还剩13页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案，共16页。学案主要包含了四象限或者分别在第三等内容，欢迎下载使用。
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2023黑龙江大兴安岭实验中学期中)已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线的右支
C.双曲线 D.双曲线的左支
2.如图所示,平面直角坐标系中有两点O1(-1,0)和O2(1,0).以O1为圆心,正整数i为半径的圆记为Ai.以O2为圆心,正整数j为半径的圆记为Bj.对于正整数k,点Pk是圆Ak与圆Bk+1的交点,若点P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限,则这五个点都位于( )
A.直线上 B.椭圆上
C.射线上 D.双曲线上
3.(2023广东潮州高级中学月考)若点P是双曲线C:x24−y212=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则“|PF2|=5”是“|PF1|=9”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2023河南信阳月考)设P为双曲线C:x29−y216=1的右支上一点,F1,F2分别为其左、右焦点,|PF1|=4|PF2|,则( )
A.P,F1,F2是一个锐角三角形的三个顶点
B.P,F1,F2是一个钝角三角形的三个顶点
C.P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点
D.P,F1,F2不是三角形的三个顶点
5.已知双曲线x24−y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
6.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线x24−y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上一动点,Q(1,4),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
题组二 双曲线的标准方程
7.(2023吉林长春实验中学期中)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=6,则双曲线的标准方程为( )
A.x27−y29=1 B.x29−y27=1
C.y29−x27=1 D.y27−x29=1
8.(2023湖南怀化期中)直线y=x和y=-x上各有一点P,Q,其中点P,Q的纵坐标分别为yP,yQ且满足yPyQ<0,△OPQ的面积为4(O为坐标原点),则PQ的中点M的轨迹方程为( )
A.x2+y2=4 B.x2-y2=4
C.y2-x2=4 D.x2+y2=8
9.(2023江西景德镇一中期中)如图,F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-7,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.5x27−5y228=1 B.x26-y2=1
C.x2-y26=1 D.5x228−5y27=1
10.(2023北京科技大学附属中学期中)设双曲线C的两个焦点分别为(0,-2),(0,2),且过点(0,1),则C的方程为 .
11.在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),则满足sin C-sin B=12sin A时顶点A的轨迹方程为 .
12.(2023天津一中月考)根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线x216−y24=1有相同的焦点,且经过点(32,2);
(2)过点P3,154,Q−163,5且焦点在坐标轴上.
题组三 双曲线标准方程的应用
13.(2023上海交大附中开学考试)已知方程x2m2+n−y23m2−n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,3)
C.(0,3) D.(0,3)
14.已知双曲线C:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.36 C.48 D.96
15.(2023江苏无锡期中联考)已知F1,F2分别是双曲线C:x22-y2=1的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,则△AF1B的周长的最小值为( )
A.42 B.52 C.62 D.72
16.已知某双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求该双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的方程及其应用
1.(2023上海市西中学月考)在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216−y29=1上,则sinCsinB−sinA=( )
A.53 B.±53 C.±54 D.−54
2.(2023安徽宣城期中联考)已知F1,F2分别是双曲线x24-y2=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点(不在x轴上),若△PF1F2内切圆的圆心为I,则圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为( )
A.2 B.5−1 C.1 D.5-2
3.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5−12,5−12称为黄金分割数.已知双曲线x2(5−1)2−y2m=1与x轴的两交点间的距离与焦距的比值恰好是黄金分割数,则m的值为( )
A.25−2 B.5+1 C.2 D.25
4.(2023河南开封期中)已知双曲线x29−4y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,Q是双曲线右支上的动点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,则垂足M的轨迹方程为 .
5.(2023湖南邵阳二中期中)过双曲线x2-y215=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为 .
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若BF1·BF2=0,且cos∠F1AF2=45,则ab= .
题组二 双曲线的实际应用
7.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,相距4 km处,P为敌炮阵地.某时刻,在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此经过4 s后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若A地需炮击P地,则炮击的方向角为北偏东 .
8.如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/km,求修建这两条公路的最低总费用.
答案与分层梯度式解析
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
7.C
8.B
9.C
13.A
14.C
15.C
1.B 因为|PM|-|PN|=3<|MN|,所以动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.故选B.
方法总结 已知定点M,N及动点P,且||PM|-|PN||为常数,则当||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;当||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线.类似地,|PM|-|PN|或|PN|-|PM|为常数时,点P的轨迹为双曲线的一支或一条射线.当||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.D 由题意可知|PiO2|-|PiO1|=1<|O1O2|(i=1,2,3,4,5),又因为Pi(i=1,2,3,4,5)都位于第二象限,所以这五个点都位于某双曲线的左支上.故选D.
3.A 由题意可知,a=2,c=4+12=4,|PF1|≥c-a=2.
若|PF2|=5,则||PF1|-5|=4,故|PF1|=9或|PF1|=1(舍去).
若|PF1|=9,则|9-|PF2||=4,故|PF2|=5或|PF2|=13,
故“|PF2|=5”是“|PF1|=9”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|
由P为双曲线上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,|PF1|=4|PF2|,得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=8=c+a,|PF2|=2=c-a,
所以P为双曲线的右支与x轴的交点,所以P,F1,F2不是三角形的三个顶点.故选D.
5.A 连接PF2(F2为双曲线的右焦点),易知P,F1,F2不共线,则ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|=12|PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=12|PF2|=7或|ON|=12|PF2|=3.
6.答案 9
解析 因为点P在双曲线x24−y212=1的右支上,所以|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=|PF2|+4.连接QF2.
又Q(1,4),F2(4,0),所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+4=9,当且仅当点P在线段QF上时取“=”.故|PQ|+|PF1|的最小值为9.
7.C 由题意知双曲线的焦点在y轴上,故设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),由||PF1|-|PF2||=2a=6,得a=3,又c=4,故b2=c2-a2=16-9=7,故双曲线的标准方程为y29−x27=1.故选C.
8.B 因为直线y=x和y=-x互相垂直,所以OP⊥OQ,又yPyQ<0,所以点P,Q分别在第一、四象限或者分别在第三、二象限,不妨设P(a,a),Q(b,-b),a>0,b>0,M(x,y),因为M为PQ的中点,所以x=a+b2,y=a−b2,所以a=x+y,b=x-y,
因为∠POx=∠QOx=45°,所以|OP|=2a,|OQ|=2b,所以S△OPQ=12|OP|·|OQ|=12×2a×2b=4,所以ab=4,
所以(x+y)(x-y)=4,即x2-y2=4.
故选B.
9.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,
则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-y26=1.
故选C.
10.答案 y2-x2=1
解析 由双曲线C的两个焦点分别为(0,-2),(0,2),可知双曲线的焦点在y轴上,故设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),又双曲线过点(0,1),故1a2=1,所以a=1,又c=2,故b2=c2-a2=1,所以双曲线C的方程为y2-x2=1.
11.答案 x214−y234=1x>12
解析 在△ABC中,由正弦定理得|AB|sinC=|BC|sinA=|AC|sinB,∵sin C-sin B=12sin A,∴|AB|-|AC|=12|BC|=1<|BC|=2,
∴顶点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支且除去与x轴的交点,
∴设此双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
由已知得2a=1,c=1,∴a=12,∴b2=c2-a2=34,
∴顶点A的轨迹方程为x214−y234=1x>12.
易错警示 注意△ABC构成的前提条件为A,B,C三点不共线,求点的轨迹方程时要根据去除的点来限定变量的范围.
12.解析 (1)解法一:由题可设所求双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
则c2=16+4=20,即a2+b2=20①,
∵双曲线经过点(32,2),∴18a2−4b2=1②.
由①②得a2=12,b2=8,
∴双曲线的标准方程为x212−y28=1.
解法二:设所求双曲线的方程为x216−λ−y24+λ=1(-4<λ<16).∵双曲线过点(32,2),
∴1816−λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴双曲线的标准方程为x212−y28=1.
(2)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴9a2−22516b2=1,2569a2−25b2=1,此方程组无解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴22516a2−9b2=1,25a2−2569b2=1,解得a2=9,b2=16.
∴双曲线的标准方程为y29−x216=1.
解法二:设双曲线的方程为x2m+y2n=1,mn<0.
∵点P,Q在双曲线上,∴9m+22516n=1,2569m+25n=1,解得m=−16,n=9.∴双曲线的标准方程为y29−x216=1.
13.A 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
∴S△PF1F2=12×16×102−1622=48,故选C.
15.C 由双曲线C:x22−y2=1可知a=2,b=1,
∴|AF1|-|AF2|=2a=22,|BF1|-|BF2|=2a=22,
∴(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=42,∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+42=|AB|+42.
∵△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+42,∴当|AB|最小时,△AF1B的周长最小,∴当AB⊥x轴时,△AF1B的周长最小,最小值为2|AB|+42=2×2b2a+42=2×2×12+42=62.故选C.
16.解析 由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),且a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,结合椭圆方程可得此交点的坐标为(15,4)或(-15,4).由交点在双曲线上知16a2−15b2=1.
由a2+b2=9,16a2−15b2=1,得a2=4,b2=5,故所求双曲线的标准方程为y24−x25=1.
能力提升练
1.C
2.C
3.A
1.C 由题意知点A,B为双曲线的两焦点,所以当点C在双曲线x216−y29=1的右支上时,有|CA|-|CB|=8,又|AB|=10,所以由正弦定理得sinCsinB−sinA=|AB||CA|−|CB|=108=54;当点C在双曲线的左支上时,有|CA|-|CB|=-8,可得sinCsinB−sinA=−54.故选C.
2.C 设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2相切于点A,B,与F1F2相切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|.又点P在双曲线的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a,
∴|F1M|-|F2M|=2a①,又|F1M|+|F2M|=2c②,
∴由①+②,可解得|F1M|=a+c,又|OF1|=c,故|OM|=a,则M(a,0),由双曲线的方程x24-y2=1知a=2,
∴内切圆圆心I在直线x=2上.
设I(2,y0),圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,则C(0,1),∴|CI|=22+(y0−1)2,当y0=1时,|CI|最小,且|CI|min=2,
此时圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为|CI|min-1=2-1=1.故选C.
3.A 由题意得,a2=(5-1)2,b2=m,
∴c2=a2+b2=(5-1)2+m.由题意知2a2c=ac=5−12,
∴a2c2=5−122=3−52,∴(5−1)2(5−1)2+m=3−52,
解得m=25-2.故选A.
4.答案 x2+y2=9−655
延长QF2,与F1M交于点T,连接OM(O为坐标原点),则OM为△F1F2T的中位线.
∵QM平分∠F1QF2,且QM⊥F1M,
∴|QF1|=|QT|,|F1M|=|MT|.
又∵Q是双曲线右支上的动点,
∴|QF1|-|QF2|=|QT|-|QF2|=2a,
∴|F2T|=2a,∴|OM|=a,即点M在以O为圆心,a=3为半径的圆上.
又当Q在无穷远处时,可近似认为其位于渐近线上,此时F1M⊥MQ,则kF1M=±2,直线F1M的方程为y=±2x+352,与x2+y2=9联立,可解得x=-655(二重根),y=±355,∴点M的轨迹是以O为圆心,3为半径的圆上以点−655,355和−655,−355为端点的优弧(不包括这两个端点),轨迹方程为x2+y2=9−655
解析 由x2-y215=1,得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),
由圆的方程知,圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,
∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-r12=PC1|2-4,|PN|2=|PC2|2-r22=|PC2|2-1,
∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)·(|PC1|-|PC2|)-3,
∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的两个焦点分别为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,
又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线与x轴正半轴交点时取等号),
∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥2×8-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
6.答案 63
解析 ∵BF1·BF2=0,∴BF1⊥BF2,
设|AF1|=m,由cos∠F1AF2=45得|AB|=45m,|BF1|=35m,
由双曲线的定义知|BF2|=|BF1|-2a=35m-2a,|AF2|=|AF1|-2a=m-2a,
由|AF2|+|BF2|=|AB|得35m−2a+m−2a=45m,
解得m=5a,
∴|BF1|=3a,|BF2|=a,又|F1F2|=2c,BF1⊥BF2,
∴由BF1|2+BF2|2=|F1F2|2,得10a2=4c2,又c2=a2+b2,
∴6a2=4b2,∴ab=63.
7.答案 30°
解析 如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,23).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.
由题可知直线BC的斜率kBC=-3,BC的中点为(-4,3),记D(-4,3),所以直线PD:y-3=13(x+4).①
又B地比A地晚4 s发现信号,故|PB|1−|PA|1=4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=6,故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.
设P(x,y),x>0,y>0,则其所在双曲线的方程为x24−y25=1(x≥0).②
由①②,得x=8,y=53,所以P(8,53).
因此直线PA的斜率kPA=538−3=3.故炮击的方向角为北偏东30°.
8.解析 由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
可得A(-2,0),B(2,0),C(3,3),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km,
可得|MA|-|MB|=2,因为2<|AB|=4,
所以由双曲线的定义可得,M在以A,B分别为左、右焦点的双曲线的右支上,
且a=1,c=2,∴b=c2−a2=3,
∴点M所在的双曲线的方程为x2-y23=1(x>0).
设修建这两条公路的总费用为s万元,
则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(27-2)m,当且仅当A,M,C三点共线时,取等号.
故修建这两条公路的最低总费用为(27-2)m万元.
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2023黑龙江大兴安岭实验中学期中)已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线的右支
C.双曲线 D.双曲线的左支
2.如图所示,平面直角坐标系中有两点O1(-1,0)和O2(1,0).以O1为圆心,正整数i为半径的圆记为Ai.以O2为圆心,正整数j为半径的圆记为Bj.对于正整数k,点Pk是圆Ak与圆Bk+1的交点,若点P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限,则这五个点都位于( )
A.直线上 B.椭圆上
C.射线上 D.双曲线上
3.(2023广东潮州高级中学月考)若点P是双曲线C:x24−y212=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则“|PF2|=5”是“|PF1|=9”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2023河南信阳月考)设P为双曲线C:x29−y216=1的右支上一点,F1,F2分别为其左、右焦点,|PF1|=4|PF2|,则( )
A.P,F1,F2是一个锐角三角形的三个顶点
B.P,F1,F2是一个钝角三角形的三个顶点
C.P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点
D.P,F1,F2不是三角形的三个顶点
5.已知双曲线x24−y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
6.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线x24−y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上一动点,Q(1,4),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
题组二 双曲线的标准方程
7.(2023吉林长春实验中学期中)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=6,则双曲线的标准方程为( )
A.x27−y29=1 B.x29−y27=1
C.y29−x27=1 D.y27−x29=1
8.(2023湖南怀化期中)直线y=x和y=-x上各有一点P,Q,其中点P,Q的纵坐标分别为yP,yQ且满足yPyQ<0,△OPQ的面积为4(O为坐标原点),则PQ的中点M的轨迹方程为( )
A.x2+y2=4 B.x2-y2=4
C.y2-x2=4 D.x2+y2=8
9.(2023江西景德镇一中期中)如图,F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-7,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.5x27−5y228=1 B.x26-y2=1
C.x2-y26=1 D.5x228−5y27=1
10.(2023北京科技大学附属中学期中)设双曲线C的两个焦点分别为(0,-2),(0,2),且过点(0,1),则C的方程为 .
11.在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),则满足sin C-sin B=12sin A时顶点A的轨迹方程为 .
12.(2023天津一中月考)根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线x216−y24=1有相同的焦点,且经过点(32,2);
(2)过点P3,154,Q−163,5且焦点在坐标轴上.
题组三 双曲线标准方程的应用
13.(2023上海交大附中开学考试)已知方程x2m2+n−y23m2−n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,3)
C.(0,3) D.(0,3)
14.已知双曲线C:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.36 C.48 D.96
15.(2023江苏无锡期中联考)已知F1,F2分别是双曲线C:x22-y2=1的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,则△AF1B的周长的最小值为( )
A.42 B.52 C.62 D.72
16.已知某双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求该双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的方程及其应用
1.(2023上海市西中学月考)在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216−y29=1上,则sinCsinB−sinA=( )
A.53 B.±53 C.±54 D.−54
2.(2023安徽宣城期中联考)已知F1,F2分别是双曲线x24-y2=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点(不在x轴上),若△PF1F2内切圆的圆心为I,则圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为( )
A.2 B.5−1 C.1 D.5-2
3.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5−12,5−12称为黄金分割数.已知双曲线x2(5−1)2−y2m=1与x轴的两交点间的距离与焦距的比值恰好是黄金分割数,则m的值为( )
A.25−2 B.5+1 C.2 D.25
4.(2023河南开封期中)已知双曲线x29−4y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,Q是双曲线右支上的动点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,则垂足M的轨迹方程为 .
5.(2023湖南邵阳二中期中)过双曲线x2-y215=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为 .
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若BF1·BF2=0,且cos∠F1AF2=45,则ab= .
题组二 双曲线的实际应用
7.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,相距4 km处,P为敌炮阵地.某时刻,在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此经过4 s后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若A地需炮击P地,则炮击的方向角为北偏东 .
8.如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/km,求修建这两条公路的最低总费用.
答案与分层梯度式解析
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
7.C
8.B
9.C
13.A
14.C
15.C
1.B 因为|PM|-|PN|=3<|MN|,所以动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.故选B.
方法总结 已知定点M,N及动点P,且||PM|-|PN||为常数,则当||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;当||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线.类似地,|PM|-|PN|或|PN|-|PM|为常数时,点P的轨迹为双曲线的一支或一条射线.当||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.D 由题意可知|PiO2|-|PiO1|=1<|O1O2|(i=1,2,3,4,5),又因为Pi(i=1,2,3,4,5)都位于第二象限,所以这五个点都位于某双曲线的左支上.故选D.
3.A 由题意可知,a=2,c=4+12=4,|PF1|≥c-a=2.
若|PF2|=5,则||PF1|-5|=4,故|PF1|=9或|PF1|=1(舍去).
若|PF1|=9,则|9-|PF2||=4,故|PF2|=5或|PF2|=13,
故“|PF2|=5”是“|PF1|=9”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|
由P为双曲线上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,|PF1|=4|PF2|,得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=8=c+a,|PF2|=2=c-a,
所以P为双曲线的右支与x轴的交点,所以P,F1,F2不是三角形的三个顶点.故选D.
5.A 连接PF2(F2为双曲线的右焦点),易知P,F1,F2不共线,则ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|=12|PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=12|PF2|=7或|ON|=12|PF2|=3.
6.答案 9
解析 因为点P在双曲线x24−y212=1的右支上,所以|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=|PF2|+4.连接QF2.
又Q(1,4),F2(4,0),所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+4=9,当且仅当点P在线段QF上时取“=”.故|PQ|+|PF1|的最小值为9.
7.C 由题意知双曲线的焦点在y轴上,故设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),由||PF1|-|PF2||=2a=6,得a=3,又c=4,故b2=c2-a2=16-9=7,故双曲线的标准方程为y29−x27=1.故选C.
8.B 因为直线y=x和y=-x互相垂直,所以OP⊥OQ,又yPyQ<0,所以点P,Q分别在第一、四象限或者分别在第三、二象限,不妨设P(a,a),Q(b,-b),a>0,b>0,M(x,y),因为M为PQ的中点,所以x=a+b2,y=a−b2,所以a=x+y,b=x-y,
因为∠POx=∠QOx=45°,所以|OP|=2a,|OQ|=2b,所以S△OPQ=12|OP|·|OQ|=12×2a×2b=4,所以ab=4,
所以(x+y)(x-y)=4,即x2-y2=4.
故选B.
9.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,
则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-y26=1.
故选C.
10.答案 y2-x2=1
解析 由双曲线C的两个焦点分别为(0,-2),(0,2),可知双曲线的焦点在y轴上,故设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),又双曲线过点(0,1),故1a2=1,所以a=1,又c=2,故b2=c2-a2=1,所以双曲线C的方程为y2-x2=1.
11.答案 x214−y234=1x>12
解析 在△ABC中,由正弦定理得|AB|sinC=|BC|sinA=|AC|sinB,∵sin C-sin B=12sin A,∴|AB|-|AC|=12|BC|=1<|BC|=2,
∴顶点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支且除去与x轴的交点,
∴设此双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
由已知得2a=1,c=1,∴a=12,∴b2=c2-a2=34,
∴顶点A的轨迹方程为x214−y234=1x>12.
易错警示 注意△ABC构成的前提条件为A,B,C三点不共线,求点的轨迹方程时要根据去除的点来限定变量的范围.
12.解析 (1)解法一:由题可设所求双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
则c2=16+4=20,即a2+b2=20①,
∵双曲线经过点(32,2),∴18a2−4b2=1②.
由①②得a2=12,b2=8,
∴双曲线的标准方程为x212−y28=1.
解法二:设所求双曲线的方程为x216−λ−y24+λ=1(-4<λ<16).∵双曲线过点(32,2),
∴1816−λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴双曲线的标准方程为x212−y28=1.
(2)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴9a2−22516b2=1,2569a2−25b2=1,此方程组无解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴22516a2−9b2=1,25a2−2569b2=1,解得a2=9,b2=16.
∴双曲线的标准方程为y29−x216=1.
解法二:设双曲线的方程为x2m+y2n=1,mn<0.
∵点P,Q在双曲线上,∴9m+22516n=1,2569m+25n=1,解得m=−16,n=9.∴双曲线的标准方程为y29−x216=1.
13.A 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
∴S△PF1F2=12×16×102−1622=48,故选C.
15.C 由双曲线C:x22−y2=1可知a=2,b=1,
∴|AF1|-|AF2|=2a=22,|BF1|-|BF2|=2a=22,
∴(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=42,∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+42=|AB|+42.
∵△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+42,∴当|AB|最小时,△AF1B的周长最小,∴当AB⊥x轴时,△AF1B的周长最小,最小值为2|AB|+42=2×2b2a+42=2×2×12+42=62.故选C.
16.解析 由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),且a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,结合椭圆方程可得此交点的坐标为(15,4)或(-15,4).由交点在双曲线上知16a2−15b2=1.
由a2+b2=9,16a2−15b2=1,得a2=4,b2=5,故所求双曲线的标准方程为y24−x25=1.
能力提升练
1.C
2.C
3.A
1.C 由题意知点A,B为双曲线的两焦点,所以当点C在双曲线x216−y29=1的右支上时,有|CA|-|CB|=8,又|AB|=10,所以由正弦定理得sinCsinB−sinA=|AB||CA|−|CB|=108=54;当点C在双曲线的左支上时,有|CA|-|CB|=-8,可得sinCsinB−sinA=−54.故选C.
2.C 设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2相切于点A,B,与F1F2相切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|.又点P在双曲线的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a,
∴|F1M|-|F2M|=2a①,又|F1M|+|F2M|=2c②,
∴由①+②,可解得|F1M|=a+c,又|OF1|=c,故|OM|=a,则M(a,0),由双曲线的方程x24-y2=1知a=2,
∴内切圆圆心I在直线x=2上.
设I(2,y0),圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,则C(0,1),∴|CI|=22+(y0−1)2,当y0=1时,|CI|最小,且|CI|min=2,
此时圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为|CI|min-1=2-1=1.故选C.
3.A 由题意得,a2=(5-1)2,b2=m,
∴c2=a2+b2=(5-1)2+m.由题意知2a2c=ac=5−12,
∴a2c2=5−122=3−52,∴(5−1)2(5−1)2+m=3−52,
解得m=25-2.故选A.
4.答案 x2+y2=9−655
延长QF2,与F1M交于点T,连接OM(O为坐标原点),则OM为△F1F2T的中位线.
∵QM平分∠F1QF2,且QM⊥F1M,
∴|QF1|=|QT|,|F1M|=|MT|.
又∵Q是双曲线右支上的动点,
∴|QF1|-|QF2|=|QT|-|QF2|=2a,
∴|F2T|=2a,∴|OM|=a,即点M在以O为圆心,a=3为半径的圆上.
又当Q在无穷远处时,可近似认为其位于渐近线上,此时F1M⊥MQ,则kF1M=±2,直线F1M的方程为y=±2x+352,与x2+y2=9联立,可解得x=-655(二重根),y=±355,∴点M的轨迹是以O为圆心,3为半径的圆上以点−655,355和−655,−355为端点的优弧(不包括这两个端点),轨迹方程为x2+y2=9−655
解析 由x2-y215=1,得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),
由圆的方程知,圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,
∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-r12=PC1|2-4,|PN|2=|PC2|2-r22=|PC2|2-1,
∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)·(|PC1|-|PC2|)-3,
∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的两个焦点分别为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,
又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线与x轴正半轴交点时取等号),
∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥2×8-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
6.答案 63
解析 ∵BF1·BF2=0,∴BF1⊥BF2,
设|AF1|=m,由cos∠F1AF2=45得|AB|=45m,|BF1|=35m,
由双曲线的定义知|BF2|=|BF1|-2a=35m-2a,|AF2|=|AF1|-2a=m-2a,
由|AF2|+|BF2|=|AB|得35m−2a+m−2a=45m,
解得m=5a,
∴|BF1|=3a,|BF2|=a,又|F1F2|=2c,BF1⊥BF2,
∴由BF1|2+BF2|2=|F1F2|2,得10a2=4c2,又c2=a2+b2,
∴6a2=4b2,∴ab=63.
7.答案 30°
解析 如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,23).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.
由题可知直线BC的斜率kBC=-3,BC的中点为(-4,3),记D(-4,3),所以直线PD:y-3=13(x+4).①
又B地比A地晚4 s发现信号,故|PB|1−|PA|1=4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=6,故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.
设P(x,y),x>0,y>0,则其所在双曲线的方程为x24−y25=1(x≥0).②
由①②,得x=8,y=53,所以P(8,53).
因此直线PA的斜率kPA=538−3=3.故炮击的方向角为北偏东30°.
8.解析 由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
可得A(-2,0),B(2,0),C(3,3),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km,
可得|MA|-|MB|=2,因为2<|AB|=4,
所以由双曲线的定义可得,M在以A,B分别为左、右焦点的双曲线的右支上,
且a=1,c=2,∴b=c2−a2=3,
∴点M所在的双曲线的方程为x2-y23=1(x>0).
设修建这两条公路的总费用为s万元,
则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(27-2)m,当且仅当A,M,C三点共线时,取等号.
故修建这两条公路的最低总费用为(27-2)m万元.
相关学案
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案，共12页。
数学选择性必修 第一册3.3 抛物线学案： 这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共18页。
人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共31页。
