴|FQ|=p+x0-p2=p2+x0,∴|AB|=x1+x2+p=2x0+p=2|FQ|,故D正确.故选BD.
4.答案　y2=4x
解析　抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+p2=6,即5+p2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
5.A　因为直线l1过F,且F(1,0),所以设l1的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),故y1+y2=4m,y1y2=-4,则|AB|=m2+116m2+16=4(m2+1).同理可得|DE|=41m2+1,所以|AB|+|DE|=42+m2+1m2≥16,当且仅当m=±1时,取“=”,故选A.
6.B　易得Fp2,0,设直线方程为y=kx−p2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx−p2,y2=2px,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,所以x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,又|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,所以1|AF|+1|BF|=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24,把x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24代入得1|AF|+1|BF|=2p=2,所以p=1.
导师点睛　AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的倾斜角为α,则有下列结论成立:
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2.
(2)|AF|=x1+p2=p1−cosα,|BF|=x2+p2=p1+cosα,|AF||BF|=1+cosα1−cosα,1|AF|+1|BF|=2p.
(3)|AB|=x1+x2+p=2psin 2α.
7.D　解法一:由题意知Fp2,0,准线l的方程为x=-p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则AF=p2−x1,−y1,FB=x2−p2,y2,由AF=2FB,得p2−x1=2x2−p2,即x2=14(3p-2x1),①
由题意知直线AB的斜率存在且不为0,
设直线AB的方程为y=kx−p2(k≠0),代入抛物线方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,
所以x1x2=p24,②
联立①②,得2x12-3px1+p2=0,
解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2p,
因为S四边形AA1CF=12x1+p2+p·|y1|=52,
将x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D.
解法二:不妨设A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,
则|AF|=p1−cosθ,|BF|=p1+cosθ,
因为AF=2FB,所以p1−cosθ=2×p1+cosθ,解得cos θ=13,则sin θ=223,
因为四边形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p1−cosθ=32p,高为|AF|sin θ=32p·223=2p,所以四边形AA1CF的面积为12p+32p·2p=524p2=52,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D.
8.D　由题得直线AB的方程为y-0=x-1,即y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=x−1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1·x2=1,
∴x1+x22=3,y1+y22=x1−1+x2−12=2,|AB|=1+12·36−4=8,
∴以线段AB为直径的圆E的圆心为(3,2),半径为4,
∴圆E的方程为(x-3)2+(y-2)2=16,
∴点D恒在圆E外,
若圆E上存在两点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),即圆E上存在两点P,Q,使得DP⊥DQ,显然当DP,DQ均与圆E相切时,∠PDQ最大,此时应满足∠PDQ≥π2,所以|EP||DE|=4(3+2)2+(2−t)2≥22,整理得t2-4t-3≤0,
解得2-7≤t≤2+7,故选D.
9.C　解法一:(特值法)取l的倾斜角为α=π3,不妨设B在A上方,联立y2=4x,y=3(x−1),得x=13,y=−233或x=3,y=23,故A13,−233,B(3,23),又M(-1,-23),F(1,0),∴MA=43,433,MB=(4,43),AF=23,233,BF=(-2,-23),∴λ1=2,λ2=-2,∴λ1+λ2=0.故选C.
解法二:如图,易知λ10.过B作BN⊥l于点N,由MB=λ2BF⇒cos α=|BN||BM|=|BF||BM|=1λ2,
由MA=λ1AF⇒|MA|=-λ1|AF|⇒(1+λ2)|BF|+|AF|=-λ1|AF|⇒|AF||BF|=−1+λ21+λ1,
又|AF||BF|=1+cosα1−cosα,所以-1+λ21+λ1=1+cosα1−cosα=1+1λ21−1λ2,化简得λ1+λ2=0,故选C.

10.C　由题意知,抛物线C的准线方程为x=-1,即p2=1,解得p=2,故选项A中结论正确;
因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为(1,0),记F(1,0),
又直线l:2kx-2y-kp=0,即y=k(x-1),所以直线l恒过抛物线的焦点F(1,0),
设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为A、B两点在抛物线C上,
所以y12=4x1,y22=4x2,两式相减并整理可得,y1−y2x1−x2=4y1+y2=k,设AB的中点为Q(x0,y0),则y0=y1+y22=2k,
因为点Q(x0,y0)在直线l上,所以y0=k(x0-1),所以x0=2k2+1,所以点Q2k2+1,2k,易知Q是以AB为直径的圆的圆心,
由抛物线的定义知,圆Q的半径r=|AB|2=x1+x2+22=2x0+22=2k2+2.
因为|QM|2=2k2+22+2k+12=r2,所以2k2+22+2k+12=2k2+22,解得k=-2,故选项B中结论正确;
因为k=-2,所以|AB|=5,直线l:y+2(x-1)=0,即2x+y-2=0,
由点到直线的距离公式可得,点M到直线l的距离d=|−2−1−2|22+12=5,
所以S△MAB=12·d·|AB|=12×5×5=552,故选项C中结论错误,D中结论正确.故选C.
11.AD　若直线l⊥y轴,则直线l与抛物线y2=2px(p>0)有且只有一个交点,不符合题意.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+p2,
联立y2=2px,x=my+p2,整理可得y2-2pmy-p2=0,
则Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1y2=-p2,x1x2=y122p·y222p=p44p2=p24,
∴OA·OB=x1x2+y1y2=p24−p2=−34p2,A正确;
|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2=(my1+p)(my2+p)=m2y1y2+mp(y1+y2)+p2=-m2p2+2m2p2+p2=(m2+1)p2=4p2,解得m=±3,
所以直线AB的斜率为1m=±33,B错误;
若抛物线上一点E(2,t)到焦点的距离为3,则2+p2=3,可得p=2,故抛物线方程为y2=4x,C错误;
抛物线的焦点F到准线的距离为2,则p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以圆P的直径为|AB|=x1+x2+2=4m2+4,则半径r=|AB|2=2m2+2,
点P到y轴的距离d=x1+x22=2m2+1,
∴sin∠PMN=dr=2m2+12m2+2=2m2+2−12m2+2=1−12m2+2,
∵2m2+2≥2,
∴12m2+2∈0,12,
∴sin∠PMN∈12,1,
即(sin∠PMN)min=12,D正确.
故选AD.
12.BCD　点P到点M的距离比其到直线l的距离小1,等价于点P到点M的距离等于其到直线l':x=-1的距离,故点P的轨迹是以M(1,0)为焦点,直线l':x=-1为准线的抛物线,其方程是y2=4x,故A错误;
点P的轨迹是抛物线y2=4x,它与直线l'没有交点,故B正确;
要成为“最远距离直线”,则必须满足其与抛物线y2=4x有交点,把y=2x+6代入抛物线方程y2=4x中,消去y并整理得x2+5x+9=0,因为Δ=52-4×1×9=-110,有解,所以y=12x+1是“最远距离直线”,故D正确.故选BCD.
13.解析　(1)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
由抛物线经过点A(1,2),得p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),x1≠1,x2≠1.
若直线CD的斜率存在,设直线CD的方程为y=kx+t(k≠0).
由y2=4x,y=kx+t,消去x,得ky2-4y+4t=0,
则y1+y2=4k,y1y2=4tk.
∵k1+k2=y1−2x1−1+y2−2x2−1=4(y1−2)4x1−4+4(y2−2)4x2−4
=4(y1−2)y12−4+4(y2−2)y22−4=4y1+2+4y2+2=-4,
∴y1+2+y2+2=-(y1+2)(y2+2),
∴3(y1+y2)+y1y2+8=0,
∴12k+4tk+8=0,即t=-2k-3,
∴直线CD:y=kx-2k-3,即y=k(x-2)-3,
∴直线CD过定点(2,-3).
若直线CD的斜率不存在,则C(x1,y1),D(x1,-y1),
∴k1+k2=y1−2x1−1+−y1−2x1−1=−4x1−1=-4,∴x1=2.
∴直线CD:x=2,此时直线CD过点(2,-3).
综上所述,直线CD过定点(2,-3).
方法点睛　在圆锥曲线综合题的运算中,参数的选择很重要,在有关抛物线的问题中巧妙运用抛物线方程的特点进行变量的转化能够很大程度降低运算量.
14.解析　(1)当p=116时,C2的方程为y2=18x,故抛物线C2的焦点坐标为132,0.
(2)解法一(根与系数的关系+基本不等式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(m≠0),
由x22+y2=1,x=λy+m得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0,
∴y1+y2=−2λm2+λ2,y0=−λm2+λ2,x0=λy0+m=2m2+λ2,
由M在抛物线上,可得λ2m2(2+λ2)2=4pm2+λ2,即λ2m2+λ2=4p,①
又y2=2px,x=λy+m⇒y2=2p(λy+m)⇒y2-2pλy-2pm=0,
∴y1+y0=2pλ,
∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m,
∴x1=2pλ2+2m-2m2+λ2.②
由x22+y2=1,y2=2px得x2+4px-2=0,
∴x1=−4p+16p2+82=−2p+4p2+2,③
由①②③得-2p+4p2+2=2pλ2+2m·1+λ22+λ2=2pλ2+8pλ2+8p≥16p,当且仅当λ2=2时,λ=2时取“=”,
∴4p2+2≥18p,即p2≤1160,故04,由①②解得m=3.
下面证m=3时,对任意的动点Q,直线AB和圆M相切.
设Q14a2,a,当a=0时,上面假设已经说明成立;
当a=±2,过Q作圆的切线时,一条切线与x轴平行,不能与抛物线交于另一点,故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情况进行证明.
设过Q的切线方程为x=t(y-a)+14a2,A14y12,y1,B14y22,y2,
由3−14a2+ta1+t2=2,可得(a2-4)t2-12a2−6at+14a2−32-4=0,
∴t1+t2=a12a2−6a2−4,t1t2=14a2−32−4a2−4.
把x=t(y-a)+14a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又切线与抛物线相交于两点A,B,
故得y12=4t1(y1-a)+a2,y22=4t2(y2-a)+a2,
则a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的两根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.则有A14(4t1-a)2,4t1-a,B14(4t2-a)2,4t2-a,
故直线AB:
y-(4t1-a)=22(t2+t1)−ax−14(4t1−a)2,
即y-(4t1-a)=4−a24ax−14(4t1−a)2,
则圆心(3,0)到直线AB的距离
d=4−a24a3−14(4t1−a)2+4t1−a1+a2−44a2,
由(a2-4)t12−12a2−6at1+14a2−32-4=0,
可得d=2|4+a2|4+a2=2,
则对任意的动点Q,存在实数m=3,使得直线AB与圆M相切.